第三单元 数与运算的再认识（期中专项训练）数学苏教版六年级上册（新教材）

**基本信息** 以“计数单位统一”为核心，系统整合整数、小数、分数运算算理，通过对比迁移构建数与运算的一致性认知体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|4大考点|数的本质是计数单位累加；相同计数单位才能直接运算；除法转化为乘法（转化思想）|从数的意义到加减乘除算理，形成“概念-原理-应用”逻辑链| |专项练习|填空/选择/计算/解答（28题）|通过对比辨析强化算理一致性；用转化法统一运算逻辑|以题载理，覆盖计数单位认知、运算规则迁移、转化思想应用|

第三单元 数与运算的再认识（期中专项训练） 考点梳理 考点1：数的意义的一致 1. 无论是整数、小数还是分数，数的本质都是 计数单位 的累加。 2. 整数 表示 个 一；小数 表示 个 0.1（或十分之一）；分数 表示 个 。 3. 在进行数的比较和运算时，核心原则是只有 相同 的计数单位才能直接相加减。 考点2：加减法算理的一致 1. 加减法运算的本质是 相同计数单位 个数的相加或相减。 2. 整数加减法：要求 数位 对齐，确保相同计数单位对齐。 3. 小数加减法：要求 小数点 对齐，实质也是确保相同数位（计数单位）对齐。 4. 分数加减法：异分母分数相加减，必须先 通分，目的是统一 分数单位，转化为同分母分数后再计算。 考点3：乘除法算理的一致 1. 乘法意义：整数乘法是求几个相同加数和的简便运算；小数和分数乘法可以理解为求一个数的 几分之几 或 倍数。 2. 乘法算理： (1) 计算 时，看作 个十乘 ，得 个 十，即 。 (2) 计算 时，看作 个 乘 ，得 个 0.1，即 。 (3) 结论：乘法运算中，计数单位的个数相乘，计数单位 也参与运算（如分母相乘）。 3. 除法意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 4. 除法算理： (1) 整数除法中，若高位不够除，需将高位剩余的计数单位转化为低一级 计数单位 继续除。 (2) 分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的 倒数。 考点4：除法转化为乘法 1. 除法是乘法的 逆 运算。 2. 通用转化法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的 倒数。 3. 用字母表示为： 。 4. 这一转化体现了数学中的 转化 思想，将新问题转化为已知的乘法问题来解决，统一了运算逻辑。 专项提升练习 一、填空题 1．500是由5个( )组成的，0.03是由3个( )组成的，是由4个( )组成的；整数、小数、分数都是由各自的( )累加而成的。 【答案】 百 0.01 计数单位 【分析】根据整数、小数、分数的计数单位的概念进行分析，计数单位是用于衡量数量的基本单位，不同类型的数有各自对应的计数单位。 【详解】因为500÷5＝100，所以500是由5个百组成；因为0.03÷3＝0.01，所以0.03是由3个0.01组成；因为÷4＝，所以是由4个组成；整数、小数、分数都是由各自的计数单位累加而成。 因此500是由5个百组成的，0.03是由3个0.01组成的，是由4个组成的。 2．在我们学过的整数、分数和小数里，10个一是一个十，7个是，6个0.1是0.6，这里的一、和0.1都是( )，面积和体积的大小和数的大小一样，都是它们各自( )个数的累加。 【答案】 计数单位 计数单位 【分析】对于整数，计数单位是个、十、百等；对于小数，计数单位是0.1、0.01等；对于分数，计数单位是几分之一。根据前面整数、小数计数单位的思考方式，来理解数的组成和面积、体积的计量。 【详解】在我们学过的整数、分数和小数里，10个一是一个十，7个是，6个0.1是0.6，这里的一、和0.1都是计数单位，面积和体积的大小和数的大小一样，都是它们各自计数单位个数的累加。 3．40表示4个十，0.3是3个( )。，( )。 【答案】 0.1/十分之一 0.1 【分析】十位的计数单位是十，十位上的数字是几就有几个十；十分位的计数单位是0.1，十分位上的数字是几就有几个0.1；也可以一个数写成计数单位的个数×计数单位的形式。 【详解】十位的计数单位是十，40表示4个十，十分位的计数单位是0.1，0.3是3个0.1。，0.1。 4．在计算＋时，我们需要先通分，也就是变为（    ）个＋（    ）个＝（    ）个，即等于；分数加法和整数加法、小数加法在计算过程中都是在计算相同（    ）的个数相加的过程。 【答案】8；3；11；；计数单位 【分析】异分母分数相加减时，需根据分数的基本性质（分子分母同时乘或除以相同的数，0除外，分数的大小不变），先把异分母分数转化为同分母，再根据同分母分数加减法计算法则计算：分子相加，分母不变。 整数加法要求相同数位对齐、小数加法要求小数点对齐、分数加法要求通分，本质都是统一计数单位，将相同计数单位的个数相加。 【详解】＝（即8个）；＝（即3个）。 ＋ ＝＋ ＝ ＝（即11个） 整数加法（如3＋5）是计算“个”的单位数；小数加法（如0.2＋0.3）是计算“0.1"的单位数；分数加法（如的加法）是计算“”的单位数。因此，分数加法和整数加法、小数加法在计算过程中都是在计算相同计数单位的个数相加的过程。 5．数的运算道理其实是一样的。对比以下算式。 154＋173    2.41－1.36         上面算式中的“4”和“3”不可以直接加减的是( )，在这个算式中4表示4个( )，3表示3个( )。从这些算式中发现：整数、小数、分数加减法的算理是一样的，( )才可以相加减。 【答案】 一 相同计数单位 【分析】在计算整数加减法时，相同数位要对齐；计算小数加减法时，小数点要对齐，也就是相同数位要对齐；在计算异分母分数加减法时，要先通分，也就是分数单位要相同。 分析各算式中4和3的计数单位，计数单位不同时，不能直接加减。 【详解】154＋173中，4在个位，表示4个一，3在个位，表示3个一，计数单位相同，可以直接相加。 2.41－1.36中，4在十分位，表示4个0.1，3在十分位，表示3个0.1，计数单位相同，可以直接相减。 4－中，4在个位，表示4个一，3表示3个，计数单位不相同，不可以直接相减。 中，4表示4个，3表示3个，计数单位相同，可以直接相加。 上面算式中的“4”和“3”不可以直接加减的是，在这个算式中4表示4个一，3表示3个。从这些算式中发现：整数、小数、分数加减法的算理是一样的，相同计数单位才可以相加减。 6．复习课上，同学们通过举例的方法（如图）研究整数、小数和分数加减法计算方法的共同点。 算式① 算式② 算式③ (1)三道算式中，算式( )（填序号）是错误的，理由是：_______________。 (2)通过研究，发现整数、小数和分数加减运算的共同点是：只有计数单位( )时才能直接相加减。 【答案】(1) ② 小数点没有对齐 (2)相同 【分析】整数末尾对齐，也就是把相同数位对齐，而小数的位数不同时，计数单位不同，不能末尾对齐，只有小数点对齐，相同数位才能对齐。算式①是把相同数位对齐再计算，算式②小数点没有对齐也就是相同数位未对齐，因此计算错误，而算式③是分数加法，计算时先通分再相加，也就是计数单位相同才能相加，所以整数、小数、分数加法计算的共同点是把相同计数单位的数相加。据此解答。 【详解】（1）三道算式中，算式②（填序号）是错误的，理由是：小数点没有对齐。 （2）通过研究，发现整数、小数和分数加减运算的共同点是：只有计数单位相同时才能直接相加减。 7．请观察下表，然后回答问题。 运算类型 具体算式 计算方法 本质核心 整数加法 4236＋367 相同数位对齐，从低位加起 统一为个、十、百、千等计数单位 小数减法 2.1－0.58 小数点对齐，从末位减起 统一为0.1、0.01等计数单位 同分母分数加法 分子相加，分母不变 统一为的计数单位 异分母分数加法 先通分，再按同分母分数加法计算 统一为的计数单位 你认为整数、小数、分数加减法的运算中最核心的是什么，请根据你的思考将下面的表述补充完整：所有加减法的本质都是( )计数单位的( )。 【答案】 相同 个数相加减 【分析】整数加减法：对齐数位，统一成“一、十、百”相同计数单位后，单位个数相加减； 小数加减法：对齐小数点，统一成“0.1、0.01”相同计数单位后，单位个数相加减； 分数加减法：同分母直接加减分子，异分母先通分，统一成相同分数单位，再对单位个数相加减。四类运算的核心逻辑完全统一：只有计数单位一致，才能直接把单位的个数相加减。 【详解】所有加减法的本质都是相同计数单位的个数相加减。 8．照样子、填一填。 在学习整数、小数、分数乘法时，我们这样想： ＝（_____）（_____） ＝( )×( ) ＝( )×( ) ＝( ) 【答案】 3 3 3 3 9 【分析】结合整数、小数乘法的例子，运用分数单位的意义，把分数乘分数改写成分子乘分子、分数单位乘分数单位的形式，然后运用乘法运算定律进行简算，由此得出分数乘分数的计算方法。 【详解】×＝（3×）×（3×） ＝（3×3）×（×） ＝9× ＝ 9．小乐在复习整数、小数和分数加法运算时，写出了下面3个例子进行研究。 32＋14＝46，表示32个一加上14个一得到46个一，也就是46。 0.2＋0.6＝0.8，表示2个0.1加上6个0.1得到8个0.1，也就是0.8。 ，表示2个加上3个得到5个，也就是。 (1)观察以上算式，你认为它们的相同之处都是( )。 (2)不能直接相加的原因是( )，必须先转化。请你照上面的样子写出它的计算过程和表示的意义：( )。 【答案】(1)相同的计数单位相加 (2) 分数单位不同 ＋＝＋＝，表示21个加上10个得到31个，也就是 【分析】（1）观察三个例子，整数加法是相同计数单位“一”的累加，小数加法是相同计数单位“0.1”的累加，分数加法是相同计数单位“”的累加，因此它们的相同之处都是相同的计数单位相加。 （2）的分数单位是，的分数单位是，两者分数单位不同，因此不能直接相加。需要先通分，将它们转化为相同分数单位的分数再相加。据此解答。 【详解】（1）观察以上算式，你认为它们的相同之处都是相同的计数单位相加。 （2）＋不能直接相加的原因是分数单位不同，必须先转化。 请你照上面的样子写出它的计算过程和表示的意义：＋＝＋＝，表示21个加上10个得到31个，也就是。 10．“乐学”小组在整理复习时发现了整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如下所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整并填一填。 我发现：整数、小数、分数乘法的算理相同，都可以看成若干个（    ）相乘得到新的计数单位，若干个（    ）相乘得到新的计数单位的个数。 【答案】见详解； 计数单位；计数单位对应的个数 【分析】对于20×300，也就是2个10乘3个100，得到6个1000，就是6000；对于0.2×0.03，也就是2个0.1乘3个0.01，得到6个0.001，就是0.006；类比可推出：，也就是2个乘3个，得到6个，就是。 【详解】 我发现：整数、小数、分数乘法的算理相同，都可以看成若干个计数单位相乘得到新的计数单位，若干个计数单位对应的个数相乘得到新的计数单位的个数。 11．分数除法与小数除法算法是一致的，都可以转化成整数相除，例如：，请你按照这种方法计算（ × ）÷（ × ）＝（    ）÷（    ）。 【答案】；；；36；；36；16；27； 【分析】根据商不变的规律，中被除数和除数同时乘分母的最小公倍数36，把分数除法转化为整数除法，再根据“”得出结果。 【详解】分析可知，。 12．学习了分数除法后，乐乐将其与整数除法和小数除法放在一起进行比较。 ①290÷25÷4＝290÷（25×4）＝290÷100＝2.9 ②56.8÷0.5÷0.2＝56.8÷（0.5×0.2）＝56.8÷0.1＝568 ③( )＝÷( )＝( ) 通过计算、比较，我们可以发现这些算式都用到了除法的性质，用字母表示为( )。 【答案】 （×） 【分析】根据除法性质可知，一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积，用字母表示：，由此求解。 ①290÷25÷4＝290÷（25×4）＝290÷100＝2.9 ②56.8÷0.5÷0.2＝56.8÷（0.5×0.2）＝56.8÷0.1＝568 ③前两个算式都根据除法性质计算，同理，是连续除以两个分数，等于除以后两个分数之积。 【详解】 则＝÷（×）＝÷＝，通过计算、比较，我们可以发现这些算式都用到了除法的性质，用字母表示为。 二、选择题 13．观察7、0.7和这三个数，它们的（    ）相同。 A．大小 B．计数单位 C．计数单位的个数 D．数位 【答案】C 【分析】根据数位顺序表可知，小数点的左边是整数位，小数整数部分的数位与整数的数位相同，依次是个位、十位、百位、千位……，对应的计数单位分别是一、十、百、千……；小数点的右边是小数位，依次是十分位、百分位、千分位……，对应的计数单位分别是十分之一或、百分之一或、千分之一或……；数位上是几，就表示有几个这样的计数单位。 【详解】A．，因为，所以，这三个数的大小不相同，此选项错误； B．的计数单位是一，的计数单位是，的计数单位是，计数单位不相同，此选项错误； C．里面有个一，里面有个，里面有个，计数单位的个数都是，它们计数单位的个数相同，此选项正确； D．在个位，的在十分位，数位不相同，此选项错误。 14．下列各数中的“8”，不是表示8个计数（分数）单位的是（    ）。 A．807 B．0.78 C． D． 【答案】D 【分析】小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一…，分别写作0.1、0.01、0.001…；分数的计数单位是分母分之一，真分数中分子是几就有几个这样的分数单位；整数的计数单位有个、十、百、千…；据此逐项分析。 【详解】A．807的8在百位上，表示8个100，该选项不符合题意； B．0.78的8在百分位上，表示8个0.01，该选项不符合题意； C．的分数单位是，其中8在分子的位置，表示8个，该选项不符合题意； D．的分数单位是，其中8在分母的位置，表示7个，因此中的8不是表示8个分数单位，该选项符合题意。 故答案为：D 15．下面算式中的3和5能直接相加的是（    ）。 A．823＋451 B．2.34＋7.05 C． D． 【答案】C 【分析】只有计数单位相同的数才能直接相加，据此判断各选项即可。 【详解】A．823中的3在个位，计数单位是1；451中的5在十位，计数单位是10，计数单位不同，3和5不能直接相加。 B．2.34中的3在十分位，计数单位是0.1；7.05中的5在百分位，计数单位是0.01，计数单位不同，3和5不能直接相加。 C．的分数单位是，的分数单位是，计数单位相同，3和5可以直接相加。 D．的分数单位是，的分数单位是，计数单位不同，3和5不能直接相加。 16．在探索时，用商不变的规律进行思考的是（    ）。 A．把6个平均分成两份，每份就是3个，也就是。 B．把平均分成两份，每份就是的，也就是。 C．。 D．。 【答案】C 【分析】商不变规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。据此判断。 【详解】A．以为分数单位，将理解为6个，即；平均分成两份，6÷2＝3，每份就是3个，即，是乘法的意义，不是商不变规律。 B． 根据“除以一个不为0的数等于乘它的倒数”，将分数除法转化为分数乘法进行计算，不是商不变规律。 C． 被除数和除数2同时乘，符合商不变规律。 D． 根据分数除以整数的计算方法，分母不变，分子除以整数，不是商不变规律。 17．学习要善于比较和总结，结合下表对学过的整数、小数和分数的加减法进行归纳，发现整数、小数、分数加减计算的相同点：只有（    ）相同，才能直接相加减。 整数 个十加个十 小数 个减个 分数 个加个 A．位数 B．计数单位 C．数位 D．数级 【答案】B 【分析】整数加减法中，相同数位上的数才能直接相加减，本质是相同计数单位相加减；小数加减法小数点对齐，也是让相同计数单位相加减；分数加减法中，分数单位相同才能直接相加减。由此可知，整数、小数、分数加减计算的相同点是只有计数单位相同，才能直接相加减。 【详解】A．位数相同不一定能直接相加减，不符合题意； B．计数单位相同，才能直接相加减，符合题意； C．数位是整数和小数中的说法，分数加减法中要看分数单位是否相同，不符合题意； D．数级不是三类数加减计算都要依据的共同点，不符合题意。 所以整数、小数、分数加减计算的相同点是只有计数单位相同，才能直接相加减。 18．六（1）班同学在研究的计算方法时，出现了下面的四种想法： 下面的说法中，不正确的是（    ）。 A．①运用的是商不变的规律 B．②运用的是等式的性质 C．③运用的是分数的基本性质和商不变的规律 D．④运用的是等式的性质 【答案】B 【分析】想法1：被除数和除数同时乘以8，将分数除法转化为整数除法，最后求商，运用了商不变的规律。 想法2：被除数和除数同时乘以除数的倒数，将除数变为1，任何数除以1都得原数，这仍然运用了商不变的规律。 想法3：将被除数与除数通分，把分母化相同，这里运用的是分数的基本性质，之后运用商不变的规律将被除数和除数变成整数，最后求商。 想法4：先设，转化为等式，再让等式两边同时乘，得到，整个过程通过设未知数构建等式，再依据等式的性质变形求解。 【详解】根据分析： A．①运用的是商不变的规律，此选项正确。 B．②运用的是等式的性质，想法②运用了商不变的规律，此选项错误。 C．③运用的是分数的基本性质和商不变的规律，根据前面的分析，此选项正确。 D．④运用的是等式的性质，根据前面的分析，此选项正确。 故答案为：B 19．为了得到的结果，下面四名同学分别用了不同的方法，其中错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选项A根据除法的性质进行判断；选项B根据商的变化规律进行判断：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变；选项C根据除法的性质进行判断；选项D根据除法的意义进行判断。 【详解】A．＝2÷3，，此选项正确； B．，被除数和除数同时乘3，商不变，此选项正确； C．，正确的应该是：，所以此选项错误； D．将2米平均分成6份，每份表示米，两份表示米，共有3个两份，所以2÷＝3；该选项正确。 故答案为：C 20．在探究的计算方法时以下4个同学用了不同的思路，其中正确的有（    ）个。 ①聪聪：         ②明明： ③亮亮：      ④敏敏： A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①计算时将分数化成小数，根据小数除法的计算方法进行计算，思路正确； ②将被除数和除数进行通分，通分后计数单位相同，用分子÷分子，即被除数中分数单位的个数包含5个除数中的分数单位个数，思路正确； ③分数的分子相当于被除数，分母相当于除数。根据分数与除法的关系，将分数写成除法形式，去括号，括号里的除号变乘号，再进行计算，思路正确； ④根据商不变的性质，即被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，思路正确。 【详解】根据分析，①②③④都正确，其中正确的有4个。 故答案为：D 三、计算题 21．计算下面各题，能简算的要简算。                             4.35×101－4.35                             3.36×5.7＋66.4×0.57 【答案】 4；435； 9；57 【分析】运用乘法分配律简便计算； 将4.35写成4.35×1，再利用乘法分配律进行简算； 运用加法交换律将小数相加凑整，再利用减法性质将同分母分数相加，最后将两个结果相减； 根据积不变的规律把3.36×5.7转化成33.6×0.57，再利用乘法分配律进行简算。 【详解】 22．奇奇在整理乘法计算时发现：整数小数分数乘法的计算道理和方法是相通的。请你根据示例补充完整分数乘法的思考过程，并写出结果。 奇奇： 【答案】奇奇： 【分析】两组算式是把因数拆成“整数部分×计数单位”，再用乘法交换律和结合律，把计数单位和数字分别相乘，最后再把结果相乘。分数也可以看成“整数部分×计数单位”，再按照上述规律计算即可。 【详解】是4个，是6个， 所以，。 23．算而有理。 (1) （____×____）×（____×____）＝( )。 (2)请仿照上面的例子，写出的计算过程。（，） （____×____）×（____×____）＝( )。 (3)比较整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算方法，你发现它们有什么共同点？ 【答案】(1) 2 3 (2) (3)整数乘法、小数乘法、分数乘法都可以把数拆分成计数单位（或分数单位）的个数与计数单位（或分数单位）的乘积；再利用乘法结合律，先算计数单位（或分数单位）的个数相乘的积和计数单位（或分数单位）相乘的积，再把它们的积乘起来。 【分析】（1）整数乘法，把每个数拆分成计数单位的个数与计数单位的乘积；再利用乘法结合律，先算计数单位的个数相乘的积和计数单位相乘的积，再把它们的积乘起来。 小数乘法，把每个数拆分成计数单位的个数与计数单位的乘积；再利用乘法结合律，先算计数单位的个数相乘的积和计数单位相乘的积，再把它们的积乘起来。 计算分数乘法时，可以把每个分数拆分成分数单位的个数与分数单位的乘积，再利用乘法结合律进行计算。 （2）把拆分成，把拆分成，先算b与d的积和与的积，再把两个积相乘。 （3）整数乘法、小数乘法、分数乘法都可以把数拆分成计数单位（或分数单位）的个数与计数单位（或分数单位）的乘积；再利用乘法结合律，先算计数单位（或分数单位）的个数相乘的积和计数单位（或分数单位）相乘的积，再把它们的积乘起来。 【详解】（1） （2） （3）整数乘法、小数乘法、分数乘法都可以把数拆分成计数单位（或分数单位）的个数与计数单位（或分数单位）的乘积；再利用乘法结合律，先算计数单位（或分数单位）的个数相乘的积和计数单位（或分数单位）相乘的积，再把它们的积乘起来。 四、解答题 24．在数学学习中，我们发现：整数、小数和分数的加减法，虽然形式不同，但背后藏着相通的数学道理。让我们一起探究吧！ (1)我的梳理。 (2)我的发现：整数、小数、分数加减法运算的相同点是__________________________________________。 (3)我的辨析。下面算式中“4”和“9”不能直接相加减的是（    ）。 A．467＋923 B．6.98－5.4 C． D． 【答案】(1) (2)只有计数单位相同的数才能直接相加减 (3)D 【分析】（1）整数加减法竖式计算要求相同数位对齐，即计数单位相同的数对齐；小数加减法竖式计算要求小数点对齐，本质也是相同数位对齐；分数加减法，分母不同即分数单位不同，不能直接相加减，需要先通分，统一分数单位后再计算。 （2）通过对比发现，三者运算的本质都是计数单位相同的数才能直接相加减。 （3）分析各选项中数字“4”和“9”所在的数位或代表的意义，判断其计数单位是否相同。 【详解】（1）整数加减法：竖式计算时，相同数位要对齐。图中453＋21，箭头指向的5在十位上，表示5个十；2在十位上，表示2个十。小数加减法：竖式计算时，小数点要对齐。图中3.53＋2.1，箭头指向的5在十分位上，表示5个0.1；1在十分位上，表示1个0.1。分数加减法：计算＋时，分母不同，分数单位不同，不能直接相加。先通分，把化成，再计算。目的：统一分数单位（或使分数单位相同）。 图略 （2）我的发现：整数、小数、分数加减法运算的相同点是：只有计数单位相同的数才能直接相加减。 （3）A．467＋923，4在百位9在百位，计数单位都是“百”，可以直接相加。 B．6.98−5.4，9在十分位，4在十分位，计数单位都是“0.1”，可以直接相减。 C．分母相同，分数单位都是，分子4和9，表示4个和9个，可以直接相加。 D．，4和9是分母，分母不同，分数单位不同（分别是和），不能直接相减，需要先通分。 所以不能直接相加减的是D选项。 25．（1）在长方形中画一画、涂一涂，表示出计算的道理和结果。 （2）在复习数的运算时，同学们把整数、小数和分数乘法放在一起比较，研究它们的算理： ①20×40＝（2×10）×（4×10）＝（2×4）×（10×10）＝8×100＝800 ②0.2×0.4＝（2×0.1）×（4×0.1）＝（2×4）×（0.1×0.1）＝8×0.01＝0.08 根据以上两个算式，你能写一写下面的算式吗？ ③＝ 【答案】（1） （2）＝（2×）×（4×）＝（2×4）×（）＝8×＝ 【分析】（1）把长方形平均分成3行，将其中的2行涂上一种颜色（比如灰色），这表示长方形的。把已经涂灰色的这部分再平均分成5列，将其中的4列涂上另一种颜色（比如绿色）。此时，绿色部分就表示的，也就是。从图中可以直观地看到，整个长方形被平均分成了3×5＝15份，绿色部分占了2×4＝8份，所以＝。 （2）从已知算式可知，整数乘法、小数乘法，可以先把乘数看成有几个计数单位，然后把计数单位的个数和计数单位分别相乘，得到的积再相乘。 