奥数培优第4讲 能被3整除的数的特征（讲义）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

小学三年级下册奥数 · 数论专题 ★★★★★ 第 4 讲 能被 3 整除的数的特征 适用年级：小学三年级下册 ｜ 建议课时：1 课时（60 分钟） 覆盖题型：基础判断 · 方框填数 · 组数 · 同余最小数 · 综合整除 · 区间应用 配套：6 道典例精讲 ｜ A/B/C 分层训练 ｜ 全题答案解析 ｜ 精准配图 学科网（北京）股份有限公司 目 录 一、课程信息表 1 二、学习目标 1 三、课前导入 2 四、知识导航 3 （一）能被 3 整除的数的特征 3 （二）2、3、5 整除条件对比表 3 （三）综合整除条件 4 （四）多位数的字母记法 4 （五）“余数都相同”的解题思路 4 （六）解题六步法 4 五、易错辨析 5 六、典例精讲 5 例 1【基础判断：能否被 3 整除】 5 例 2【方框填数：找可填的数字】 5 例 3【组数问题：先选组合再排列】 6 例 4【余数相同：求最小数】 7 例 5【综合整除：最值问题】 8 例 6【综合应用：区间里的数】 8 七、方法总结表 9 八、解题口诀 10 九、习题分层训练 10 A 组｜基础过关 10 B 组｜能力提升 10 C 组｜挑战冲刺 11 十、参考答案与详细解析 11 A 组（答案） 11 B 组（答案） 11 C 组（答案） 12 十一、本讲小结 13 十二、易错警示 + 学习建议 13 ⚠️ 易错警示 13 🧠 学习建议 14 学科网（北京）股份有限公司 【课程信息表】 项目 内容 讲次 第 4 讲 专题 能被 3 整除的数的特征 ｜ 2、3、5 综合整除 适用年级 小学三年级下册 建议课时 1 课时（60 分钟） 难度星级 ★★★★★ 前置知识 第 3 讲能被 2、5 整除的特征；整除的含义；多位数的认识 核心方法 数字求和法；方框补余填数法；先选组合再排列；余数枚举法；2、3、5 综合整除判断；最值构造法 【学习目标】 维度 具体目标 知识与技能 掌握能被 3 整除的核心特征——各位数字之和能被 3 整除；能区分 2、5 与 3 的判定差异（2、5 看个位，3 看全部数位之和）；能求出字母方框中可填的数字；能根据给定数字组出能被 3 整除的数；掌握同时被 2、3、5 整除的综合条件；会求“余数相同”类最小数问题。 过程与方法 经历“观察实例 → 发现规律 → 对比旧知 → 例题演练 → 综合运用”的完整探究流程；体会从特殊到一般的归纳推理；学会把不同数的整除判定规则进行对比区分。 思维品质 培养观察与对比能力，提升数感；学会审题时判断“该看个位还是该求数字和”；养成完成计算后进行代入检验的习惯。 情感与素养 感受不同数字整除规律的奇妙；体验用规律快速解题的成就感；提高解决综合应用题的耐心与细心。 【前言】 前面我们学会了判断一个数能否被 2、5 整除——它们都只看个位就可以了。 那么，判断一个数能不能被 3 整除，是不是也能只看个位呢？带着这个问题，先来观察两个数： 12 的个位是 2，12 ÷ 3 = 4，能被 3 整除； 22 的个位也是 2，22 ÷ 3 = 7……1，却不能整除。 👉 想一想： 同样是“个位是 2”，为什么一个能、一个不能？这说明：判断能否被 3 整除，不能只看个位！ 图 1 课前导入：为什么不能只看个位？ 那该看什么？——把一个数的每一位数字全部加起来，如果这个总和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除。 本讲我们学习能被 3 整除的特征，并综合练习同时被 2、3、5 整除的题型。 一、知识导航 （一）能被 3 整除的数的特征 ✅ 核心特征：一个整数各位上所有数字相加得到的和，如果能被 3 整除，这个数就能被 3 整除；如果这个和不能被 3 整除，这个数就不能被 3 整除。 示例验证： 345 → 3 + 4 + 5 = 12，12 ÷ 3 = 4，能整除，所以 345 能被 3 整除。✓ （二）2、3、5 整除条件对比表 除数 判断依据 例子 2 看个位：个位是 0、2、4、6、8 例如：18、42 5 看个位：个位是 0、5 例如：35、70 3 看全部数位数字之和：和能被 3 整除 例如：123（1+2+3=6） 图 2 2、3、5 整除判断对比 （三）综合整除条件 同时能被 2 和 3 整除：① 个位是偶数；② 各位数字之和能被 3 整除。 同时能被 3 和 5 整除：① 个位是 0 或 5；② 各位数字之和能被 3 整除。 同时能被 2、3、5 整除：① 个位必须是 0；② 各位数字之和能被 3 整除。 （四）多位数的字母记法 在多位数上方加一条横线，表示这代表“一个完整的数”，也就是数位拼接，而不是相乘。 例如：在数字 3、a、5 的上方加横线，表示一个三位数——百位是 3，十位是 a，个位是 5，记作 3a5（上方横线）。它不等于 3×a×5！ （五）“余数都相同”的解题思路 一个数除以几个数余数都相同：优先从小到大枚举筛选；高年级还可以用“最小公倍数 + 余数”快速求解。 （六）解题六步法 图 3 解题六步法 二、易错辨析 ❌ 错误做法 ✅ 正确做法 把 2、5 的经验迁移到 3，判断时只看个位 被 3 整除要看全部数位数字之和，与个位没有必然关系 求数字和时漏掉其中某一位 逐位相加，保证每一位都加进去 同时被 2、3、5 整除时，忘了“个位必须是 0” 先保证个位为 0（满足 2、5），再满足数字和能被 3 整除 组数时把三个数字全部排列后再一个个试除 先筛选数字组合（数字和能被 3 整除），再排列 把带横线的多位数记成数字相乘 横线表示多位数的数位拼接，不是乘法 做完不验算，仅凭数字和正确就结束 求出结果后用除法验算一遍 三、典例精讲 例 1【基础判断：能否被 3 整除】 【题目】判断下面各数能否被 3 整除：541、2916、73005。 【分析】把每个数的各位数字相加，看数字总和能否被 3 整除。 【详解】541：5 + 4 + 1 = 10，10 ÷ 3 有余数 → 不能被 3 整除 ✗ 2916：2 + 9 + 1 + 6 = 18，18 ÷ 3 = 6 → 能被 3 整除 ✓ 73005：7 + 3 + 0 + 0 + 5 = 15，15 ÷ 3 = 5 → 能被 3 整除 ✓ 🌟 速算小技巧（弃 3 法）：求和时可以先把“3 的倍数”划掉。如 73005 中 3、0、0 先不算，7 + 5 = 12 能被 3 整除即可，又快又不易错。 【方法点睛】 判断能否被 3 整除，核心是求各位数字总和；总和能被 3 整除，原数就能被 3 整除。注意每一位都不要漏加。 例 2【方框填数：找可填的数字】 【题目】四位数 5□36 能被 3 整除，方框里可以填哪些数字？ 【分析】先算已知数位的数字和：5 + 3 + 6 = 14。全部数字和 = 14 + □，要能被 3 整除。 【详解】14 + □ 要能被 3 整除：14 + 1 = 15 ✓，14 + 4 = 18 ✓，14 + 7 = 21 ✓。 □ 是 0～9 的单个数字，所以 □ 可以填 1、4、7。 追问①：要使这个四位数最大，□ 应填几？→ 填 7（5736）。 追问②：要使这个四位数最小，□ 应填几？→ 填 1（5136）。 验算：5736 → 5 + 7 + 3 + 6 = 21，21 ÷ 3 = 7 ✓。 答：□ 可以填 1、4、7；最大填 7，最小填 1。 【方法点睛】 先求已知数字之和，看除以 3 余几，再找能“补足余数”的 0～9 数字。 例 3【组数问题：先选组合再排列】 【题目】从 0、2、3、4 四个数字中选出三个，组成没有重复数字的三位数，其中能被 3 整除的有多少个？ 图 4 例 3 组数：从 4 张数字卡片中选 3 张 【分析】先列出所有三数字组合，算出每组数字之和，筛选数字和能被 3 整除的组合；再算每组能排出几个三位数（注意 0 不能放在百位）。 【详解】全部 4 种三数组合： ① 0、2、3：0 + 2 + 3 = 5，不能被 3 整除 ✗ ② 0、2、4：0 + 2 + 4 = 6，能被 3 整除 ✓ ③ 0、3、4：0 + 3 + 4 = 7，不能被 3 整除 ✗ ④ 2、3、4：2 + 3 + 4 = 9，能被 3 整除 ✓ 有效组合：{0、2、4} 和 {2、3、4}。 {0、2、4}：0 不能作百位，百位只能在 2、4 中选（2 种），其余两位排剩下 2 个数字（2 种），共 2×2=4 个：204、240、402、420。 {2、3、4}：三个数字都不为 0，可排出 3×2×1=6 个：234、243、324、342、423、432。 总个数：4 + 6 = 10（个）。 答：一共有 10 个能被 3 整除的三位数。 【方法点睛】 组数题先筛选数字组合（看数字和能否被 3 整除），再考虑排列；含有 0 时，0 不能放在最高位，要单独数。 例 4【余数相同：求最小数】 【题目】李阿姨把鸡蛋装进纸盒。每盒装 3 个或每盒装 5 个，最后都会剩下 2 个。这筐鸡蛋比 10 个多，至少有多少个？ 图 5 例 4：鸡蛋装盒分份 【分析】鸡蛋总数除以 3 余 2，除以 5 也余 2。可以先列出除以 5 余 2 的数，从小到大逐个检验除以 3 是否也余 2。 【详解】除以 5 余 2 的数：12、17、22、27、32…… 逐个检验：12 ÷ 3 = 4，余 0 ✗；17 ÷ 3 = 5……2，余 2 ✓。 所以鸡蛋至少有 17 个。 🌟 快速法：被 3、5 除都余 2，就是“最小公倍数 15 的倍数再 + 2”，即 15 + 2 = 17。 💡 小思考：为什么不能说“被 2、3、5 除都余 2”？——因为一个数除以 2 的余数只能是 0 或 1，余数一定要比除数小！ 答：这筐鸡蛋至少有 17 个。 【方法点睛】 多个除数余数相同，可从较大的除数的余数序列开始枚举，减少次数；也可用“最小公倍数 + 余数”快速求解。 例 5【综合整除：最值问题】 【题目】求同时能被 2、3、5 整除的：① 最小的两位数；② 最大的两位数；③ 最大的三位数。 【分析】同时能被 2、5 整除，个位必须是 0；再看数字和能否被 3 整除。 【详解】同时能被 2、3、5 整除的数，个位一定是 0，数字和能被 3 整除。 ① 最小的两位数：个位为 0 的两位数从小到大看：10（1 不能被 3 整除 ✗）、20（2 ✗）、30（3 ✓）→ 30。 ② 最大的两位数：个位为 0 的两位数从大到小看：90（9 ✓）、80（8 ✗）→ 90。 ③ 最大的三位数：个位为 0，数字和要能被 3 整除，百位、十位尽量大：990（9 + 9 + 0 = 18 ✓）→ 990。 验算：990 ÷ 2 = 495，990 ÷ 3 = 330，990 ÷ 5 = 198，都能整除 ✓。 答：最小的两位数是 30，最大的两位数是 90，最大的三位数是 990。 【方法点睛】 综合整除题先锁定个位（2、5 看个位），再满足数字和（3 看数字和）；求最值时从大到小（或从小到大）逐个检验。 例 6【综合应用：区间里的数】 【题目】学校图书角新到了一批图书，本数在 50 到 70 之间。把它们平均分给 2 个班级书架、3 个班级书架或 5 个班级书架，都能正好分完。这批图书有多少本？ 图 6 例 6：图书角平均分书 【分析】图书本数要同时能被 2、3、5 整除，也就是 30 的倍数；再结合“在 50～70 之间”确定答案。 【详解】同时能被 2、3、5 整除 → 是 30 的倍数。 30 的倍数：30、60、90……其中在 50～70 之间的只有 60。 验算：60 ÷ 2 = 30，60 ÷ 3 = 20，60 ÷ 5 = 12，都能正好分完 ✓。 答：这批图书有 60 本。 【方法点睛】 应用题中“能平均分给几个班”就是“能被几整除”。先找同时满足所有整除条件的数（公共倍数），再按区间筛选出唯一答案。 四、方法总结表 题型 突破口 核心方法 检验要点 判断能否被 3 整除 逐位相加求数字和 数字和能被 3 整除，则原数能被 3 整除 每一位都不要漏加 方框填数（被 3 整除） 先算已知数字之和 看数字和除以 3 的余数，找能补足余数的 0～9 数字 结果必须是 0～9 的单个数字 组数（被 3 整除） 先算组合的数字和 筛选数字和能被 3 整除的组合，再排列；含 0 时 0 不作首位 不要盲目全排列后再试除 余数都相同求最小数 从较大的除数开始枚举 枚举余数序列，逐个检验其余条件 排除题目要求排除的数 同时被 2、3、5 整除 个位必须为 0 先定个位 0，再满足数字和能被 3 整除 两条条件缺一不可 区间中的整除应用题 找公共倍数 先找同时满足整除条件的数，再按区间筛选 用除法验证整除与区间同时成立 五、解题口诀 判断能否被三除，只看个位不靠谱； 全部数位加起来，总和是三就可以。 二五看个三看和，三个条件别混淆； 方框填数先求和，补足余数答案找。 组数先挑好组合，和能被三再排列； 二三五数一起除，个位定零第一步。 余数相同找最小，从小到大来筛选； 算完一定要验算，除法检验最保险！ 六、习题分层训练 🟦 A 组｜基础过关 A1. 判断下面各数能否被 3 整除：489、7015、24603。 A2. 四位数 6□31 能被 3 整除，方框里可以填哪些数字？ A3. 在下面的数中，找出所有能被 3 整除的数：45、92、147、330、516。 🟧 B 组｜能力提升 B1. 从 2、3、6、7 四个数字中选出三个，组成没有重复数字的三位数，能被 3 整除的有多少个？ B2. 一个数除以 2 余 1，除以 3 也余 1，这样的两位数中最小的是几？ B3. 三位数 3□5 能被 3 整除，方框里最大能填几？最小能填几？ 🟥 C 组｜挑战冲刺 C1. 同时能被 2、3、5 整除：① 最小的四位数是多少？② 最大的四位数是多少？ C2. 学校买来一批跳绳，根数比 20 根多、比 40 根少，无论平均分给 2 个小组、3 个小组还是 5 个小组，都能正好分完。这批跳绳有多少根？ C3. 有一个两位数，除以 3 余 2，除以 5 余 3，这个两位数最小是多少？ 七、参考答案与详细解析 🟦 A 组 A1. 解析： 489：4 + 8 + 9 = 21，21 ÷ 3 = 7，能被 3 整除 ✓； 7015：7 + 0 + 1 + 5 = 13，13 ÷ 3 有余数，不能被 3 整除 ✗； 24603：2 + 4 + 6 + 0 + 3 = 15，15 ÷ 3 = 5，能被 3 整除 ✓。 A2. 解析： 已知数位 6 + 3 + 1 = 10。10 除以 3 余 1，要补成 3 的倍数，需要加 2、5、8。所以 □ 可以填 2、5、8。 （验算：6231 数字和 12 ✓；6531 数字和 15 ✓；6831 数字和 18 ✓） A3. 解析： 45：4 + 5 = 9 ✓； 92：9 + 2 = 11 ✗； 147：1 + 4 + 7 = 12 ✓； 330：3 + 3 + 0 = 6 ✓； 516：5 + 1 + 6 = 12 ✓。 能被 3 整除的数：45、147、330、516。 🟧 B 组 B1. 解析： 从 2、3、6、7 中取三个数字的所有组合： {2、3、6}：和 11 ✗；{2、3、7}：和 12 ✓； {2、6、7}：和 15 ✓；{3、6、7}：和 16 ✗。 有效组合 {2、3、7}、{2、6、7}，每组 3 个不同数字可排出 3×2×1=6 个三位数。 总数：6 + 6 = 12（个）。 B2. 解析： 除以 2 余 1 的数都是奇数。 从最小的两位数开始检验：10 ÷ 3 余 1 ✓，但 10 是偶数，除以 2 余 0 ✗； 13 是奇数 ✓，13 ÷ 3 = 4……1 ✓。 所以最小的是 13。 （快速法：被 2、3 除都余 1，即被 6 除余 1：1、7、13……最小的两位数是 13。） B3. 解析： 已知数位 3 + 5 = 8。8 除以 3 余 2，要补成 3 的倍数，需要加 1、4、7。 所以 □ 可以填 1、4、7；最大填 7，最小填 1。 （验算：315 数字和 9 ✓；345 数字和 12 ✓；375 数字和 15 ✓） 🟥 C 组 C1. 解析： 同时能被 2、3、5 整除的数，个位为 0，数字和能被 3 整除，也就是 30 的倍数。 ① 最小的四位数：1000、1010、1020……1020 的数字和 1 + 0 + 2 + 0 = 3 ✓，所以是 1020。 ② 最大的四位数：9990 的数字和 9 + 9 + 9 + 0 = 27 ✓，所以是 9990。 （验算：1020 ÷ 30 = 34；9990 ÷ 30 = 333） C2. 解析： 同时能被 2、3、5 整除 → 是 30 的倍数：30、60、90……在“比 20 多、比 40 少”范围内的只有 30。 答：这批跳绳有 30 根。 （验算：30 ÷ 2 = 15，30 ÷ 3 = 10，30 ÷ 5 = 6 ✓） C3. 解析： 除以 5 余 3 的两位数：13、18、23、28…… 检验除以 3 是否余 2：13 ÷ 3 = 4……1 ✗； 18 ÷ 3 = 6，余 0 ✗；23 ÷ 3 = 7……2 ✓。 所以这个两位数最小是 23。 八、本讲小结 ✦ 核心特征：能被 3 整除，要看各位数字相加的总和；总和能被 3 整除，原数就能被 3 整除。不能只看个位！ ✦ 对比记忆：2、5 看个位；3 看全部数位数字之和。 ✦ 综合整除：同时能被 2、3、5 整除，个位必须是 0，且数字和能被 3 整除。 ✦ 方框填数：先求已知数字和，看余数，找 0～9 中能补足余数的数字。 ✦ 组数问题：先筛选数字组合（数字和能被 3 整除），再排列；含 0 时 0 不能作首位。 ✦ 余数相同：从较大的除数开始枚举筛选，也可用“最小公倍数 + 余数”快速求解。 ✦ 区间应用：先找同时满足整除条件的数（公共倍数），再按区间筛选。 ✦ 养成习惯：算完用除法验算。 九、易错警示 ⚠️ 易错警示 ❌ 把 2、5 的习惯迁移到 3，只看个位　→　✅ 被 3 整除看全部数位数字之和，和个位没有必然关系 ❌ 求数字和时漏掉某一位　→　✅ 逐位相加，把每一位都算进去 ❌ 同时被 2、3、5 整除时忘记个位必须为 0　→　✅ 同时被 2、5 整除，个位一定是 0，再满足数字和条件 ❌ 组数时直接全部排列，再一个个试除　→　✅ 先挑选数字组合，保证数字和能被 3 整除，再排列 ❌ 把带横线的多位数记成相乘　→　✅ 横线代表多位数的数位拼接，不是乘法 ❌ 做完只看数字和，不做除法验算　→　✅ 有条件就做简单除法验算，防止求和出错 十、 学习建议 🧠 学习建议 ✓ 牢牢分清：2、5 看个位；3 看数字和，不要记混。 ✓ 做能被 3 整除的题目，第一步就是把全部数位数字相加。 ✓ 方框填数：算出已知和，思考“再加几能被 3 整除”，快速找答案。 ✓ 组数题：先筛选数字组合，再排列，减少无效计算。 ✓ 综合整除题：先处理个位条件（2、5），再处理数字和条件（3）。 ✓ 余数相同求最小数：优先选除数较大的序列枚举，减少试算次数。 ✓ 区间应用题：先找公共倍数，再结合“之间 / 以内”的范围筛选。 ✓ 算完养成代入验算的好习惯。 ✨ 能被 3 整除不看个位，要看各位数字总和！分清 2、5、3 的判断条件，做题就不容易出错！✨ 祝贺你完成本讲的学习！你是最棒的！👍 学科网（北京）股份有限公司 $