函数的值域（最值）专题练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数值域（最值）求解，通过多题型覆盖基本不等式、单调性、换元法等核心方法，构建“概念-方法-应用”逻辑链条，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|14题（8单选+3多选+3填空）|基本不等式“三相等”、对勾函数单调性、换元法（代数/三角）|从基本函数到复合函数，强化代数方法与几何意义的关联| |解答题|5题|定义法证单调性、分段函数最值、数形结合|从方法应用到综合探究，突出跨知识点迁移与实际问题建模|

函数的值域（最值） 常见考点专题练 2027届高中数学高考一轮复习备考 一、单选题 1．下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．某数据中心有一核心节点，周围边缘节点均部署在圆上．定义流量损耗函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 6．记为等差数列的前项和，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，若函数是偶函数，函数是奇函数，则在上的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 8．已知函数的定义域为 ，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．函数在定义域内单调递减 D．的最小值为 2 二、多选题 9．设正实数m、n满足，则下列说法中正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．mn的最大值为 D．的最小值为 10．在锐角中，内角的对边分别为，满足．则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．若，则的最小值为2 11．下列函数中，对于任意使得有意义的，始终存在常数，使得在区间上的最大值与最小值之差为的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，则的值域是______； 13．若函数的减区间为，则函数的值域为______． 14．若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 四、解答题 15．已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 16．已知函数，，求的最小值的表达式，并求出的最大值． 17．求的值域. 18．求函数的最小值与最大值． 19．已知函数的定义域、值域均为，定义集合． (1)当，，求； (2)当，，求； (3)给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有； ②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有．判断这两个结论是否正确，并说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B A B C D ACD ABC 题号 11 答案 BC 1．C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 2．D 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 3．B 【详解】， 令则，则原函数的值域等价于函数的值域， 时，恒成立，即单调递增， 当时，，时，， 所以值域为. 4．B 【分析】先将流量损耗函数化简为对勾函数形式，再结合点与圆的位置关系确定的取值范围，最后利用对勾函数单调性求最小值. 【详解】由圆可知圆心，半径， 令，则，因为，， 所以， 所以， 因为在上单调递增， 所以当时，. 5．A 【详解】不等式为(*)， 当时，(*)式即为，， 又（时取等号）， （时取等号）， 所以， 当时，(*)式为，， 又（当时取等号）， （当时取等号）， 所以， 综上．故选A． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围. 6．B 【分析】根据等差数列的性质结合函数值域的求法求解即可. 【详解】由，，可得. 又，所以. 令，则，代入，得， 由，解得， 故的最大值为. 7．C 【分析】先利用偶函数性质列出，再由奇函数性质列出，联立两式消去化简求得，换元令得，转化为对勾函数，由其在单调递增，代入算出最小值为. 【详解】已知是偶函数，所以① 已知是奇函数，所以，即② 由①得， 代入②：. 整理得，. 令，，则，. 对勾函数在递增，区间在递增区间内. 最小值在处：. 8．D 【分析】根据题意，利用赋值法，求得，可判定A错误，利用叠加法，求得的解析式，列出方程，可判定B错误；结合二次函数的性质，可判定C错误，D正确. 【详解】对于A，因为的定义域为，且满足 且， 取，可得，则， 取，可得 ，则，所以A错误； 对于B，取，可得，则， 所以， 以上各式相加得，所以， 经检验：其中满足上式，所以 ， 令，可得，此方程无解，所以B错误； 对于C，由函数 ， 由函数的图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以C错误； 对于D，由C项知：函数在上单调递增， 所以，所以D正确. 9．ACD 【分析】由题设得，结合指数函数性质判断A；应用三角换元、辅助角公式及正弦型函数性质求的范围判断B；应用基本不等式求最值判断C、D. 【详解】对于A，因为正实数m，n满足，则，，故，正确； 对于B，设，，，满足正实数m，n的关系式， 所以， 由于，所以，所以，错误； 对于C，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，正确； 对于D，因为，可得，当且仅当时等号成立，正确． 故选：ACD 10．ABC 【分析】利用余弦定理和均值不等式可判断A选项；利用和差化积以及积化和差公式将所求式子化为关于的函数，利用函数的单调性可判断B，C选项；D选项可构造反例解答. 【详解】由余弦定理 ， 代入 得 又由均值不等式 ，结合 得 ，即 ， 代入上式得，所以 由于为锐角，故，最大值为（当且仅当 时取等号），所以A 正确； 由正弦定理得 所以 利用和差化积公式： ， 代入即得 因为 ，且 ， 代入得 于是， ， 令，由题意为锐角三角形可知，， 所以，由知， 又 ，即， 解得，所以 则，令， 因为在上递减，在上递减， 所以函数在上单调递减， 所以，所以正确； 因为， 令，其中， 因为在上递减，在上递减， 所以函数在上单调递减，所以，所以正确； 对于D选项，取，此时，，满足， 因为，满足三个角均为锐角， 但，即此时，所以D错误. 11．BC 【分析】结合题目定义，根据各选项函数的性质分别判断即可． 【详解】要求函数在区间且上的最值之差等于, 对于选项A，函数的最值之差为， 若要其等于，则必须满足，这与任意有意义的均成立的要求矛盾，故A错误； 对于选项B，函数，令且， 当且时，由推导可得， 因为，因此必定存在正实数， 同理当时，由，推导可得，必定存在正实数， 当时显然存在，故B正确； 对于选项C，函数，令，且， 当时，由， 根据对数函数图像性质得，可知必定存在正实数， 当时由推导可得， 同理可知必定存在正实数，故C正确； 对于选项D，若，假设存在满足条件的正实数与，令， 因为，故有，由指数函数的单调性可知必有，则， 由于，必有，进而， 由和在的图像可知不等式无解，故D错误． 12． 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 13． 【分析】先根据函数的单调性确定的值，再分析函数的单调性求函数值域. 【详解】因为，， 由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 因为，由. 此时，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，故满足题意. 此时， 所以函数的值域为. 14． 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 15．(1)证明:因为函数，且，所以，解得， 故. 任取，且， 则， 因为，所以，则， 所以，即， 故函数在上为增函数. (2)最大值为5，最小值为4 【分析】（1）先由条件求出的值，再利用函数的单调性定义证明； （2）利用函数的单调性计算即得函数在给定区间上的最值. 【详解】（1）略； （2）由（1）知，函数在上为增函数，则其在上为增函数， 则， 故函数在区间上的最大值为5，最小值为4. 16．， 【分析】将函数化成顶点式，然后分，和三种情况讨论求出，再分三种情况求的最大值即可. 【详解】由得， 当，即时， 的最小值为； 当，即时，在上为增函数， 所以最小值为； 当，即时，在上为减函数， 所以最小值为． 于是 当时，， 当，，一个开口向下的一元二次函数， 其对称轴，， 因此在内，； 当，，，其为一个减函数， 因此在，. 综上在处取得最大值为． 17． 【分析】设，问题化为求的范围，数形结合确定值域即可. 【详解】令， 设，如下图示， 则，当且仅当在线段的延长线上时取等号， 当时，直线可近似看作平行关系，此时， 综上，目标式的范围是. 18．最小值－3，最大值 【分析】令转化为上半单位圆约束，设借助换元把原式化为关于的二次函数，先求出在上半单位圆下的取值范围，再结合二次函数单调性代入区间端点得到函数最值. 【详解】令，则,隐含的几何约束条件为：（且）． 原函数可重写为关于和的表达式：， 令，因为， 所以有交叉项． 将目标函数完全转化为关于的一元二次函数：， 由柯西不等式，，故． 当时取等号．所以． 因为，当时，若，则，；若，则； 在一、二象限单位圆上，的投影最小值发生在最左侧端点（即），所以． 因此，． 二次函数开口向上，对称轴为． 因为定义域区间整体在对称轴－1.5的右侧，函数在此区间单调递增． 所以最小值；·最大值. 19．(1) (2) 时； 当时，； 当时， (3) 对于①，假设在上单调递增函数， 对于任意实数， 因为，则，所以，故①正确； 对于②，设，当时，此时取， 则不满足 当时，，取，则， 因为，所以，所以，此时，不满足； 当时，， 取，则，不满足， 综上，不存在实数，使得对任意均有，故②错误． 【分析】（1）先计算，再代入得到关于的表达式，根据函数单调性确定该表达式的值域，即得到 （2）对的取值范围进行分类讨论：当时，代入对应分段解析式得到的表达式，结合求值域；当时，代入对应分段解析式，分别求出在和的值域，再合并得到 （3）结论①：构造一个满足条件的函数，即可证明结论正确；结论②：构造一个不满足题意的函数，即可证明结论错误 【详解】（1）由题意得，该函数在定义域上单调递减 故， （2）当时，，而 故 所以当时，，； 当时，,； 同理，当时， 即 令，有 故时，，当时， 综上知，时； 当时，； 当时， （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $