山东诸城市龙城中学2026-2027学年高二上学期开学验收考试数学试卷

高二上学期开学验收考试 数学试题 一、单选题 1．设复数则z的虚部是（   ） A．i B． C．i D． 【答案】B 【难度】0.88 【来源】辽宁葫芦岛市普通高中2025-2026学年下学期期末考试高一数学试卷 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【详解】，其虚部为 2．“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“志”字所在面相对的面上的字为（    ） A．成 B．竟 C．者 D．事 【答案】A 【难度】0.92 【来源】湖南省长沙市长郡中学2026-2027学年高一上学期开学综合能力检测数学试卷 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【详解】将此展开图还原，以“者”为正方体的下底面， 则“志”为正方体的背面，“有”为正方体的左侧面，“事”为正方体的右侧面，“竟”为正方体的上底面，“成”为正方体的正面， 所以这个正方体与“志”字所在面相对的面上的字为“成”. 3．的值等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】沪教版（2020） 必修第二册 单元训练 第6章 单元测试（B卷） 【知识点】诱导公式五、六、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用诱导公式及两角和与差的余弦公式，即可得解. 【详解】   故选：A. 4．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.88 【来源】辽宁葫芦岛市普通高中2025-2026学年下学期期末考试高一数学试卷 【知识点】向量模的坐标表示、已知数量积求模、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】根据向量的数量积坐标表示计算出，再求. 【详解】由题意可得 ，， 所以，故. 5．如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北30°的方向上，行驶300m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北75°的方向上，塔顶的仰角为45°，则此铁塔的高度为（   ）    A．m B．m C．m D．m 【答案】C 【难度】0.85 【来源】江苏南京市金陵中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷 【知识点】几何图形中的计算、正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】由题意可得各个角度，根据正弦定理，可得BC，根据三角形的性质，即可得答案. 【详解】由已知得在中，，，， 由正弦定理，得，解得， 又因为仰角为45°，所以三角形是等腰直角三角形， 所以. 6．已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】辽宁葫芦岛市普通高中2025-2026学年下学期期末考试高一数学试卷 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用三角函数的图象求出函数的解析式，再利用三角函数图象变换可得出函数的解析式. 【详解】由图可知，函数的最小正周期满足，所以最小正周期， 故，此时； 将最低点代入可得，即， 所以，可得. 又，所以，所以； 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可得． 7．在中，,,,,垂足为，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【难度】0.72 【来源】辽宁葫芦岛市普通高中2025-2026学年下学期期末考试高一数学试卷 【知识点】用定义求向量的数量积 【详解】如图： 因为，所以. 且，所以. 所以. 8．5．如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】山东济宁市2025-2026学年第二学期质量检测高一数学试题 【知识点】正弦定理解三角形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的规则还原原图形，确定边长关系，利用正弦定理或三角函数定义求解. 【详解】设，由， 可得，． 根据斜二测画法的规则，原图形中，，，，且． 在中，， 在中，． 由正弦定理得． 二、多选题 9．下列说法正确的有（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．相等的角在直观图中仍然相等． 【答案】BC 【难度】0.7 【来源】江苏省海安高级中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱、棱锥的结构特征和分类、斜二测画法辨析 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A，如图所示， 由图知，该几何体上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，由平行六面体的概念和性质可知：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C，根据正棱锥的概念和性质可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确； 对于D，相等的角在直观图中不一定相等，比如直角在直观图中可能变为或，故D错误. 10．已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（   ） A．若的一个对称中心为，则 B．若为偶函数，则 C．若在区间内有三个零点，则 D．若在区间上单调递增，则的最大值为 【答案】BCD 【难度】0.55 【来源】辽宁葫芦岛市普通高中2025-2026学年下学期期末考试高一数学试卷 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式 【分析】根据辅助角公式及正弦型函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】. 由题意知，则，又，则，所以， 故. 对于A，若的一个对称中心为， 则， 可得，，所以，. 又，所以，A错误. 对于B，若为偶函数，则，， 所以，， 又，所以，B正确. 对于C，当时，， 且区间的长度为， 若在区间内有三个零点，则，，则，， 又因为，故，C正确. 对于D，当时，， 因为，所以， 若在上单调递增，则， 即，解得，故的最大值为，D正确. 11．如图，在中，是中点，是靠近的三等分点，下列说法正确的是（     ） A． B．若，则 C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【来源】广西南宁市部分高中2025-2026学年高一下学期期末联考数学试卷 【知识点】数量积的运算律、用基底表示向量、用定义求向量的数量积 【分析】由题意得，利用向量的线性运算可判断A；利用，结合已知计算可判断B；设，利用共线求得，结合向量的线性运算可判断C；由选项C可得，可得，进而计算可判断D. 【详解】因为是靠近的三等分点，所以， 所以，所以，故A正确； ，故B正确； 设，则， 又是中点，所以，所以， 又因为在同一直线上，所以，解得， 所以，所以， ， 所以，故C正确； 因为，所以，所以， 又是中点，所以，所以，故D错误. 三、填空题 12．写出函数的一个对称轴方程为__________. 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【来源】辽宁葫芦岛市普通高中2025-2026学年下学期期末考试高一数学试卷 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据正弦函数的对称轴公式，结合整体代换法计算即可. 【详解】令，解得， 所以函数的对称轴方程为. 13．化简：__________. 【答案】1 【难度】0.85 【来源】辽宁葫芦岛市普通高中2025-2026学年下学期期末考试高一数学试卷 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【详解】. 14．如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 【答案】 3 / 【难度】0.6 【来源】北京中学2025-2026学年第二学期高一英才期中调研数学试题 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、用定义求向量的数量积 【分析】取中点，连接，由条件得到是等边三角形，进而求出，在中，由余弦定理求出，即可求出；取中点，连接，交半圆于点，将转化为，分析出即点与点重合时，取到最大值1，即可求出的最大值. 【详解】 如图所示，取中点，连接， 因为四边形是菱形，，， 所以，所以可得是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理可得 ， 所以，所以； 如图所示，取中点，连接，交半圆于点， 则，. 所以 ， 因为，所以当，即点与点重合时， 取到最大值1，此时取到最大值. 四、解答题 15．已知. (1)求和的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.78 【来源】辽宁葫芦岛市普通高中2025-2026学年下学期期末考试高一数学试卷 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦）、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）先对两边平方，可得，， 方法一：结合平方和关系式联立方程组，即可求解； 方法二：先求解的值，再联立方程组求解； （2）先求解，再把表示为，最后利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】（1）由，且， 将两边同时平方并整理得：，所以， 故，， 方法一：由， 解得：， 方法二：由题意可得， 于是， 所以， 解得：，. （2）由（1）知，， 可得， 又， 所以． 16．已知向量，的夹角为，且. (1)若，求的坐标； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)或； (2) 【难度】0.74 【来源】河南省信阳高级中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测（二）数学试题 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律、利用数量积求参数、坐标计算向量的模 【分析】（1）设，由 和求解； （2）根据，得到，然后由，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）设， 因为向量，的夹角为，且，， 所以， ，得， 又因为，所以， 即或. （2）因为，所以，即， 所以， 所以， ， ， 所以，当时，有最小值为. 17．在锐角中，内角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1)． (2)． 【难度】0.81 【来源】黑龙江省绥化市第二中学2026-2027学年高二上学期开学考数学试题 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）将等式左边用平方差公式展开，化简后与余弦定理的标准形式对照，可得 的值，从而求出 的大小； （2）由内角和求出角，利用正弦定理求出边，再代入面积公式即可求得三角形面积． 【详解】（1）由已知， 整理得， 由余弦定理， 所以，因为，所以，又为锐角，所以. （2）因为，，由(1)知，则， 由正弦定理得， 所以． （） 18．已知函数的最大值为2． (1)求a的值； (2)在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一确定，求的最小正周期及在区间上的取值范围． 条件①：； 条件②：为函数的最值点； 条件③：． 【答案】(1). (2)选择条件②，最小正周期为，取值范围为. 【难度】0.62 【来源】北京一零一中2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷 【知识点】和差化积公式、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域、辅助角公式 【详解】（1）因为. 因此. 又， 所以. 的最大值为，解得. （2）由(1)知. 已知在上单调递减，且. 先考虑需要满足的单调性条件. 令，当时，，区间长度为 . 的递减区间为 ， 该区间长度为 ，故需 ，即 . 若 ，区间起点 ，而 ，无交集. 若 ，区间终点 ，而 ，无交集. 故只能取 ，故需且. 解前一不等式得，解后一不等式得. 所以的取值范围是. 若选条件①：. 代入得，即. 所以，解得. 结合，无整数使落在该区间，故条件①不满足. 若选条件②：为的最值点. 最值点满足. 两边乘6：，即，. 在内，时；时超出，故唯一. 若选条件③：. 计算，. 由得. 所以或. 解得（舍去，不在区间内）或. 时，超出；无合适解，故条件③也不成立. 三个条件逐一检验后发现：条件②中在区间内且满足单调性，且唯一确定为. 此时最小正周期. 当时，. 正弦在此区间从递减到，所以取值范围是. 综上，；满足条件的为条件②，，最小正周期，取值范围. 19．已知分别为三个内角的对边，，． (1)求角的值； (2)如图，若，为线段上（不含端点）的两个动点，，的面积为． （i）求的值； （ii）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【难度】0.55 【来源】广西玉林市2025-2026学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）运用正弦定理进行边化角，再利用正弦的和角公式进行化简，即可得解； （2）（i）运用三角形面积公式得到，再运用余弦定理得到，即可解得；（ii）设，在中运用正弦定理可得，再结合，即可得解. 【详解】（1）由正弦定理可得：，在中，， 所以， 得，因为在中，，所以， 得，所以， 因为，所以； （2）（i）因为，所以，最后结合，即可确定 因为， 所以， 又， 所以， 由，得或， 由图可知：， 所以，故； （ii）由，得，所以， 设，其中，则，， 在中，由正弦定理可得 ， 因为，则，所以． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $龙城中学2025级数学科答题纸 三、填空题 16 17 12 13、 14、 蜜 四、解答题 15、 需 高二上数学科目答题纸 19、 高二上数学科目答题纸高二上学期开学验收考试 数学试题 一、单选题 1.设复数= 1 1-2i 则z的虚部是() B.5 C.i D. 2.“有志者，事竟成”出自《后汉书耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功.如 图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“志字所在面相对的面上的字为() 有 志 者 事 竟 成 A.成 B.竟 C.者 D.事 3.c0s80°c0s35°+c0s10°c0s55°的值等于(). A.2 2 B.、V② 2 c. 4.已知向量a(1,2),-4,m),若a6=12,则=（) A.2W5 B.4V2 C.2V13 D.6 5.如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一铁塔底部C在西偏 北30的方向上，行驶300m后到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75的方向上，塔顶D的仰 角为45°，则此铁塔的高度为() A.506m B.75√6m C.150W2m D.150W3m B 试卷第1页（共4页） 6.已知函数fw)=2cos(x+p(o>0,gs匹)的部分图象如图所示，将f(x)的图象上所有点的横 VA 坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则() A.g(x)=2cosx-3 B.8(x)=2cosx+二 6 C.g(x)=2cos 4x- D.g(x)=2cos 4x+ 6 7.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,|BC=2,BM⊥AC,垂足为M,则BABM=() A. B.&V5 c 8 D.4 5 8.如图，△A'B'C'是△ABC用斜二测画法得到的直观图，其中OB':OA':OC'=1:√2：2，则 sin∠ABC 的值为() sin∠ACB A.23 B. 迈 3 2 c.3 B′O C D.√2 2 二、多选题 9.下列说法正确的有（) A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱 B.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D.相等的角在直观图中仍然相等. 试卷第2页（共4页） 10.已知函数f(x)=sin(am+p)-5cos(am+p)(o>0,0<p<)且f(x)图象的相邻两条对称轴 间的距离为行，则以下说法正确的是〈) A.若∫(x)的一个对称中心为 ,0 -12 B.若d为码两数，则日 c.若(y在区间[Q,可内有三个零点，则0背 D.若f()在区间0君司上单调选增，则9的最大值为号 11.如图，在△ABC中，M是AC中点，N是CB靠近C的三等分点，下列说法正确的是() A.AN-14B+2AC 2 3 B.若∠CAB=元，AC=2,AB=3,则ANAB=5 c.MO=-MB B D..o8. 三、填空题 12. 写出函数/()-3n4+写)的一个对称轴方程为 sin (3π+asin(t-a） 2 13.化简： 2 cos(3π+a) cos 14.如图，在菱形ABCD中，BC=2,∠ABC=60°，以BC为直径的半圆与AB交于点M,P是 半圆上的动点，则BMBD= :BPBD的最大值是 四、解答题 M 15.己知a∈(0，π)，sina+cosa= 5 (1)求sino和cosa的值： (2若a(a+P)-子，求amp的值. 1 试卷第3页（共4页） 16.已知向量a,b的夹角为60°，且a=(0,1). (1)若=2，求方的坐标： (2)若（ā+b)L(a-),eR,求a+的最小值 17.在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且(a+c+b)(a+c-b)=3ac (1)求角B的大小： (2)若A=45°，b=√6，求△ABC的面积 18. 已知函数f(x)=-sin ax+） +sin ax-π） 6 6 +C0Sax+a(o>0)的最大值为2. (1)求a的值： (2)f(x)在区间 62 上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己 知，使得函数f(x)存在且唯一确定，求f(x)的最小正周期及f(x)在区间 6’2 上的取值范围. 条件①： =0； 6 条件②：x= 为函数f()的最值点： 3 条件③： f(0)+f 3 =0. 19.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，c=2,√3 csinB+ccosB=a. (I)求角C的值： (2)如图，若D,E为线段BC上（不含端点）的两个动点，∠DAE=30°，△ABC的面积为√5 (i)求a的值： (i求AD 的取值范围. AE B D 试卷第4页（共4页）