【详解】（1）＝，图略。 （2）可以把看成2×，把看成4×，再根据乘法交换律和结合律计算即可。 ＝（2×）×（4×）＝（2×4）×（）＝8×＝ 26．数学课上，同学们在讨论以往学过的乘法。 小阳 计算乘法时，可以从计数单位的角度思考，把计数单位与计数单位相乘，计数单位的个数与计数单位的个数相乘。 小兵 按照这个方法，整数乘法可以这样算： 30×800＝（3×10）×（8×100）＝（3×8）×（10×100）＝24×1000＝24000 小梅 按照这个方法，小数乘法可以这样算： 0.3×0.08＝（3×0.1）×（8×0.01）＝（3×8）×（0.1×0.01） ＝24×0.001＝0.024 小丽 我觉得分数乘法也可以按照这个方法算。 你同意小丽的观点吗？如果同意，请以为例写出计算过程。 【答案】 同意； 【分析】在分数中，分母是几，那么分数单位就是几分之一，分子决定它有几个分数单位。根据同学们的方法，分数乘法可将分子（计数单位的个数）相乘，分母（计数单位）相乘，结果符合分数乘法法则。 【详解】略 27．观察下面除法计算的例子，按要求做题。 (1)我发现：整数、小数、分数除法运算具有一致性，都是先转化成 ，再把 相除。（    ） A．相同数位，相同计数单位 B．相同计数单位，相同计数单位的个数 C．相同计数单位的个数，相同数位 (2)根据上面的发现，计算＝( )÷( )＝( )÷( )＝( )。 【答案】(1)B (2) 21 20 【分析】（1）计算整数除法60÷30是看成6个十除以3个十，再用被除数计数单位的个数除以除数的计数单位的个数得到的商就是60÷30的商；计算小数除法0.6÷0.3是看成6个0.1除以3个0.1，再用被除数计数单位的个数除以除数的计数单位的个数得到的商就是0.6÷0.3的商；计算分数除法÷，先根据分数的基本性质把它们化成分母都是8的分数，此时被除数和除数的计数单位相同，再用被除数计数单位的个数除以除数的计数单位的个数得到的商就是÷的商；据此解答； （2）计算÷时，先根据分数的基本性质把异分母分数化成相同计数单位的分数，再把它们的计数单位的个数相除，据此解答。 【详解】（1）我发现：整数、小数、分数除法运算具有一致性，都是先转化成相同计数单位，再把相同计数单位的个数相除。 故答案为：B （2）根据上面的发现，计算÷＝÷＝21÷20＝。 28．小智用下面的方法计算了整数乘法。 40×30                            0.4×0.2                             ＝（4×10）×（3×10）            ＝（4×0.1）×（2×0.1）            ＝（4×_____）×（2×_____） ＝（4×3）×（10×10）            ＝（___×___）×（___×___）    ＝（___×___）×（___×___） ＝12×100                        ＝______×______                ＝______×______ ＝1200                            ＝______                        ＝______ (1)请你仿照小智的方法，计算小数、分数乘法。 (2)小智认为：整数、小数、分数在计算方法上是有联系的。你同意他的说法吗？请说明理由。 【答案】(1)4；2；0.1；0.1；8；0.01；0.08 ；；4；2；；；8；； (2)同意；整数乘法是将因数拆分为整十、整百等数与一位数的乘积形式，再利用乘法交换律和结合律进行计算；小数乘法是将小数拆分为整数与小数的乘积形式，同样利用乘法交换律和结合律计算；分数乘法是将分数拆分为整数与分数的乘积形式，还是利用乘法交换律和结合律计算。（理由不唯一） 【分析】（1）先参照小智计算整数乘法的拆分思路，把小数和分数分别拆成“数字×计数单位”或“数字×分数单位”的形式，再运用乘法交换律与结合律，分别计算数字部分的乘积和计数单位（或分数单位）部分的乘积，最后将两个结果相乘得到答案。 （2）先回顾整数、小数、分数乘法的计算过程，发现三者都遵循“拆分数字与计数/分数单位，分别计算两部分乘积，合并结果”的逻辑，且都运用了乘法交换律和结合律，因此可以判断三类乘法的计算方法存在内在联系，同意小智的说法。 【详解】（1）0.4×0.2 ＝（4×0.1）×（2×0.1） ＝（4×2）×（0.1×0.1） ＝8×0.01 ＝0.08 × ＝（4×）×（2×） ＝（4×2）×（×） ＝8× ＝ （2）同意小智的说法；理由略。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 数与运算的再认识（期中专项训练） 考点梳理 考点1：数的意义的一致 1. 无论是整数、小数还是分数，数的本质都是 的累加。 2. 整数 表示 个 ；小数 表示 个 （或十分之一）；分数 表示 个 。 3. 在进行数的比较和运算时，核心原则是只有 的计数单位才能直接相加减。 考点2：加减法算理的一致 1. 加减法运算的本质是 个数的相加或相减。 2. 整数加减法：要求 对齐，确保相同计数单位对齐。 3. 小数加减法：要求 对齐，实质也是确保相同数位（计数单位）对齐。 4. 分数加减法：异分母分数相加减，必须先 ，目的是统一 ，转化为同分母分数后再计算。 考点3：乘除法算理的一致 1. 乘法意义：整数乘法是求几个相同加数和的简便运算；小数和分数乘法可以理解为求一个数的 或 。 2. 乘法算理： (1) 计算 时，看作 个十乘 ，得 个 ，即 。 (2) 计算 时，看作 个 乘 ，得 个 ，即 。 (3) 结论：乘法运算中，计数单位的个数相乘， 也参与运算（如分母相乘）。 3. 除法意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 4. 除法算理： (1) 整数除法中，若高位不够除，需将高位剩余的计数单位转化为低一级 继续除。 (2) 分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的 。 考点4：除法转化为乘法 1. 除法是乘法的 运算。 2. 通用转化法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的 。 3. 用字母表示为： 。 4. 这一转化体现了数学中的 思想，将新问题转化为已知的乘法问题来解决，统一了运算逻辑。 专项提升练习 一、填空题 1．500是由5个( )组成的，0.03是由3个( )组成的，是由4个( )组成的；整数、小数、分数都是由各自的( )累加而成的。 2．在我们学过的整数、分数和小数里，10个一是一个十，7个是，6个0.1是0.6，这里的一、和0.1都是( )，面积和体积的大小和数的大小一样，都是它们各自( )个数的累加。 3．40表示4个十，0.3是3个( )。，( )。 4．在计算＋时，我们需要先通分，也就是变为（    ）个＋（    ）个＝（    ）个，即等于；分数加法和整数加法、小数加法在计算过程中都是在计算相同（    ）的个数相加的过程。 5．数的运算道理其实是一样的。对比以下算式。 154＋173    2.41－1.36         上面算式中的“4”和“3”不可以直接加减的是( )，在这个算式中4表示4个( )，3表示3个( )。从这些算式中发现：整数、小数、分数加减法的算理是一样的，( )才可以相加减。 6．复习课上，同学们通过举例的方法（如图）研究整数、小数和分数加减法计算方法的共同点。 算式① 算式② 算式③ (1)三道算式中，算式( )（填序号）是错误的，理由是：_______________。 (2)通过研究，发现整数、小数和分数加减运算的共同点是：只有计数单位( )时才能直接相加减。 7．请观察下表，然后回答问题。 运算类型 具体算式 计算方法 本质核心 整数加法 4236＋367 相同数位对齐，从低位加起 统一为个、十、百、千等计数单位 小数减法 2.1－0.58 小数点对齐，从末位减起 统一为0.1、0.01等计数单位 同分母分数加法 分子相加，分母不变 统一为的计数单位 异分母分数加法 先通分，再按同分母分数加法计算 统一为的计数单位 你认为整数、小数、分数加减法的运算中最核心的是什么，请根据你的思考将下面的表述补充完整：所有加减法的本质都是( )计数单位的( )。 8．照样子、填一填。 在学习整数、小数、分数乘法时，我们这样想： ＝（_____）（_____） ＝( )×( ) ＝( )×( ) ＝( ) 9．小乐在复习整数、小数和分数加法运算时，写出了下面3个例子进行研究。 32＋14＝46，表示32个一加上14个一得到46个一，也就是46。 0.2＋0.6＝0.8，表示2个0.1加上6个0.1得到8个0.1，也就是0.8。 ，表示2个加上3个得到5个，也就是。 (1)观察以上算式，你认为它们的相同之处都是( )。 (2)不能直接相加的原因是( )，必须先转化。请你照上面的样子写出它的计算过程和表示的意义：( )。 10．“乐学”小组在整理复习时发现了整数、小数、分数乘法计算的算理和方法之间的联系，如下所示。请你根据他们的思路把分数乘法补充完整并填一填。 我发现：整数、小数、分数乘法的算理相同，都可以看成若干个（    ）相乘得到新的计数单位，若干个（    ）相乘得到新的计数单位的个数。 11．分数除法与小数除法算法是一致的，都可以转化成整数相除，例如：，请你按照这种方法计算（ × ）÷（ × ）＝（    ）÷（    ）。 12．学习了分数除法后，乐乐将其与整数除法和小数除法放在一起进行比较。 ①290÷25÷4＝290÷（25×4）＝290÷100＝2.9 ②56.8÷0.5÷0.2＝56.8÷（0.5×0.2）＝56.8÷0.1＝568 ③( )＝÷( )＝( ) 通过计算、比较，我们可以发现这些算式都用到了除法的性质，用字母表示为( )。 二、选择题 13．观察7、0.7和这三个数，它们的（    ）相同。 A．大小 B．计数单位 C．计数单位的个数 D．数位 14．下列各数中的“8”，不是表示8个计数（分数）单位的是（    ）。 A．807 B．0.78 C． D． 15．下面算式中的3和5能直接相加的是（    ）。 A．823＋451 B．2.34＋7.05 C． D． 16．在探索时，用商不变的规律进行思考的是（    ）。 A．把6个平均分成两份，每份就是3个，也就是。 B．把平均分成两份，每份就是的，也就是。 C．。 D．。 17．学习要善于比较和总结，结合下表对学过的整数、小数和分数的加减法进行归纳，发现整数、小数、分数加减计算的相同点：只有（    ）相同，才能直接相加减。 整数 个十加个十 小数 个减个 分数 个加个 A．位数 B．计数单位 C．数位 D．数级 18．六（1）班同学在研究的计算方法时，出现了下面的四种想法： 下面的说法中，不正确的是（    ）。 A．①运用的是商不变的规律 B．②运用的是等式的性质 C．③运用的是分数的基本性质和商不变的规律 D．④运用的是等式的性质 19．为了得到的结果，下面四名同学分别用了不同的方法，其中错误的是（    ）。 A． B． C． D． 20．在探究的计算方法时以下4个同学用了不同的思路，其中正确的有（    ）个。 ①聪聪：         ②明明： ③亮亮：      ④敏敏： A．1 B．2 C．3 D．4 三、计算题 21．计算下面各题，能简算的要简算。                             4.35×101－4.35                             3.36×5.7＋66.4×0.57 22．奇奇在整理乘法计算时发现：整数小数分数乘法的计算道理和方法是相通的。请你根据示例补充完整分数乘法的思考过程，并写出结果。 奇奇： 23．算而有理。 (1) （____×____）×（____×____）＝( )。 (2)请仿照上面的例子，写出的计算过程。（，） （____×____）×（____×____）＝( )。 (3)比较整数乘法、小数乘法、分数乘法的计算方法，你发现它们有什么共同点？ 四、解答题 24．在数学学习中，我们发现：整数、小数和分数的加减法，虽然形式不同，但背后藏着相通的数学道理。让我们一起探究吧！ (1)我的梳理。 (2)我的发现：整数、小数、分数加减法运算的相同点是__________________________________________。 (3)我的辨析。下面算式中“4”和“9”不能直接相加减的是（    ）。 A．467＋923 B．6.98－5.4 C． D． 25．（1）在长方形中画一画、涂一涂，表示出计算的道理和结果。 （2）在复习数的运算时，同学们把整数、小数和分数乘法放在一起比较，研究它们的算理： ①20×40＝（2×10）×（4×10）＝（2×4）×（10×10）＝8×100＝800 ②0.2×0.4＝（2×0.1）×（4×0.1）＝（2×4）×（0.1×0.1）＝8×0.01＝0.08 根据以上两个算式，你能写一写下面的算式吗？ ③＝ 26．数学课上，同学们在讨论以往学过的乘法。 小阳 计算乘法时，可以从计数单位的角度思考，把计数单位与计数单位相乘，计数单位的个数与计数单位的个数相乘。 小兵 按照这个方法，整数乘法可以这样算： 30×800＝（3×10）×（8×100）＝（3×8）×（10×100）＝24×1000＝24000 小梅 按照这个方法，小数乘法可以这样算： 0.3×0.08＝（3×0.1）×（8×0.01）＝（3×8）×（0.1×0.01） ＝24×0.001＝0.024 小丽 我觉得分数乘法也可以按照这个方法算。 你同意小丽的观点吗？如果同意，请以为例写出计算过程。 27．观察下面除法计算的例子，按要求做题。 (1)我发现：整数、小数、分数除法运算具有一致性，都是先转化成 ，再把 相除。（    ） A．相同数位，相同计数单位 B．相同计数单位，相同计数单位的个数 C．相同计数单位的个数，相同数位 (2)根据上面的发现，计算＝( )÷( )＝( )÷( )＝( )。 28．小智用下面的方法计算了整数乘法。 40×30                             0.4×0.2                              ＝（4×10）×（3×10）            ＝（4×0.1）×（2×0.1）            ＝（4×_____）×（2×_____） ＝（4×3）×（10×10）            ＝（___×___）×（___×___）    ＝（___×___）×（___×___） ＝12×100                        ＝______×______                ＝______×______ ＝1200                            ＝______                        ＝______ (1)请你仿照小智的方法，计算小数、分数乘法。 (2)小智认为：整数、小数、分数在计算方法上是有联系的。你同意他的说法吗？请说明理由。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $