5.3实际问题与一元一次方程（工程问题）跟踪练习2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦工程问题核心等量关系，通过基础到复杂情境的题型设计，系统训练一元一次方程建模能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|6选择+6填空|单人/合作完工、效率变化、分工问题|以“工作量=效率×时间”为核心，从单一关系到多主体动态变化| |综合提升|6解答题|双工程、分段施工、费用优化|拓展至实际情境中的多变量关系，强化模型意识与问题转化能力|

5.3实际问题与一元一次方程（工程问题）跟踪练习 一、单选题 1．某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月完成该工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比．若设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某段铁路由甲工程队单独铺设需要40天，由乙工程队单独铺设需要60天．如果由这两个工程队从两端同时相向施工，总共需要（    ） A．20天 B．24天 C．25天 D．30天 3．计划铺一条公路，甲单独做需8天完成，乙单独做需12天完成，现在甲先做2天，甲乙再合作天，共完成整条公路的，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．某项工作由甲、乙单独做分别需要6小时和9小时．如果让甲、乙两人一起工作1小时，再由乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间？设一共需要小时完成，由题意列方程为（   ） A． B． C． D． 5．一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 6．现在有一面7尺厚的墙，大小两只老鼠分别从两面相对着打洞，第一天两只老鼠都打相同距离的洞，从第二天开始，大老鼠每天打洞的距离是前一天的2倍，小老鼠每天打洞的距离是前一天的一半，第三天结束洞刚好被打通，小老鼠第一天打洞的距离为（    ） A．6尺 B．2尺 C．尺 D．尺 二、填空题 7．某项工程，甲单独完成需30天，乙单独完成需20天，若乙先单独做12天，剩下的由甲单独完成．问：甲、乙一共用多少天可以完成全部工作？若设甲、乙一共用x天可以完成全部工作，则可列方程为_________． 8．某市今年进行天然气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要8天完成；若乙队单独做需要12天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要___________天能够完成任务． 9．刺绣是中国民间传统手工艺之一，某刺绣工作室接到一个刺绣订单，林师傅单独完成这个订单需要天，比李师傅单独完成这个订单需要的天数少，如果两人合作___________天能完成这个订单． 10．某车间计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成了任务．那么这批产品一共有____个． 11．某车间每天需生产50个零件，才能在规定时间内完成一批任务，实际上该车间每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天完成且超额生产了120个零件．若设该车间要完成的零件任务为x个，则可列方程为_______． 12．一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍，上午在乙工地工作的人数是甲工地的，下午这批工人中的在乙工地工作，其余的工人在甲工地工作．一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天．这批工人有( )人．（假设上午、下午工作时间相同，每个工人的工作效率相同） 三、解答题 13．为了建设“绿惠九龙•理想森活”示范区，花都区以“山与湖的率真”为设计愿景，对九龙湖环湖步道进行提升改造．步道总长米，现由甲、乙两个工程队承包这项改造工程．已知乙队每天改造的长度比甲队多米． (1)若乙队每天改造的长度是甲队每天改造长度的倍，则甲队每天要改造多少米？ (2)若甲队负责改造米，剩下的由乙队完成，则两队改造时间相同，求甲、乙两队每天各改造多少米？ 14．某校举办了“装饰校园迎元旦”的活动，七（2）班学生接受了吹气球的任务，已知七（2）班共有40名学生，每人每分钟能吹2个气球．任务开始时先有一半的同学参加任务，完成了以后全班同学一起参加任务，从任务开始到完成共用了30分钟，问七（2）班学生共吹了气球多少个？ 15．2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 16．一项工程，甲先单独做天，然后与乙合作天，这样才完成全部工程的一半．已知甲、乙工作效率的比为．如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 17．甲、乙、丙三队完成A、B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量多，已知甲单独完成A工程要天，乙、丙两队各自单独完成B工程分别需要天、天．开始时甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程．几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程，剩下的乙队单独做B工程，结果两个工程同时完成，请问丙队与乙队合作了多少天？ 18．为方便城镇和乡村之间的联系，政府决定修建一条公路，若由甲工程队单独修建需3个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元． (1)甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？ (2)若要求最多个月完成修建任务，请你设计一种方案，既能够保证按时完成任务，又能最大限度节省资金（时间按照整月计算） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B D D A D 1．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据结果比原计划提前2个月完成交货，列方程即可． 【详解】解：设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是，根据题意，得 故选：A． 2．B 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题． 设总共需要x天，根据“工作量＝工作效率×工作时间”即可列出方程，求解即可解答． 【详解】设总共需要x天．根据题意，得 ， 即， 解得：． 答：总共需要24天． 故选：B 3．D 【分析】本题考查一元一次方程的应用—工程问题，甲每天完成，乙每天完成，再根据等量关系求解即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 4．D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．利用甲完成的工作量乙完成的工作量总工作量，列出关于x的一元一次方程即可得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 5．A 【分析】将工作总量看作单位“1”，先根据工作总量和单独完成时间求出甲乙的工作效率，再根据总工作量等于甲乙工作量之和列方程，即可求出甲停工的时间． 【详解】解：设工作总量为单位“1”，甲停工了小时， ∵甲单独完成需小时，乙单独完成需小时， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲工作时间为小时，乙工作时间为小时， ∴， 整理得：，解得， 即甲停工了小时． 6．D 【分析】设小老鼠第一天打洞距离为尺，根据题意表示出两只老鼠三天打洞的总长度，利用总长度等于墙厚7尺列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设小老鼠第一天打洞的距离为尺，则大老鼠第一天打洞距离也为尺．由题意可得 ∴ 解得 ， 因此小老鼠第一天打洞距离为尺． 7． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲、乙一共用x天可以完成全部工作，则甲工作了天，再根据甲、乙的工作总量之和为1建立方程即可． 【详解】解：设甲、乙一共用x天可以完成全部工作， 由题意得，， 故答案为：． 8．2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设甲乙两队同时施工天，余下的工程由乙队完成，乙队还需要天能够完成任务，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲乙两队同时施工天，余下的工程由乙队完成，乙队还需要天能够完成任务， 根据题意得：， 解得：， 答：乙队还需要天能够完成任务． 9． 【分析】先将李师傅单独完成订单的天数看作单位，根据林师傅的工作时间求出李师傅单独完成需要的天数，再将工作总量看作单位，列出方程，即可求解． 【详解】李师傅单独完成订单需要：（天） 设两人合作天能完成这个订单，则 ， 解得． 即如果两人合作天能完成这个订单． 10． 80 【分析】设预定完成任务的时间为小时，根据产品总数量不变列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设预定小时完成任务，产品总数为个， ∵实际先加工2小时，已经完成个，提高速度后每小时加工个，结果提前1小时完成， ∴提高速度后加工的时间为小时， 根据产品总数量相等列方程：， 解得， ∴产品总数为个． 11． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，能够用含有未知数的代数式表示相关的量，再根据题中的等量关系列方程，根据“实际生产所用时间比规定的时间提前3天完成且超额生产了120个零件”列方程即可． 【详解】解：利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前3天完成任务， 依题意，得． 12．36 【分析】假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1，设这批工人有人，根据甲工地的总工作量乙工地的总工作量，再结合工程问题基本公式“工作总量人数工作时间”(每人工作效率相同)推导而来． 【详解】解：假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1，设这批工人有人， 答：这批工人共有36人． 13．(1)甲队每天要改造米 (2)甲队每天要改造米，乙队每天要改造米 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）根据题意，找准等量关系列方程求解即可； （2）根据题意，找准等量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲队每天要改造米，则乙队每天要改造米， 由题意得： ， 解得：， 答：甲队每天要改造米； （2）解：设甲队每天要改造米，则乙队每天要改造米， 由题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲队每天要改造米，乙队每天要改造米． 14．1800个 【分析】本题考查了一元一次方程的实际问题，设共吹了气球个，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设共吹了气球个， 则先前一半的同学吹了个气球，用时分钟． 全班同学一起参加任务期间，吹了个气球，用时分钟， 则有： 解得 答：七（2）班学生共吹了气球1800个． 15．(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要��天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 16．乙单独完成这项工程需要天 【分析】根据甲、乙工作效率比为设出两人的工作效率，再结合“甲先单独做天，再与乙合作天完成工程的一半”列出方程，进而求出乙的工作效率，最后算出乙单独完成工程的时间． 【详解】解：设全部工程量为，甲每天完成的工程量为，则乙每天完成的工程量为， 则， 即， ， 则乙每天完成的工程量为， （天）， 答：乙单独完成这项工程需要天． 17． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的工程问题，根据“工作总量=工作时间×工作效率”来列方程是解题的关键． 设A的工程量为1，则B的工程量，再分别表示出甲乙丙的工作效率，然后根据题意列出方程可算出两项工程总用时，进而求出丙队和乙队合作的天数． 【详解】解：设A的工程量为1，则B的工程量为， 由题意得：甲的工作效率为：， 乙的工作效率：， 丙的工作效率：， 设甲乙丙三队完成A、B两项工程用了x天， 根据题意得， 解得：， ∴丙队和乙队合作了（天）． 答：丙队和乙队合作了天． 18．(1)甲、乙两工程队合作修建需个月完成，共耗资万元； (2)甲、乙合作个月，然后乙再单独修建个月既能按时完成任务，又最大限度节省资金 【分析】（）设甲、乙两工程队合作修建需个月完成，根据“由甲工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元”建立方程求解即可得到，然后计算耗资即可； （）根据题意，有如下三种方案，方案一：由甲工程队单独修建需个月完成任务，耗资万元；方案二：由甲、乙两工程队合作修建需个月完成任务，耗资万元；方案三：由甲、乙两工程队合作修建一段时间，剩下的由乙工程队单独完成，共耗时个月，分别计算出各自的耗资，再比较即可作出判断； 本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系，建立适当方程求解，并结合题意进行方案设计是解题关键． 【详解】（1）解：设甲、乙两工程队合作修建需个月完成，根据题意： ， 解得， ∴， 答：甲、乙两工程队合作修建需个月完成，共耗资万元； （2）解：根据题意，有如下三种方案： 方案一：由甲工程队单独修建需个月完成任务，耗资（万元）； 方案二：由甲、乙两工程队合作修建需个月完成任务，耗资万元； 方案三：由甲、乙两工程队合作修建一段时间，剩下的由乙工程队单独完成，共耗时个月， 设甲、乙合作个月，剩下的由乙来完成， ， 解得， 此时耗资（万元）， 因为， 所以甲、乙合作个月，然后乙再单独修建个月既能按时完成任务，又最大限度节省资金． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $