33.1投影（第2课时）（分层作业练题型）数学新教材人教版九年级下册

**基本信息** 本同步练以“判断-绘制-计算”三级分层设计，聚焦正投影概念理解与空间观念培养，通过基础辨析、技能操作到综合应用的递进路径，适配新授课知识巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|正投影形状判断、概念辨析|以选择填空为主（9题），如正方体正投影形状判断，强化几何直观| |技能应用|正投影绘制、操作规范|含作图题（4题），如线段不同位置正投影绘制，培养空间观念| |综合拓展|正投影计算、实际应用|结合中考真题（如2021南京中考题），涉及面积计算与模型应用，提升推理能力|

分层作业 33.1投影（第2课时） 目 录 1 判断正投影的形状 1 绘制图形的正投影 2 利用正投影进行计算 4 5 5 7 判断正投影的形状题型01 1．光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 3．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 4．人教版九年级数学下册第29章投影与视图单元检测试卷）一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能是( ) A． B． C． D． 5．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 6．下列投影一定不会改变的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当平行投影面时的正投影 7．下列投影中，是正投影的是________（填序号）． 8．某图形的正投影是一条线段，则该图形可能是_________（填序号）． ①矩形   ②线段   ③平行四边形   ④圆 9．如图所示的是一个几何体和它的投影示意图．请完成下面填空： （1）几何体的侧棱在投影面上的正投影分别是______，______，______． （2）下底面在投影面上的正投影是__________，侧面在投影面上的正投影是________． 绘制图形的正投影题型02 10．分别画出下列几个几何体从正面和上面看的正投影． 11．一个正方体框架上面嵌有一根黑色的金属丝，如图所示．若正方体的面平行于投影面，且垂直于投影面，画出这个物体在两个投影面上的正投影． 12．如图，已知线段，投影面为P． (1)当垂直于投影面P时（如图①），请画出线段的正投影； (2)当平行于投影面P时（如图②），请画出它的正投影，并求出正投影的长； (3)在（2）的基础上，点A不动，线段绕点A在垂直于投影面P的平面内逆时针旋转，请在图③中画出线段的正投影，并求出其正投影的长． 13．如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 利用正投影进行计算题型03 14．当棱长为的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（    ） A． B． C． D． 15．（2025-2026学年九年级上学期数学期末试题）如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（2023-2024·九年级下·江西赣州·月考）一根长为的木棒在平行光线上形成的正投影为，则的取值范围为______． 17．（2022-2023·九年级下·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，位于第二象限的点在轴上的正投影为点，则__________． 18．一个圆锥的旋转轴垂直于投影面时，其正投影的面积为．若当旋转轴平行于投影面时，其正投影的面积为，则圆锥的侧面积为_______． 19．如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 20．如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（点）到水平地面的距离，沿方向观测物体的仰角，望远镜前端（点）与眼睛之间的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）．求： (1)点到水平地面的距离的长． (2)在水平地面上的正投影的长． 1．如图，的边AB处在水平位置，投影线垂直向下，交AB于点D，那么线段BC的正投影是_______ ，线段AC的正投影是_______，线段CD的正投影是_______． 第1题图 第2题图 2．（2026·九年级下·辽宁抚顺·质量检测）如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______． 3．如图，将一块含角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，B在直线m上的正投影分别为点D，E．若，求AB在直线m上的正投影的长． 1．如图，点O为正方体的中心，点E为面的中心，点F为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是__________________（填出所有可能的序号）． 2．图①是一个书桌，将其侧面抽象成如图②所示的示意图．已知，M，N分别是的中点，点F是点A的正投影，． (1)求桌面到地面的距离； (2)若，求的值． （结果保留一位小数，参考数据：） 3．（2022-2023·九年级下·四川自贡·月考）操作与研究∶如图，被平行于的光线照射，于，在投影面上． (1)指出图中的投影是什么，与的投影呢？ (2)探究∶ 如图1，中，，，我们可以利用与相似证明， 这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为，点是对角线的交点，点在上，过点作，垂足为，连接， ①试利用射影定理证明；②若，求的长． 1．（2021·江苏南京·中考）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2018·广西百色·中考）如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是_____（用“=、＞或＜”连起来） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 33.1投影（第2课时） 目录 A组 巩固过关 ..1 判断正投影的形状 .1 绘制图形的正投影… 利用正投影进行计算 .6 B组能力进阶 C组 思维拔高 10 拓展 链接中考 13 A组 巩固过关 颗型01 判断正投影的形状 1.D 2.C. 3.C 4.B. 5.A 6.D. 7.③④ 8.①②③④ 9. GK HI NP 线段MN 矩形HNPI 题型02 绘制图形的正投影 10.从正面正投影依次为： 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 从上面正投影依次为： 11.解：画出的正投影如图所示. 这个物体在投影面P上的正投影是正方形A1B,C1D1及线段EF1:在投影面Q上的正投影是正方形 C,D,G,H2. 12.(1)如图①所示，即为所求： (2)如图②所示，即为所求；，AB平行于投影面P,∴.AB=AB=2cm; (3)如图③所示，即为所求： 由题意得AB=AD,∠ADB=90°，BAd=30°，AB=2cm, ∴.AD=AB∠cos BAD=3cm. A B A(B)1 A B 图① 图② 图③ 13.(1)如图所示： (2)正投影的面积=正方形面积+长方形面积=4x4+号×4x44(cm). 3 2/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型03 利用正投影进行计算 14.B. 15.C 16.m≥3 V10 17.10 18.15π. 25V2 19.2 20.(1)解：如图，过点A作AE⊥BC于点E. :在RtA ABE中，Sina-BE ,AB=153cm,0=33°， B ∴.BE=153×sin33°≈153×0.54=82.62cm, .BC=BE+EC=BE+AD=82.62+91≈173.6cm. 故点B到水平地面的距离BC的长约为173.6cm. 2》解：在RiAABE，中osa=eAB=153cma=3 .AE=153×cos33°≈153×0.84=128.52cm, ∴.CD=AE≈128.5cm. 故AB在水平地面上的正投影CD的长约为128.5cm. B组 能力进阶 1.线段BD、线段AD、点D 2.V61 3.AB在直线m上的正投影的长是3+4V3 C组 思维拔高 1.①②③. 315 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(1)解：如图，连接AF ,点F是点A的正投影，AE‖FC, ∴.AF⊥BC,∠ABF=∠EAB=55°. 在Rt△ABF中，AB=88cm, ∴.AF=AB'sin!55≈88×0.82≈72.2(cm). 故桌面AE到地面FC的距离约为72.2cm. (2)解：如图，过点N作NG⊥DE于点G. .AE‖FC,AB‖CD, ∴.∠NDG=∠EAB=55°，四边形ADCB是平行四边形， ∴.CD=AB=88cm. .N是CD的中点， .∴.DN=44cm. 在Rt△DNG中，DN=44cm,∠NDG=55°， .NG=DN'sin55°≈44×0.82=36.08(cm),DG=DN cos55°≈44×0.57=25.08(cm), ∴.GE=AE-AD-DG=60-20-25.08=14.92(cm), ∴tanE=NG=36.08 ≈2.4」 GE14.92 3.(I)解：根据题意得，AC的投影是AD,CD的投影是点D,BC的投影是BD (2)证明：，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°， ∴∠ACD=∠B,且∠A是公共角， ∴.△ACD-△ABC, 福-把 ∴.AC2=AD·AB (3)①证明：，四边形ABCD是正方形， .OC⊥B0,∠BCD=90°， ..BC2=BO.BD, Rt△BCE中， CF⊥BE,∠BCE=90°， BC=BF·BE, 4/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BO·BD=BF·BE,即 O_BF BE BD 且∠OBF=∠EBD(公共角)， ∴△BOF一△BED: ②BC=CD=15,且DE=2CE, DE=15×3=10,CE=5, 3 在Rt△BCE中，BE=VBC2+CE2=V152+52=510, 在RtAOBC中，OB=2 552 .△BOF一△BED, V2 OFBO DEBE,即OF=BO BE DE=2 9V10 ×10=3V5: .0F=35. 拓展 链接中考 1.D. 2.Sj=S<S2 5/5 分层作业 33.1投影（第2课时） 目 录 1 判断正投影的形状 1 绘制图形的正投影 4 利用正投影进行计算 6 9 10 13 判断正投影的形状题型01 1．光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、球的正投影是圆形，不符合题意； B、圆柱的正投影是圆形，不符合题意； C、圆锥的正投影是圆形，不符合题意； D、正方体的正投影是正方形，不是圆形，不符合题意． 故选：D． 2．如图，当正方形纸板平行于投影面时，其正投影是正方形，则当正方形纸板垂直于投影面放置时，其正投影的形状为（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．线段 D．三角形 【答案】C 【详解】解：如图： 当平面图形垂直于投影面时，其正投影是线段； 故选：C． 3．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱边在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓． 故选：C ． 4．人教版九年级数学下册第29章投影与视图单元检测试卷）一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：光线平行此等边三角形木框所在面且向下看可得到线段，光线垂直此等边三角形木框所在面且向下看可得到C，光线不垂直也不平行此等边三角形木框所在面且向下看可得到D，不论如何看都得不到一点． 故选：B． 5．小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解∶∵太阳光线是平行光线， ∴矩形木框在地面上的影子属于平行投影． ∵矩形的两组对边分别平行， ∴根据平行投影的性质，其在地面上的影子（当不重合为一条线段时）两组对边也应分别平行，即影子应为平行四边形（包含矩形）． 当矩形木框所在平面与光线平行时，影子为一条线段． ∴A是梯形，只有一组对边平行，不可能是矩形的影子； B是线段，可能是矩形平面与光线平行时的影子； C是矩形，可能是矩形平面与地面平行时的影子； D是平行四边形，可能是矩形平面倾斜时的影子． 综上所述，矩形木框在地面上的影子不可能是A． 6．下列投影一定不会改变的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当平行投影面时的正投影 【答案】D 【详解】解：一定不会改变的形状和大小的是：当平行投影面时的正投影， 故选：D． 7．下列投影中，是正投影的是________（填序号）． 【答案】 【详解】解：根据正投影的定义“投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”可知 是正投影 故答案为： ． 8．某图形的正投影是一条线段，则该图形可能是_________（填序号）． ①矩形   ②线段   ③平行四边形   ④圆 【答案】①②③④ 【详解】解：①矩形：当矩形所在的平面与投影面垂直时，其正投影是一条线段； ②线段：除投影方向与该线段平行（此时投影为一个点）外，其正投影均为线段； ③平行四边形：当平行四边形所在的平面与投影面垂直时，其正投影是一条线段； ④圆：当圆所在平面与投影面垂直时，正投影为直径的线段． 综上所述，故所有选项均可能使正投影为一条线段． 故答案为：①②③④． 9．如图所示的是一个几何体和它的投影示意图．请完成下面填空： （1）几何体的侧棱在投影面上的正投影分别是______，______，______． （2）下底面在投影面上的正投影是__________，侧面在投影面上的正投影是________． 【答案】 线段 矩形 【详解】解：（1）由正投影可知，侧棱在正投影面上的正投影分别是； 故答案为：；；． （2）下底面在正投影面上的正投影是线段， 侧面在正投影面上的正投影是矩形． 故答案为：线段；矩形． 绘制图形的正投影题型02 10．分别画出下列几个几何体从正面和上面看的正投影． 【详解】从正面正投影依次为： 从上面正投影依次为： 11．一个正方体框架上面嵌有一根黑色的金属丝，如图所示．若正方体的面平行于投影面，且垂直于投影面，画出这个物体在两个投影面上的正投影． 【详解】解：画出的正投影如图所示． 这个物体在投影面上的正投影是正方形及线段；在投影面上的正投影是正方形． 12．如图，已知线段，投影面为P． (1)当垂直于投影面P时（如图①），请画出线段的正投影； (2)当平行于投影面P时（如图②），请画出它的正投影，并求出正投影的长； (3)在（2）的基础上，点A不动，线段绕点A在垂直于投影面P的平面内逆时针旋转，请在图③中画出线段的正投影，并求出其正投影的长． 【详解】(1)如图①所示，即为所求； (2)如图②所示，即为所求；∵平行于投影面P，∴； (3)如图③所示，即为所求； 由题意得， ∴． 13．如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【详解】（1）如图所示： （2）正投影的面积正方形面积长方形面积． 利用正投影进行计算题型03 14．当棱长为的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正方体的某个面平行于投影面， ∴该面的正投影为边长为的正方形， ∴投影面积． 故选：B． 15．（2025-2026学年九年级上学期数学期末试题）如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 16．（2023-2024·九年级下·江西赣州·月考）一根长为的木棒在平行光线上形成的正投影为，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：当木棒与光线平行时，正投影为一条线段，长度为，此时; 当木棒与光线不平行时，正投影为一条线段，长度为，此时; 故答案为: 17．（2022-2023·九年级下·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，位于第二象限的点在轴上的正投影为点，则__________． 【答案】 【详解】点在x轴上的正投影为点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．一个圆锥的旋转轴垂直于投影面时，其正投影的面积为．若当旋转轴平行于投影面时，其正投影的面积为，则圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【详解】解：当旋转轴垂直于投影面时，正投影是圆锥的底面圆，面积为 ， 设底面半径为 ， 则 ，解得 ． 当旋转轴平行于投影面时，正投影是一个等腰三角形， 底边长为底面直径 ，高为，母线长 ，面积为 ， 由三角形面积公式 ，即 ， 解得 ， 则母线长为， 圆锥的侧面积为 ， 故答案为：． 19．如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 【答案】 【详解】解：过B点作于H，如图， ∵， ∴， ∵正方形纸板在投影面上的正投影为， ∴，， ∴四边形的面积． 20．如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（点）到水平地面的距离，沿方向观测物体的仰角，望远镜前端（点）与眼睛之间的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）．求： (1)点到水平地面的距离的长． (2)在水平地面上的正投影的长． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，， ， ． 故点到水平地面的距离的长约为173.6cm． （2）解：在中，， ， ． 故在水平地面上的正投影的长约为128.5cm． 1．如图，的边AB处在水平位置，投影线垂直向下，交AB于点D，那么线段BC的正投影是_______ ，线段AC的正投影是_______，线段CD的正投影是_______． 【答案】 线段BD 线段AD 点D 【详解】解：线段的正投影：在上，其投影是自身，的正投影是，所以线段的正投影是线段； 线段的正投影：在上，其投影是自身，的正投影是，所以线段的正投影是线段； 线段的正投影：和的正投影都是，所以线段的正投影是点． 故答案为：线段、线段、点 ． 2．（2026·九年级下·辽宁抚顺·质量检测）如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：由题意，得，，，，， 作A关于l的对称点，连接，，，过作于E， 则过点C，，四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为， 即的最小值为． 3．如图，将一块含角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，B在直线m上的正投影分别为点D，E．若，求AB在直线m上的正投影的长． 【答案】AB在直线m上的正投影的长是 【详解】解：在中， ， , 在中， ． 点在直线上的正投影分别为点， ，即， , ， ， ， ， ， ． 故在直线上的正投影的长是． 1．如图，点O为正方体的中心，点E为面的中心，点F为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是__________________（填出所有可能的序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：从正面投影：的投影形成的图形与①相符； 从侧面投影：的投影形成的图形与②相符； 从上面投影：的投影形成的图形与③相符； 图形④的形状不符合空间四边形在任何面上的正投影． 故答案为：①②③． 2．图①是一个书桌，将其侧面抽象成如图②所示的示意图．已知，M，N分别是的中点，点F是点A的正投影，． (1)求桌面到地面的距离； (2)若，求的值． （结果保留一位小数，参考数据：） 【详解】（1）解：如图，连接． 点F是点A的正投影，， ． 在中，， ． 故桌面到地面的距离约为． （2）解：如图，过点N作于点G． ， ，四边形是平行四边形， ． 是的中点， ． 在中，， ，， ， ． 3．（2022-2023·九年级下·四川自贡·月考）操作与研究∶如图，被平行于的光线照射，于，在投影面上． (1)指出图中的投影是什么，与的投影呢？ (2)探究∶ 如图1，中，，，我们可以利用与相似证明， 这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为，点是对角线的交点，点在上，过点作，垂足为，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 【详解】（1）解：根据题意得，的投影是，的投影是点，的投影是． （2）证明：∵中，，， ∴，， ∴，且是公共角， ∴， ∴， ∴． （3）①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 中， ∵，， ∴， ∴，即，且（公共角）， ∴； ②∵，且， ∴，， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴． 1．（2021·江苏南京·中考）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的上方，则上方的边长影子会更长一些， 故选D. 2．（2018·广西百色·中考）如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是_____（用“=、＞或＜”连起来） 【答案】S1=S＜S2 【详解】解：∵立体图形是长方体， ∴底面ABCD∥底面EFGH． ∵矩形EFGH的投影是矩形ABCD， ∴S1=S． ∵EM＞EF，EH=EH， S＜S2， ∴S1=S＜S2． 故答案为S1=S＜S2． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $