5.2 解一元一次方程 讲义 2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025-2026学年人教版数学七年级上册 第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程 （讲义） 姓名： 班级： 学习目标 1. 理解“方程的解”和“解方程”的含义。 2. 掌握等式的两个基本性质，并能运用它们解简单的一元一次方程。 3. 初步掌握解一元一次方程的一般步骤：移项、合并同类项、系数化为1。 4. 能够熟练运用移项法则解一元一次方程。 5. 培养运用“化归”思想解决问题的能力，体验数学的严谨性和逻辑性。 知识点梳理 一、 方程的解与解方程 1. 方程的解： 定义： 使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 例如： 对于方程 ，当 时，左边 ，右边 ，所以 是方程 的解。 2. 解方程： 定义： 求方程的解的过程叫做解方程。 注意： “方程的解”是一个数值，而“解方程”是一个过程。 二、 等式的性质 (解方程的依据) 1. 等式的性质1： (1) 文字叙述： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 (2) 符号表示： 如果 ，那么 。 (其中 可以是一个数，也可以是一个式子) (3) 说明： 利用这个性质，可以把方程中某一项从等号的一边移到另一边，但要注意改变符号（这就是后面要学的“移项”）。 2. 等式的性质2： (1) 文字叙述： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 (2) 符号表示： 如果 ，那么 ；如果 ()，那么 。 (3) 说明： 利用这个性质，可以把方程中未知数的系数化为1，从而求出未知数的值。特别注意：除以的数不能为0。 三、 移项法则 1. 定义： 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。 2. 依据： 移项的依据是等式的性质1。 3. 目的： 移项的目的是把含有未知数的项移到方程的一边（通常是左边），把常数项移到方程的另一边（通常是右边），使方程更接近于 的形式。 4. 关键： “移项要变号”。从等号一边移到另一边的项，其符号必须改变；没有移动的项，符号不变。 例如： · 方程 · 移项得： (注意： 从右边移到左边变为 ； 从左边移到右边变为 ) 四、 解一元一次方程的基本步骤 (基于本节内容) 对于形如 (其中 为常数，且 ) 的一元一次方程，基本步骤如下： 1. 移项： (1) 将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。 (2) 依据： 等式的性质1。 (3) 操作： 移项要变号。 (4) 例如： 方程 · 移项： 2. 合并同类项： 将方程两边分别合并同类项，化为 (其中 为常数，且 ) 的形式。 例如： 上一步得到 · 合并同类项： · 即： 3. 系数化为1： (1) 在方程 的两边同时除以未知数的系数 (或乘以 )，得到方程的解 。 (2) 依据： 等式的性质2。 (3) 例如： 若方程合并后为 ，则两边同除以2：。 (4) 注意： 如果系数是分数，除以系数等于乘以它的倒数。例如，，则 。 五、 解一元一次方程的一般步骤（总结） 1. 移项： 把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号。 2. 合并同类项： 化为 ( ) 的形式。 3. 系数化为1： 在方程两边都除以未知数的系数 ，得到方程的解 。 例题讲解 (本节范围内) 例1： 解下列方程： (1) 解： 移项，得 (依据：等式性质1，将 移到右边变为 ) 合并同类项，得 (此时已为 的形式，系数为1，无需再系数化为1) ∴ 方程的解为 (2) 解： 移项，得 (依据：等式性质1，将 移到左边变为 ) 合并同类项，得 系数化为1，得 (依据：等式性质2，两边同除以2) 即 ∴ 方程的解为 (3) 解： 移项，得 (依据：等式性质1， 移到左边变为 ； 移到右边变为 ) 合并同类项，得 系数化为1，得 即 ∴ 方程的解为 知识点总结 1. 核心概念： (1) 方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值。 (2) 解方程： 求方程的解的过程。 (3) 移项： 把等式一边的某项变号后移到另一边。移项必变号！ 2. 重要性质： (1) 等式性质1： 等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等。（移项的依据） (2) 等式性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。（系数化为1的依据） 3. 解一元一次方程（本节类型）的一般步骤： 1. 移项： 含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，注意变号。 2. 合并同类项： 化为 ( ) 的形式。 3. 系数化为1： 两边同除以未知数的系数 ，得 。 4. 思想方法： 化归思想： 通过移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将一元一次方程逐步转化为 的简单形式。 巩固练习 一、选择题 1．若是关于的方程的解，则a的值为（　　） A．2 B． C．0 D． 2．下列解方程过程中变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．下列方程变形中，正确的是（　　） A．由 ，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．下列方程为一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 5．x＝5是下列哪个方程的解（　　） A．x+5＝0 B．3x﹣2＝12+x C．x﹣x＝6 D．1700+150x＝2450 6．解方程 时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 7．已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A．12 B．36 C． D． 8．方程|2x﹣4|=0的解是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 9．笼中有鸡兔共12只，共40条腿，设鸡有x只，根据题意，可列方程为（　　） A．2（12-x）+4x=40 B．4（12-x）+2x=40 C．2x+4x=40 D．-4（20-x）=x 二、填空题 10．若方程和的解相同，则a的值是　 　． 11．当x＝　 　时，代数式6x+1与﹣2x﹣5的值互为相反数． 12．已知是方程的解，则的值是　 　． 13．已知关于x的方程（m-2）x|m-1|-5=0是一元一次方程，则m= 　 　. 14．若|x－2|=3，则x的值是　 　. 15．若关于y的方程 与 的解相同，则k的值为　 　． 16．京﹣沈高速铁路河北承德段通过一隧道，估计从车头进入隧道到车尾离开隧道共需45秒，整列火车完全在隧道的时间为32秒，车身长180米，设隧道长为x米，可列方程为 　 　 三、解答题 17．解方程： （1）； （2） 18．解下列一元一次方程： （1） （2） 19．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． （1）若关于x的方程与方程是“和谐方程”，则 ； （2）若关于x的两个方程与是“和谐方程”，求m的值． 20．指出下列方程中的未知数是什么，方程的左边是什么．方程的右边是什么？并且判断它否是一元一次方程？ （1）3=2x﹣1； （2）x+2y=7； （3）x2+5x﹣1=5； （4）x2=y2+2y； （5）x﹣π=3； （6）3m+5=﹣4； （7）﹣=1． 21．阅读下面的解题过程： 解方程：|x+3|=2． 解：当x+3≥0时，原方程可化成为x+3=2 解得x=﹣1，经检验x=﹣1是方程的解； 当x+3＜0，原方程可化为，﹣（x+3）=2 解得x=﹣5，经检验x=﹣5是方程的解． 所以原方程的解是x=﹣1，x=﹣5． 解答下面的两个问题： （1）解方程：|3x﹣2|﹣4=0； （2）探究：当值a为何值时，方程|x﹣2|=a， ①无解；②只有一个解；③有两个解． 参考答案 1．D 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．C 8．A 9．B 10． 11．1 12． 13．0 14．-1或5 15．7 16． 17．（1） （2） 18．（1）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：. （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 19．（1） （2） 20．解：（1）未知数是x，方程的左边是3，方程的右边是2x﹣1，它是一元一次方程； （2）未知数是x、y，方程的左边是x+2y，方程的右边是7，它不是一元一次方程； （3）未知数是x，方程的左边是x2+5x﹣1，方程的右边是5，它不是一元一次方程； （4）未知数是x，y，方程的左边是x2，方程的右边是y2+2y，它不是一元一次方程； （5）未知数是x，方程的左边是x﹣π，方程的右边是3，它是一元一次方程； （6）未知数是m，方程的左边是3m+5，方程的右边是﹣4，它是一元一次方程； （7）未知数是a，方程的左边是﹣​，方程的右边是1，它是一元一次方程． 21．解：（1）当3x﹣2≥0时，原方程可化为3x﹣2=4， 解得x=2，经检验x=2是方程的解； 当3x﹣2＜0时，原方程可化为﹣（3x﹣2）=4， 解得x=﹣，经检验x=﹣是方程的解； 所以原方程的解是x=2，x=﹣． （2）因为|x﹣2|≥0， 所以，当a＜0时，方程无解； 当a=0时，方程只有一个解； 当a＞0时，方程有两个解． 学科网（北京）股份有限公司 $