限时训练一-山西汾阳中学2026-2027学年高三数学上学期

**基本信息** 聚焦导数几何意义专项，以切线方程为主线，通过基础计算到综合应用的层级设计，系统提炼求导运算、数形结合等解题方法，发展数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数几何意义|题1-3、7、9|导数计算求斜率，点斜式写切线方程|从导数概念到切线斜率，构建“求导-算斜率-写方程”逻辑链| |切线综合应用|题4、6、8、10|公切线构造函数求最值，零点问题数形结合|从单一切线到公切线、过定点切线，拓展导数几何意义的应用场景|

高三数学限时训练一（1） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．曲线在处切线斜率的大小为（    ） A．1 B．2 C．0 D．－1 2．已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象在点处的切线经过坐标原点，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数与存在公切线，则实数a的最小值（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的导函数为，且，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 6．函数，若有两个不相等的零点，则k的取值范围（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．曲线在处的切线倾斜角为，则______________. 8．若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数a的取值范围是________. 9．曲线在处的切线的斜率为，则切线的方程为_____． 三、解答题 10．已知函数． （1）求这个函数图像垂直于直线的切线方程； （2）求这个函数图像过点的切线方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高三数学限时训练一（1）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C A B D A 1．A 【分析】利用基本函数的导数公式和导数的运算法则求得导函数，将代入计算即得. 【详解】∵，∴，∴， 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义和导数的运算，属基础题. 2．C 【分析】直线经过，两点，可以写出直线的方程，根据导数的几何意义进行求解. 【详解】解：直线经过，两点， . 直线与曲线切于点， 可得曲线在处的导数为：， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 3．A 【分析】利用导数求出函数在点处的切线方程，再将原点的坐标代入切线方程可求出实数的值. 【详解】，，切点为， ，， 所以，函数的图象在点处的切线方程为，由于该直线过原点， 则，解得，故选A. 【点睛】本题考查切线过点的问题，一般先利用导数求出切线方程，再将所过点的坐标代入切线方程求解，考查运算求解能力，属于中等题. 4．B 【分析】分别求出函数与的导数，设出切点写出切线方程，利用对应系数相等列出方程，构造函数，利用导数判断出单调性求出最值，可得实数a的最小值． 【详解】， 设和的切点分别为，则和切线方程分别为， 即与存在公切线，则方程有解，即， 在上递减，在递增，在处取到最小值，∴的最小值为，即a的最小值为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的单调性和最值，解决本题的关键点是利用点斜式方程写出切线，列出方程，并构造函数求出导函数得出单调性和最值，可得a的最小值，考查学生计算能力，属于中档题． 5．D 【分析】要解决这个问题，可以通过换元法先求出函数的表达式，再对其求导，最后代入计算出最后结果。 【详解】已知，令（），由对数的定义，由可得，代入得： ，即， 对其求导得，将代入得. 故选：D. 6．A 【分析】先将问题等价转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数的几何意义求得切线的斜率，利用数形结合思想求得的取值范围. 【详解】当直线与函数的图象相切时，设切点为,因为, 所以, 可得, 函数有两个不相等的零点等价于直线与函数的图象有两个不同的交点，由图形可知，当且仅当时有两个不相等的零点， 故选：. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，若分离变量求解，则对于函数的图象的刻画需要用到极限的理论，较为复杂，比较简洁的方法就是如解析中所示，利用导数的几何意义求得切线的斜率，利用数形结合思想求得的取值范围.这种思想方法，在解决选择填空题时是应当优先采用的方法. 7． 【解析】首先求出，根据导数的几何意义得，然后利用二倍角公式和同角三角函数关系计算. 【详解】由，所以 ，所以 即处的切线的斜率为2 ，， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及求导公式，需熟记基本初等函数的导数公式和运算法则，理解导数的几何意义，并注意二倍角公式和利用同角三角函数的关系弦化切计算. 8． 【解析】首先设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线的斜率，从而可得，将问题转化为与 存在两个不同的交点，通过导数研究的图象，从而得到的取值范围. 【详解】由题意得的定义域为，且，设切点坐标为，则过原点的切线斜率，整理得存在两条过原点的切线，存在两个不同的解.设，则问题等价于于存在两个不同的交点，又当时，，单调递增，当 时，，单调递减，.又当时，；当时，，若于存在两个不同的交点，则.解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：一般涉及方程根的个数，或零点个数求参数的取值范围，可通过一些方法求解： 1.直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围； 2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解； 3.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻求找“临界”情况，特别注意边界值的取舍； 9． 【分析】求出函数的导数，根据切线的斜率求出a，得出切点坐标，然后求解切线方程． 【详解】解：曲线，可得， 曲线在处的切线的斜率为， 可得， 所以. 所以切点坐标为：， 则切线的方程为：. 即：． 故答案为． 【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，解题的关键是准确求出函数的导函数，理解导数的几何意义，是基本知识的考查． 10．（1）；（2）或. 【分析】（1）求出导函数，由切线斜率求得切点坐标，从而得切线方程； （2）设切点坐标为，由切点坐标写出切线方程，代入点的坐标，从而求得切点． 【详解】（1）设，则， ∵切线与垂直，∴切线斜率为1， ∴，，，即切点为. ∴切线方程为； （2）设切点为，由（1）， 切线方程为， ∵切线过点， ∴， 解得或， ∵切线方程为或，即或. 【点睛】本题考查导数几何意义．求切线方程有两种情形： 一种是已知切点，则切线方程为， 另一种是已知切线过点，则设切点为，切线方程为，代入后求出切线，得切线方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $