5.1 方程 学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学学历案聚焦方程及一元一次方程的概念与应用，通过预习填空、课内探究例题、分层训练、课后作业等支架，引导学生掌握概念辨析、四步列方程、三特征判断及三步检验的方法。 资料以分层设计和结构化方法为特色，A组基础巩固概念、B组提高列方程能力、C组拓展解的逆用，四步法列方程、三特征判断等口诀助力数学思维养成，结合学校学生数、绿地面积等实际问题培养模型意识，学生独立作答区与教师方法指导结合，提升抽象能力与应用意识。

人教版数学七年级上册 · 第五章 一元一次方程 · 5.1 方程（教师讲义） 5.1 方程（第1、2课时） 教师讲义 · 2026—2027学年 人教版数学七年级上册 贴合一线 · 去AI套壳 · 例题严格对齐2024版教材 ◆ 一、教学导航 ◆ ◆ 教材分析 5.1 方程是第五章《一元一次方程》的起始课，分2课时：第1课时学习“方程”“一元一次方程”两个概念，以及把实际问题的相等关系用含未知数的等式表示（列方程）；第2课时学习“方程的解”，会用代入法检验一个数是否为方程的解。它是学生从“算术思维”跨向“代数（方程）思维”的关键转折点，也是后续学习等式的性质、解一元一次方程、列方程解实际问题的基石。 ◆ 教学目标 ①理解方程、一元一次方程、方程的解的概念；②会把实际问题中的相等关系用含有未知数的等式表示（列方程）；③能按“一元、一次、整式”三个特征判断一个方程是不是一元一次方程；④能依据定义检验一个数是不是方程的解。 ◆ 重难点 重点：三个概念；从实际问题中提取相等关系并列方程。难点：①找相等关系并列方程（本章核心能力，学生首次接触，最难）；②判断一元一次方程（抓住“只含一个未知数、未知数次数都是1、等号两边都是整式”，分母含字母的不是整式方程）；③检验解时规范“代入左右两边、比较是否相等”。 ◆ 课时安排 2课时（第1课时 方程与一元一次方程；第2课时 方程的解）。 ◆ 课前准备 ①课堂学习单（含例1、例2板演区、巩固练习）；②红笔（当场圈易错点）；③小黑板/白板展示学生板演。说明：本讲义所有情境（客车卡车、铁丝、计算机、绿地、班级人数）均用文字描述，不引用任何外部图片素材，避免图文不符。 ◆ 二、第1课时　方程与一元一次方程 ◆ ▸ 第一环节　情境引入：从算术到方程的跨越（约8分钟） 章前问题（教材引言）：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车速度70 k，卡车速度60 k，客车比卡车早1 h经过B地。A、B两地间的路程是多少？算术思路要逆向倒推，较繁琐；若设A、B相距 x km，则客车用时 h、卡车用时 h，由“客车比卡车早1 h”得相等关系：卡车用时−客车用时=1，即 − = 1。这个等式含有未知数 x 且是等式，它就是“方程”的雏形。 顺势再列两个生活中的等式：①用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，设边长为 x cm，由“4条边长之和=24”得 4x = 24；②一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用150 h，设 x 月后达到检修时间2450 h，由“已用+再用=2450”得 1700 + 150x = 2450。这三个等式的共同点：都含有未知数，都是等式。 【教学意图】 引入要突出“为什么用方程”：算术法只能逆向、且只含已知数；方程法正向思考、把未知数也当已知用，能更直接地刻画相等关系。这是本章思想方法的起点。 ▸ 第二环节　概念建构①：什么是方程（约4分钟） 方程的定义：__含有未知数的等式__叫方程。两个要点：①是等式（有“=”）；②含有未知数。两者缺一不可。 【易混提醒】 易混：①“3+5=8”是等式但不是方程（无未知数）；②“2x+1”含未知数但不是等式（无“=”）——都不是方程；③“x+y=5”也是方程（含两个未知数，属二元方程，后面会专门研究）。 ▸ 第三环节　例1（教材 P113）　根据问题设未知数并列方程 题目 (1) 某校女生占全体学生数的 52%，比男生多 80 人，这所学校有多少名学生？ (2) 如图（课本配图），一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m，扩大后的绿地面积是 500 平方米，求正方形绿地的边长。 板演： (1)设这所学校有 x 名学生，则女生数为 0.52x，男生数为 (1−0.52)x。根据“女生比男生多80人”得 0.52x − (1−0.52)x = 80。 (2)设正方形绿地的边长为 x m，则扩大后的长为 (x+5) m、宽为 x m，面积为 (x+5)x = + 5x（平方米）。根据“扩大后的绿地面积是500 平方米”得 + 5x = 500。 【步骤】 列方程“四步法”：①设未知数（求什么设什么）；②用含未知数的式子表示相关量；③找出题目中的__相等关系__；④把相等关系写成等式。关键是第③步找相等关系。 ⚠ 易错　常见错：①设了未知数却在等式里不出现 x（白设）；②单位不统一就写等式；③把“多/少”方向搞反，如(1)写成 (1−0.52)x − 0.52x = 80（应是女生减男生）。 ▸ 第四环节　概念建构②：什么是一元一次方程（约10分钟） 观察例1(1)的方程 0.52x − (1−0.52)x = 80：只含一个未知数 x；未知数 x 的次数都是1；等号两边都是整式。而例1(2)的 + 5x = 500 含有 ，未知数次数是2，__不是__一元一次方程（它是二次方程，后续会学习）。 归纳一元一次方程定义：__只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式__的方程，叫作一元一次方程。任何一元一次方程都可化为 ax + b = 0（a ≠ 0）的形式。 【判断口诀】 判断“三看”：一看元（是否只一个未知数）；二看次（未知数最高次是不是1）；三看式（等号两边是否都是整式，分母不能含未知数）。三个都满足才是一元一次方程。 ▸ 第五环节　巩固练习（约8分钟） 独立完成学习单，4人小组互评，教师据班情选用。 A组·基础（选自教材 P113 练习） 1 判断下列各式是不是方程，说明理由：①3+6=9；②2x−1；③x+1=5；④3x+4y=12；⑤10+x=3。 2 根据下列问题设未知数并列方程：甲种铅笔每支1.4元、乙种每支1.8元，用23元买这两种铅笔共15支，两种各买多少支（设甲种 x 支）？ 3 判断：① + 1 = 3 是一元一次方程吗？② = 2 是一元一次方程吗（分母含 x）？ B组·提高（补充·同型） 4 下列方程是一元一次方程的是（ ）：A. x−1=0；B. −1=0；C. =3；D. x+y=1。 5 环形跑道一周长400 m，沿跑道跑多少周可以跑3000 m？设跑 x 周，列方程。 ◆ 三、第2课时　方程的解 ◆ ▸ 第一环节　概念建构③：什么是方程的解（约6分钟） 以例1(1)的方程 0.52x − (1−0.52)x = 80 为例：当 x = 2000 时，左边=0.52×2000−(1−0.52)×2000=80，右边=80，左右相等；当 x = 1000 时，左边=40≠80。可见 x = 2000 让等式成立，x = 1000 不让等式成立。 方程的解：__使方程左、右两边相等的未知数的值__，叫作方程的解。求方程的解的过程叫解方程。注意：本章研究的一元一次方程通常都有唯一的解。 【概念区分】 “方程的解”是一个具体的数（未知数的值）；“解方程”是一个变形过程。两者不同——一个是结果，一个是过程。 ▸ 第二环节　例2（教材 P114）　检验下列各值是不是方程的解 题目 (1) 检验 x = 2，x = 3 是不是方程 5x − 2 = 7 + 2x 的解。 板演： 当 x = 2 时，左边=5×2−2=8，右边=7+2×2=11，8≠11，所以 x = 2 不是方程的解。 当 x = 3 时，左边=5×3−2=13，右边=7+2×3=13，左边=右边，所以 x = 3 是方程的解。 检验方法（规范话术）：把所给值分别代入方程的左边和右边，计算出两边的值；若左边=右边，则是解；若左边≠右边，则不是解。 【步骤】 检验是“代入—算值—比较”三步，不能凭感觉。代入时要“代一个、算一个、比一次”，不要把两个值混在一起算。 ⚠ 易错　常见错：①代入只算一边就下结论；②把“2x”算成“2+x”；③代入负数时符号错（如 −2 的平方、乘积符号）。强调“先代后算、带括号代”。 ▸ 第三环节　巩固练习（约8分钟） 独立完成学习单，小组互评。 A组·基础（选自教材 P114 练习） 1 检验：x=3 是不是方程 3x−2=4+x 的解？x=0 是不是 5x+7=7−2x 的解？ 2 判断：①x=1 是 2x=2 的解（ ）；②x=−2 是 x+2=0 的解（ ）。 3 写出一个以 x=2 为解的一元一次方程（如 3x=6）。 B组·提高（补充·同型） 4 已知 x=2 是方程 3x+a=0 的解，求 a 的值（把 x=2 代入求参数，体验“解”的逆向应用）。 5 检验 x=1，x=2 是不是方程 2x−3=2+x 的解。 ◆ 四、板书设计（真实分区） ◆ 主板书（左侧，随教学推进书写）： 5.1 方程（2课时） 一、方程：含有未知数的等式。例1列方程四步：设→表示→找相等→写等式 例1：(1)0.52x−(1−0.52)x=80（一元一次） (2)+5x=500（二次，不是） 二、一元一次方程：一元、一次、整式。ax+b=0(a≠0) 判断三看：元 / 次 / 式（分母不能含未知数） 三、方程的解：使左右相等的未知数的值。例2检验：x=3 是 5x−2=7+2x 的解 副板书（右侧）：①等式+未知数=方程；②判断三看；③检验三步（代/算/比）；④“解”是数、“解方程”是过程。 ◆ 五、作业布置（课本《习题5.1》P118 真实原题） ◆ 必做（课本《习题5.1》P118 第1—11题，与课堂例题同型）： 1. 第1题 列等式表示：(1)比 a 大5的数等于8；(2)b 的三分之一等于9；(3)x 的2倍与10的和等于18；(4)x 的三分之一与 y 的差等于6；(5)比 a 的3倍大5的数等于 a 的4倍；(6)比 b 的一半小7的数等于 a 与 b 的和。 2. 第2题（图形题，课本有配图，此处用文字说明条件）根据条件列方程：(1)三角形周长14，三边分别为 x、x+2、x+3；(2)三角形三个内角分别为 x°、x°、3x°；(3)三角形底边长为 x−1、高为 x、面积为 6。 3. 第3题 把 x=3、x=0、x=−2 分别代入，指出各是哪个方程的解：(1)5x+7=7−2x；(2)6x−8=8x−4；(3)3x−2=4+x；(4)2x−3=5x−6。 4. 第4题 解下列方程：(1)x−4=29；(2) x+2=6；(3)3x+1=4；(4)4x−2=2。 5. 第5题 某校七(1)班共48人，女生比男生的 多3人，求男生多少人（设男生 x 人）。 6. 第6题 把10000元奖学金按两种奖项奖给20名学生，一等奖每人800元、二等奖每人400元，求一等奖人数（设 x 人）。 7. 第7题 去年某镇居民人均可支配收入30438元，比前年增长6.8%，求前年（设前年 x 元）。 8. 第8题 汽车已行驶12000 km，计划每月再行驶800 km，几个月后总路程20800 km（设 x 个月）？ 9. 第9题 圆柱形包装盒高12 cm、表面积108.5π 平方厘米，求底面半径（设底面半径为 x cm；表面积=2π +2π x×高）。 10. 第10题 七(1)班共捐款428元，七(2)班平均每生捐10元，七(1)班比七(2)班少22元，求七(2)班人数（设 x 人）。 11. 第11题（拓广探索）一个两位数个位是1、十位是 x，把1与 x 对调后新数比原数小18，求 x（列方程解决）。 （注：具体题号、页码以所用课本实际为准，教师可据班情调整。） ◆ 六、教学反思（课后填写） ◆ ⚠ 易错　①“找相等关系列方程”是最大难点——学生习惯算术逆向，不会正向设元列方程。需用大量情境反复练“四步法”，并把“相等关系”用彩色笔圈出。 ⚠ 易错　②判断一元一次方程易漏“整式”特征：把 =2、=3 误判为一元一次（分母含未知数不是整式方程）。须强调“三看”中“式”指等号两边都是整式。例1(2) +5x=500 正好作反例，说明“次数都是1”的重要性。 ⚠ 易错　③检验解时只算一边或符号错（负数代入）。用“代一个、算一个、比一次”的规范话术专项训练；例2 的规范书写要板书示范。 （本栏供教师课后填写课堂生成与改进设想。） ◆ 七、参考答案（巩固练习） ◆ 说明：列方程关键在“相等关系”；判断看“元/次/式”三特征；检验走“代—算—比”三步；结果可写真分数。 第1课时 巩固练习 1 ①不是（无未知数，是等式）；②不是（无“=”，不是等式）；③是（含未知数等式）；④是；⑤是。 2 设甲种 x 支，则乙种 (15−x) 支，1.4x + 1.8(15−x) = 23。 3 ①是（一元一次）；②不是（分母含未知数 x，等号右边不是整式）。 4 A（B次=2；C分母含 x；D二元）。 5 设跑 x 周，400x = 3000。 第2课时 巩固练习 1 x=3：左=3×3−2=7，右=4+3=7，是解；x=0：左=7，右=7，是解。 2 ①√（左=2=右）；②√（左=0=右）。 3 示例 3x=6、x−2=0 等（答案不唯一，须以 x=2 为解）。 4 把 x=2 代入 3×2+a=0 → 6+a=0 → a=−6。 5 x=1：左=−1，右=3，不是；x=2：左=1，右=4，不是。 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学七年级上册 · 第五章 一元一次方程 · 5.1 方程（学生用书） 5.1 方程（学习单） 学生用书 · 2026—2027学年 人教版数学七年级上册 原创分层学案 · 与教师讲义配套 · 例题严格对齐2024版教材 ◆ 一、学习目标 ◆ 1. 能说出方程、一元一次方程、方程的解的概念，指出它们的关键特征。 2. 面对实际问题，会用“设未知数→表示相关量→找相等关系→写等式”四步列方程。 3. 能按“一元、一次、整式”三特征判断一个方程是不是一元一次方程。 4. 会用“代入—算值—比较”三步检验一个数是不是方程的解。 ◆ 二、预习导航（课前填空） ◆ 1. 含有______的______叫作方程。（两个空：未知数、等式） 2. 只含有______未知数，并且未知数的______都是1，等号两边都是______的方程，叫作一元一次方程。 3. 使方程左、右两边______的未知数的值，叫作方程的解；求方程的解的过程叫______。 4. 请写出一个方程：____________；再写出一个一元一次方程：____________。 ◆ 三、课内探究（例1—例2，同教师讲义，请在本栏作答） ◆ ▸ 例1（教材 P113）　根据问题设未知数并列方程 题目（请写出“设”与“方程”） (1) 某校女生占全体学生数的 52%，比男生多 80 人，这所学校有多少名学生？ (2) 如图（课本配图），一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m，扩大后的绿地面积是 500 平方米，求正方形绿地的边长。 【方法】 四步法：①设未知数；②用含 x 的式子表示相关量；③找相等关系；④写等式。本栏请在“我的作答区”写出完整过程。 我的作答区： ▸ 练习　判断下列各式哪些是一元一次方程？（补充·同堂） 式子 (1) 0.52x − (1−0.52)x = 80 (2) + 5x = 500 (3) 4x = 24 (4) x + y = 5 (5) = 2 【口诀】 判断三看：一看“元”（是否只一个未知数）；二看“次”（未知数最高次是否1）；三看“式”（等号两边是否都是整式，分母不能含未知数）。 我的作答区： ▸ 例2（教材 P114）　检验 x = 2，x = 3 是不是方程 5x − 2 = 7 + 2x 的解 【步骤】 检验三步：把值分别代入左边和右边 → 计算两边的值 → 比较是否相等。 我的作答区： ◆ 四、分层训练（独立完成，原创题） ◆ A组·基础（概念与列方程） 1 判断下列各式是不是方程：①5+3=8；②4x=12；③2a+b；④x−7=0。 2 铅笔每支 0.5 元，买 x 支共花 4 元，列方程：______。 3 下列是一元一次方程的是（ ）：A. 3x=9；B. =4；C. =2；D. x+1=2x。 B组·提高（列方程与检验） 4 长方形周长 30，长比宽多 3，设宽为 x，列方程：______。 5 检验 x=4 是不是方程 2x+1=9 的解，写出检验过程。 C组·拓展（解的逆用） 6 已知 x=3 是方程 2x+m=8 的解，求 m 的值。 ◆ 五、课后作业（课本《习题5.1》P118 原题） ◆ ◆ 说明 以下为课本原题，请独立、完整地完成；每题留白作答，答案见第七节。图形题课本有配图，此处用文字说明条件。 1. 列等式表示： (1)比 a 大5的数等于8；(2)b 的三分之一等于9；(3)x 的2倍与10的和等于18； (4)x 的三分之一与 y 的差等于6；(5)比 a 的3倍大5的数等于 a 的4倍；(6)比 b 的一半小7的数等于 a 与 b 的和。 我的作答区： 2. 根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程（图形题，课本有配图）： (1)三角形周长14，三边分别为 x、x+2、x+3；(2)三角形三个内角分别为 x°、x°、3x°； (3)三角形底边长为 x−1、高为 x、面积为 6。 我的作答区： 3. x=3、x=0、x=−2 分别是下列哪个方程的解？ (1)5x+7=7−2x；(2)6x−8=8x−4；(3)3x−2=4+x；(4)2x−3=5x−6。 我的作答区： 4. 解下列方程： (1)x−4=29；(2) x+2=6；(3)3x+1=4；(4)4x−2=2。 我的作答区： 5. 某校七(1)班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的 多3。这个班有男生多少人？（设男生 x 人） 我的作答区： 6. 把10000元奖学金按两种奖项奖给20名学生，其中一等奖每人800元，二等奖每人400元。获得一等奖的学生有多少人？（设一等奖 x 人） 我的作答区： 7. 去年某镇居民人均可支配收入为30438元，比前年增长了6.8%。前年这个镇居民人均可支配收入为多少元？（设前年 x 元） 我的作答区： 8. 一辆汽车已行驶了12000 km，计划每月再行驶800 km，几个月后这辆汽车行驶的总路程为20800 km？（设 x 个月） 我的作答区： 9. 一个圆柱形包装盒（厚度忽略不计）的高是12 cm，表面积是108.5π 平方厘米。这个包装盒的底面半径是多少厘米？（设底面半径为 x cm；圆柱表面积=2π +2π x×高） 我的作答区： 10. 某校号召学生为地震灾区捐款。七(1)班全体学生一共捐款428元，七(2)班平均每名学生捐款10元，七(1)班的捐款数比七(2)班少22元。七(2)班有多少名学生？（设七(2)班有 x 名学生） 我的作答区： 11.（拓广探索）一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是 x。把1与 x 对调，新的两位数比原两位数小18，x 的值是多少？请你用方程解决这个问题。 我的作答区： ◆ 六、课堂小结（填空回顾） ◆ 1. 方程：含有______的等式。 2. 一元一次方程三特征：只含______未知数、未知数次数都是______、等号两边都是______。 3. 列方程四步：设 → ______ → 找______ → 写等式。 4. 方程的解：使方程______相等的未知数的值；检验走“______—______—______”三步。 ◆ 七、参考答案 ◆ 说明：列方程重“相等关系”；判断看“元/次/式”三特征；检验走“代—算—比”三步；真分数已用公式规范呈现。 分层训练 1 ①不是（等式但无未知数）；②是；③不是（无“=”）；④是。 2 0.5x = 4。 3 A（B次=2；C分母含 y 非整式；D二元）。 4 2(x + x + 3) = 30，即 4x + 6 = 30。 5 x=4：左=2×4+1=9，右=9，左=右，是解。 6 代入 x=3：2×3+m=8 → 6+m=8 → m=2。 课内探究·练习（判断） (1)(3)是一元一次（一元、一次、整式）；(2)含 不是；(4)二元不是；(5)分母含 x 非整式不是。 课后作业（习题5.1） 1 (1)a+5=8 (2) b=9 (3)2x+10=18 (4) x−y=6 (5)3a+5=4a (6) b−7=a+b 2 (1)x+(x+2)+(x+3)=14 (2)x+x+3x=180 (3) (x−1)x=6 3 x=3→(3) 3x−2=4+x；x=0→(1) 5x+7=7−2x；x=−2→(2) 6x−8=8x−4（剩(4)2x−3=5x−6 的解为 x=1） 4 (1)x=33 (2)x=8 (3)x=1 (4)x=1 5 设男生 x 人，则女生 x+3 人，x+ x+3=48 → x=45 → x=25（女生23人） 6 设一等奖 x 人，800x+400(20−x)=10000 → 400x+8000=10000 → x=5 7 设前年 x 元，(1+6.8%)x=30438 → x=.068=28500 8 12000+800x=20800 → 800x=8800 → x=11 9 2π +2π x×12=108.5π，约去π：2 +24 x=108.5 → 2 +24 x−108.5=0 → Δ=1444=38×38 → x==3.5（取正根） 10 设七(2)班 x 人，10x−428=22 → 10x=450 → x=45 11 原两位数 10x+1，对调后 10+x，10x+1−18=10+x → 9x=27 → x=3 学科网（北京）股份有限公司 $