☆ 神奇的黄金比（期中专项训练）数学苏教版六年级上册（新教材）

**基本信息** 聚焦黄金比从定义到跨领域应用的知识链条，通过概念梳理与分层练习培养数学眼光与应用意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|3考点|概念填空|定义与数值→艺术建筑应用→人体自然体现，形成从抽象到具象的认知链| |专项提升练习|18题（填空9/选择6/解答3）|计算应用/规律探究/场景识别|以黄金比0.618为核心，串联比例计算、实际场景分析与数学建模，强化知识迁移能力|

☆ 神奇的黄金比（期中专项训练） 考点梳理 考点 1：黄金比的定义与数值 1. 把一条线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，我们就称这种分割为        。 2. 黄金比的比值是一个无限不循环小数，通常取其近似值为        。 3. 若设线段总长为 ，较长部分为 ，较短部分为 ，则满足关系式：          。 考点 2：黄金比在艺术与建筑中的应用 1. 古希腊帕特农神庙的立面高与宽之比，接近黄金比，给人一种和谐、美观的视觉感受。 2. 著名画作《蒙娜丽莎》中，人物面部轮廓及构图布局也巧妙地运用了         原理，使画面更加生动自然。 3. 在设计矩形时，如果宽与长的比约为        ，这样的矩形被称为         ，被认为是最具美感的矩形形状。 考点 3：黄金比在人体与自然中的体现 1. 当人的肚脐到脚底的长度与身高的比值接近         时，身材比例看起来最为匀称优美。 2. 芭蕾舞演员踮起脚尖，是为了增加下半身的长度，使下半身与身高的比值更接近        ，从而提升舞台形象的美感。 3. 自然界中，许多植物的叶片排列角度、鹦鹉螺壳的螺旋线等，都蕴含着         的规律，这有助于植物更好地接受阳光和雨水。 专项提升练习 一、填空题 1．一个长方形的宽与长的比是黄金比，如果这个长方形的长是5厘米，那么它的宽是( )厘米。 2．有这样一组数：1、1、2、3、5、8、13、、34……如果我们试着计算出前一个数和后一个数的比值，会得到下面这些算式： 1∶1＝1÷1＝1                1∶2＝1÷2＝0.5 2∶3＝2÷3≈0.667            3∶5＝3÷5＝0.6 5∶8＝5÷8＝0.625            8∶13＝8÷13≈0.615 13∶＝13÷≈        ∶34＝÷34≈ …… 我发现：前一个数与后一个数的比值越来越接近( )。其实，这个比值在建筑界也受到很多偏爱。像上海的东方明珠，它的总高度是468m。当初，在设计时就运用了这一比值，将上球体设计在289m的位置，使得塔身整体显得非常协调、美观。在数学上，把这个最能引起美感的比称为( )。 3．数学中的黄金比（约为0.618∶1）应用广泛。一些音乐家在创作乐曲时，为使乐曲婉转动听经常将节奏的转折点按黄金比设置。例如，一首60节的乐曲，转折点就设在第60×0.618≈37（节）处。一首80节的乐曲，转折点应设在第( )节处。（结果保留整数） 4．武当山建筑群的设计运用了黄金分割原理。已知真武大帝坐像的基座宽度与坐像高度的比符合黄金比（约为0.618∶1）。如果基座宽约5米，那么坐像高约为( )米。（得数保留两位小数） 5．小明通过阅读了解了“黄金比”。从美学角度来说，一个人上身长与下身长的比约是8∶13，就可以说他身材接近“黄金比”。王阿姨上身长约厘米，下身长约厘米，她需要穿( )厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 6．下面的方格图中，第①个长方形长与宽的比是( )，第( )个长方形的宽与长的比最接近黄金比，第①、②、③个长方形面积的最简整数比是( )。 7．人的肚脐是人身长的黄金分割点。一般来说，当肚脐到脚跟的长度与人身高的比为0.618∶1，是比较好看的黄金身段，一个篮球运动员的身高为2米，则他的肚脐到脚跟的长度为( )米时才是黄金身段。（结果保留两位小数） 8．“黄金比”在日常生活中有着广泛的应用，常常给人以美的感觉，它的比值约等于0.618。如图中，AC∶( )＝0.618；( )∶AC＝0.618。 9．古希腊时期，人们认为最美的人体应该符合黄金分割比例，即从脚底到肚脐的高度与身高的比大约是0.618∶1，这样整个人就会看起来很美。罗马神活中爱和美的女神维纳斯的身高比例就符合黄金比。如果维纳斯的身高是170cm，那脚底到肚脐的高度是( )cm。（保留整数） 二、选择题 10．神奇的自然界处处蕴含着数学知识。动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比值约为0.618，这里蕴含着（    ）的知识。 A．平移 B．黄金比 C．旋转 D．轴对称 11．世界名画《蒙娜丽莎》，她的头宽与肩宽的比符合黄金比，这个比的比值是（    ）。 A．0.382 B．0.618 C．6.18 D．0.2 12．当气温与人体正常体温（37℃）之比等于黄金比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为（    ）℃。 A．20 B．23 C．26 D．28 13．当长方形的宽与长的比值为0.618时，这个长方形在视觉上显得非常协调和美观，被称为“黄金长方形”。如图最接近“黄金长方形”的是（    ）。 A．2∶3 B．3∶4 C．4∶5 D．5∶6 14．当树叶的最宽处与叶长之比近似等于黄金分割比0.618∶1时，叶片不但好看，而且通风，采光效果最好。下面树叶的宽与长的比值最接近黄金比的是（    ）。 A．宽30mm，长60mm B．宽30mm，长50mm C．宽20mm，长60mm D．宽40mm，长60mm 15．黄金比被视作极具审美意义的比。以肚脐为界，当上半身与下半身的长度比是0.618时，身体比例最美。达不到的话可穿高跟鞋改善。妈妈身高164厘米，下半身长99厘米，她需要穿高跟鞋的最佳高度是（    ）厘米。（结果取整厘米数） A．5 B．6 C．7 D．8 三、解答题 16．当单肩包的背带总长度与人身高的比为0.618∶1时，背起来最舒服。王阿姨臂展长160厘米，她的臂展长是身高的。王阿姨准备背一个单肩包上班，她把背带总长度调整到多少厘米最舒服？（得数保留整数） 17．人体上半身和下半身的黄金比约为0.618∶1，妈妈的身长情况如图所示。她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是购买了一双5cm的高跟鞋。依据黄金比，请你判断这双高跟鞋的高度是否合适。 18．阅读下面的信息，解决问题。 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。把这个比应用于艺术，可以给人以最美的感觉，它也叫作“黄金比”。黄金比在作曲领域也被广泛认可，在创作一些乐曲时，音乐家会将高潮部分安排在全曲的黄金比处，比如要创作89节的乐曲，其高潮便在第55节处。（55÷89≈0.618） (1)请根据材料完成填空。 ( )∶整体部分＝( )∶较大部分＝黄金比。 (2)如果一位音乐家要创作60节的乐曲，高潮最好在第几节？请通过计算说明。（得数保留整数） (3)报幕员站在舞台黄金分割点处最自然得体。一个舞台长10米，现报幕员已站在台上，距舞台一侧2米处，要想处于最自然得体的位置，她至少再走多少米？ 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ☆ 神奇的黄金比（期中专项训练） 考点梳理 考点 1：黄金比的定义与数值 1. 把一条线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，我们就称这种分割为    黄金分割    。 2. 黄金比的比值是一个无限不循环小数，通常取其近似值为    0.618    。 3. 若设线段总长为 ，较长部分为 ，较短部分为 ，则满足关系式：     0.618    。 考点 2：黄金比在艺术与建筑中的应用 1. 古希腊帕特农神庙的立面高与宽之比，接近黄金比，给人一种和谐、美观的视觉感受。 2. 著名画作《蒙娜丽莎》中，人物面部轮廓及构图布局也巧妙地运用了    黄金分割    原理，使画面更加生动自然。 3. 在设计矩形时，如果宽与长的比约为    0.618    ，这样的矩形被称为    黄金矩形    ，被认为是最具美感的矩形形状。 考点 3：黄金比在人体与自然中的体现 1. 当人的肚脐到脚底的长度与身高的比值接近    0.618    时，身材比例看起来最为匀称优美。 2. 芭蕾舞演员踮起脚尖，是为了增加下半身的长度，使下半身与身高的比值更接近    0.618    ，从而提升舞台形象的美感。 3. 自然界中，许多植物的叶片排列角度、鹦鹉螺壳的螺旋线等，都蕴含着    黄金比    的规律，这有助于植物更好地接受阳光和雨水。 专项提升练习 一、填空题 1．一个长方形的宽与长的比是黄金比，如果这个长方形的长是5厘米，那么它的宽是( )厘米。 【答案】3.09 【分析】本题解题首先要理解黄金比的概念，所谓黄金比是指把一条线段分割为两部分，较长部分与整体部分的比值等于较短部分与较长部分的比值，其比值约为0.618。知道黄金比的概念后，上题已知一个长方形的宽与长的比是黄金比，长方形的长是5厘米，假设长方形宽为b厘米，那么可得：＝，计算后可得b值，即求出宽的值。 【详解】设长方形的宽为b厘米，可列式为： ＝ （厘米） 一个长方形的宽与长的比是黄金比，如果这个长方形的长是5厘米，那么它的宽为3.09厘米。 2．有这样一组数：1、1、2、3、5、8、13、、34……如果我们试着计算出前一个数和后一个数的比值，会得到下面这些算式： 1∶1＝1÷1＝1                1∶2＝1÷2＝0.5 2∶3＝2÷3≈0.667            3∶5＝3÷5＝0.6 5∶8＝5÷8＝0.625            8∶13＝8÷13≈0.615 13∶＝13÷≈        ∶34＝÷34≈ …… 我发现：前一个数与后一个数的比值越来越接近( )。其实，这个比值在建筑界也受到很多偏爱。像上海的东方明珠，它的总高度是468m。当初，在设计时就运用了这一比值，将上球体设计在289m的位置，使得塔身整体显得非常协调、美观。在数学上，把这个最能引起美感的比称为( )。 【答案】 0.618 黄金比 【分析】这组数的规律是从第三个数开始，每个数等于它前面两个数的和，所以☆＝8＋13，△＝13÷（8＋13），□＝（8＋13）÷34，计算出商保留三位小数，判断比值越来越接近多少，把一条线段分成两部分，当较短部分与较长部分长度之比等于较长部分与整体长度之比（约为0.618∶1），我们把这个比称为黄金比。 【详解】☆＝13＋8＝21 13∶☆＝13÷21≈0.619； ☆∶34＝21÷34≈0.618； 前一个数与后一个数的比值越来越接近0.618；在数学上，把这个最能引起美感的比称为黄金比。 3．数学中的黄金比（约为0.618∶1）应用广泛。一些音乐家在创作乐曲时，为使乐曲婉转动听经常将节奏的转折点按黄金比设置。例如，一首60节的乐曲，转折点就设在第60×0.618≈37（节）处。一首80节的乐曲，转折点应设在第( )节处。（结果保留整数） 【答案】49 【分析】已知黄金比约为0.618∶1，转折点＝节数×0.618，结果保留整数即可。 【详解】80×0.618≈49（节） 4．武当山建筑群的设计运用了黄金分割原理。已知真武大帝坐像的基座宽度与坐像高度的比符合黄金比（约为0.618∶1）。如果基座宽约5米，那么坐像高约为( )米。（得数保留两位小数） 【答案】 8.09 【分析】根据题意，基座宽度与坐像高度的比是0.618∶1，即基座宽度除以坐像高度的商约为0.618。已知基座宽度为5米，求坐像高度，根据除法各部分间的关系，用基座宽度除以0.618即可。 【详解】0.618∶1 ＝0.618÷1 ＝0.618 5÷0.618≈8.09（米） 因此坐像高约为8.09米。 5．小明通过阅读了解了“黄金比”。从美学角度来说，一个人上身长与下身长的比约是8∶13，就可以说他身材接近“黄金比”。王阿姨上身长约厘米，下身长约厘米，她需要穿( )厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 【答案】6 【分析】根据上身长与下身长的比约是8∶13，用王阿姨上身长约64厘米除以对应的8，可求得1份对应的实际量，再用1份对应的实际量乘13，可求得下身总长，再用其减去98厘米，即可求得她需要穿多少厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 【详解】64÷8×13－98 ＝8×13－98 ＝104－98 ＝6（厘米） 所以她需要穿6厘米的高跟鞋才能使身材接近“黄金比”。 6．下面的方格图中，第①个长方形长与宽的比是( )，第( )个长方形的宽与长的比最接近黄金比，第①、②、③个长方形面积的最简整数比是( )。 【答案】 6∶5 ② 5∶4∶6 【分析】①第①个长方形长为6个小正方形的边长，宽为5个小正方的边长，由此即可填空； ②黄金比约为0.618，用比的前项除以比的后项即可判断哪个长方形的宽与长的比最接近黄金比； ③根据长方形的面积＝长×宽，分别求出3个小长方形的面积，即可化简出三个长方形面积的最简整数比。 【详解】①第①个长方形长与宽的比是6∶5； ②第①个长方形宽与长的比值＝5÷6＝； 第②个长方形宽与长的比值＝4÷6＝； 第③个长方形宽与长的比值＝4÷9＝； 更接近黄金比0.618，即第②个长方形的宽与长的比最接近黄金比； ③第①个长方形的面积＝6×5＝30； 第②个长方形的面积＝6×4＝24； 第③个长方形的面积＝9×4＝36； ①、②、③个长方形面积的比＝30∶24∶36＝（30÷6）∶（24÷6）∶（36÷6）＝5∶4∶6。 7．人的肚脐是人身长的黄金分割点。一般来说，当肚脐到脚跟的长度与人身高的比为0.618∶1，是比较好看的黄金身段，一个篮球运动员的身高为2米，则他的肚脐到脚跟的长度为( )米时才是黄金身段。（结果保留两位小数） 【答案】1.24 【分析】由题意可知，肚脐到脚跟的长度与人身高的比为0.618∶1，即肚脐到脚跟的长度∶人的身高＝0.168，则肚脐到脚跟的长度＝人的身高×0.168，据此进行计算即可。 【详解】2×0.618＝1.236（米）≈1.24米 则他的肚脐到脚底的长度为1.24米时才是黄金身段。 8．“黄金比”在日常生活中有着广泛的应用，常常给人以美的感觉，它的比值约等于0.618。如图中，AC∶( )＝0.618；( )∶AC＝0.618。 【答案】 AB AD 【分析】依据是“五角星中存在‘较短线段∶较长线段≈0.618’的黄金比例关系”。先看第一个空，题目给出“AC∶（ ）＝0.618”，观察图形可知，AC是较短线段，而AB是比AC更长的线段，符合“较短线段∶较长线段”的黄金比结构，因此第一个空应填AB；再看第二个空“（ ）∶AC＝0.618”，此时AC成为较长线段，AD是比AC更短的线段，满足“更短线段∶较长线段”的黄金比规律，所以第二个空应填AD。 【详解】观察图形，AB是较长的线段，AC是较短线段，根据黄金比“较短线段∶较长线段≈0.618”，所以 AC∶AB≈0.618，因此填AB。AD是比AC更短的线段，此时“更短线段∶较短线段≈0.618”，所以 AD∶AC≈0.618，因此填AD。 9．古希腊时期，人们认为最美的人体应该符合黄金分割比例，即从脚底到肚脐的高度与身高的比大约是0.618∶1，这样整个人就会看起来很美。罗马神活中爱和美的女神维纳斯的身高比例就符合黄金比。如果维纳斯的身高是170cm，那脚底到肚脐的高度是( )cm。（保留整数） 【答案】105 【分析】根据已知条件：从脚底到肚脐的高度与身高的比大约是0.618∶1，把从脚底到肚脐的高度看作0.168份，把身高看作1份，用维纳斯的身高170cm，除以对应的份数，求出1份量是多少，再乘从脚底到肚脐的高度对应的份数，即可求出脚底到肚脐的高度是多少，得数保留整数。 【详解】170÷1×0.618 ＝170×0.618 ≈105（cm） 即脚底到肚脐的高度是105cm。 【点睛】此题主要考查比的应用，解题关键是把比转化为份数，求出1份量，即可解答。 二、选择题 10．神奇的自然界处处蕴含着数学知识。动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比值约为0.618，这里蕴含着（    ）的知识。 A．平移 B．黄金比 C．旋转 D．轴对称 【答案】B 【分析】平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动。黄金比是把一条线段分割为两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值。旋转是指在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化。如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。 【详解】A．平移与比值无关。 B．黄金比的比值约为0.618，与题目中给出的比值一致。 C．旋转与比值无关。 D．轴对称与比值无关。 每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比值约为0.618，这里蕴含着黄金比的知识。 故答案为：B 11．世界名画《蒙娜丽莎》，她的头宽与肩宽的比符合黄金比，这个比的比值是（    ）。 A．0.382 B．0.618 C．6.18 D．0.2 【答案】B 【分析】把一个物体分成两部分，当较长部分与整体的比是0.618∶1时被称为“黄金比”；然后根据求比值的方法，用比的前项除以比的后项，所得的商就是比值。 【详解】黄金比是0.618∶1，黄金比的比值是0.618∶1＝0.618 故答案为：B 【点睛】了解“黄金比”的意义是解答本题的关键。 12．当气温与人体正常体温（37℃）之比等于黄金比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为（    ）℃。 A．20 B．23 C．26 D．28 【答案】B 【分析】​根据题意，要求这个气温，需要用人体正常体温乘黄金比0.618，然后计算出结果，再与选项对比，据此解答。 【详解】37×0.618≈23（℃） 所以当气温与人体正常体温（37℃）之比等于黄金比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为23℃。 故答案为：B 13．当长方形的宽与长的比值为0.618时，这个长方形在视觉上显得非常协调和美观，被称为“黄金长方形”。如图最接近“黄金长方形”的是（    ）。 A．2∶3 B．3∶4 C．4∶5 D．5∶6 【答案】A 【分析】用比的前项除以后项，算出比值，除不尽的保留三位小数。比值最接近0.618的选项符合题意。 【详解】A．2∶3＝2÷3≈0.667 B．3∶4＝3÷4＝0.75 C．4∶5＝4÷5＝0.8 D．5∶6＝5÷6≈0.833 0.667＜0.75＜0.8＜0.833 所以，0.667最接近0.618，是最接近“黄金长方形”。 故答案为：A 14．当树叶的最宽处与叶长之比近似等于黄金分割比0.618∶1时，叶片不但好看，而且通风，采光效果最好。下面树叶的宽与长的比值最接近黄金比的是（    ）。 A．宽30mm，长60mm B．宽30mm，长50mm C．宽20mm，长60mm D．宽40mm，长60mm 【答案】B 【分析】根据比的意义，分别写出树叶的宽与长的比，再用比的前项除以比的后项分别求出比值，与0.618差最小者，最接近黄金分割比。 【详解】0.618∶1＝0.618÷1＝0.618 A．30mm∶60mm ＝30÷60 ＝0.5 0.618－0.5＝0.118； B．30mm∶50mm ＝30÷50 ＝0.6 0.618－0.6＝0.018； C．20mm∶60mm ＝20÷60 ≈0.333 0.618－0.333＝0.285； D．40mm∶60mm ＝40÷60 ≈0.667 0.667－0.618＝0.049 0.285＞0.118＞0.049＞0.018 所以，下面树叶的宽与长的比值最接近黄金比的是B选项中树叶。 故答案为：B 15．黄金比被视作极具审美意义的比。以肚脐为界，当上半身与下半身的长度比是0.618时，身体比例最美。达不到的话可穿高跟鞋改善。妈妈身高164厘米，下半身长99厘米，她需要穿高跟鞋的最佳高度是（    ）厘米。（结果取整厘米数） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】妈妈身高－下半身长＝上半身长，上半身长÷0.618＝身体比例最美的下半身长，身体比例最美的下半身长－妈妈下半身长＝高跟鞋的最佳高度。 【详解】（164－99）÷0.618－99 ＝65÷0.618－99 ≈105－99 ＝6（厘米） 她需要穿高跟鞋的最佳高度是6厘米。 三、解答题 16．当单肩包的背带总长度与人身高的比为0.618∶1时，背起来最舒服。王阿姨臂展长160厘米，她的臂展长是身高的。王阿姨准备背一个单肩包上班，她把背带总长度调整到多少厘米最舒服？（得数保留整数） 【答案】104厘米 【分析】臂展长是身高的，王阿姨臂展长160厘米，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，用160除以即可得出王阿姨的身高；背带总长度与身高的比为0.618∶1，即背带长度是身高的0.618倍。则背带长度＝身高×0.618，用王阿姨的身高乘0.618计算后根据“四舍五入”法保留整数。 【详解】160÷×0.618 ＝160××0.618 ＝168×0.618 ≈104（厘米） 答：她把背带总长度调整到104厘米最舒服。 17．人体上半身和下半身的黄金比约为0.618∶1，妈妈的身长情况如图所示。她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是购买了一双5cm的高跟鞋。依据黄金比，请你判断这双高跟鞋的高度是否合适。 【答案】合适 【分析】计算穿上5厘米高跟鞋后，新的上半身与下半身的比值，是否接近黄金比0.618∶1，判断高跟鞋高度是否合适。 【详解】穿高跟鞋后的下半身长度：102＋5＝107（厘米）； 新比值：≈0.598； 与黄金比差值：0.618－0.598＝0.02 答：这个比值已经非常接近黄金比，这双5厘米的高跟鞋高度是合适的。 18．阅读下面的信息，解决问题。 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。把这个比应用于艺术，可以给人以最美的感觉，它也叫作“黄金比”。黄金比在作曲领域也被广泛认可，在创作一些乐曲时，音乐家会将高潮部分安排在全曲的黄金比处，比如要创作89节的乐曲，其高潮便在第55节处。（55÷89≈0.618） (1)请根据材料完成填空。 ( )∶整体部分＝( )∶较大部分＝黄金比。 (2)如果一位音乐家要创作60节的乐曲，高潮最好在第几节？请通过计算说明。（得数保留整数） (3)报幕员站在舞台黄金分割点处最自然得体。一个舞台长10米，现报幕员已站在台上，距舞台一侧2米处，要想处于最自然得体的位置，她至少再走多少米？ 【答案】(1) 较大部分 较小部分 (2)37节 (3)1.82米 【分析】（1）根据较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这个比叫作“黄金比”，填空即可。 （2）高潮所在音节∶乐曲总音节＝0.618，根据比值×后项＝前项，列式解答即可，结果根据四舍五入法保留整数。 （3）较长部分∶整体长度＝0.618，根据比值×后项＝前项，计算出较长部分，整体长度－较长部分＝较短部分，较短部分－2米＝至少再走的距离。 【详解】（1）较大部分∶整体部分＝较小部分∶较大部分＝黄金比。 （2）0.618×60≈37（节） 答：高潮最好在第37节。 （3）10－0.618×10 ＝10－6.18 ＝3.82（米） 3.82－2＝1.82（米） 答：她至少再走1.82米。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $