5.1.1_从算式到方程-课件- 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的引入，通过登山队追及问题导入，先引导学生尝试算式解法，再过渡到设未知数表示等量关系列方程，搭建从算术到代数的学习支架。 其亮点在于以生活实例为载体，通过问题链引导学生抽象数量关系，培养抽象能力与推理意识，结合方程历史溯源增强文化认同，课堂练习与小结帮助学生掌握列方程方法，提升数学语言表达能力，教师可高效开展概念教学与应用指导。

第五章 一元一次方程 5.1.1 从算式到方程 人教版 七年级上册 1 新课导入 问题 1 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营 1 km 的一号营地出发，每小时行进 1.2 km；乙队从距大本营 3 km 的二号营地出发，每小时行进 0.8 km．多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 请你先试着用列算式的方法解决． 大本营 一号营地 二号营地 峰顶 5.1.1 从算式到方程 2 / 22 用登山追及问题引入，让学生先尝试算术方法。可以发现用算术方法较难直接解决，为引入方程做铺垫。 2 新课导入 追问 是否可以通过设一个恰当的未知量，进而将题目中其他的未知量表示出来，并通过题目中的相等关系列出等式？ 解：设两队行进的时间为 x h，根据“路程＝时间×速度”， 甲队和乙队的行进路程可以分别表示为 1.2x km 和 0.8x km， 从而甲队距大本营的路程可以表示为 (1.2x＋1) km， 乙队距大本营的路程可以表示为 (0.8x＋3) km． 甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时 1.2x＋1＝0.8x＋3 5.1.1 从算式到方程 3 / 22 关键引导：设未知数后，用含x的式子表示其他未知量，再根据相等关系列出等式。这是从算术到方程的核心转变。 3 新知探究 问题 2 你能找出下面两个实际问题中的相等关系，并用一个含有未知数的等式来表示吗？ 1. 用买 3 个大水杯的钱，可以买 4 个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是多少元？ 设大水杯的单价为 x 元，则小水杯的单价为 (x－5) 元． 3x＝4(x－5) 2. 一枚长方形的庆祝中国共产党成立 100 周年纪念币，其面积是 4 000 mm²，长和宽的比为 8∶5．这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？ 设这枚纪念币的长为 x mm，则宽为 x mm，面积为 x² mm²． x²＝4 000 5.1.1 从算式到方程 4 / 22 两个实际问题分别列出了一次方程和二次方程。引导学生体会：设未知数、用含未知数的式子表示其他量、根据相等关系列等式。 4 新知探究 问题 3 回顾问题 1、问题 2，与算术的方法相比，梳理一下这种新方法是如何做的？ 方程 像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程． ① 设出字母表示未知数 ② 根据问题中的相等关系 ③ 列出一个含有未知数的等式 5.1.1 从算式到方程 5 / 22 对比算术方法与方程方法，引导学生总结列方程的三个步骤。强调方程是含有未知数的等式。 5 溯 源 汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题． ◆ 我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”． ◆ 19 世纪 50 年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将 equation（指含有未知数的等式）一词译为“方程”． 李善兰（1811—1882） 5.1.1 从算式到方程 6 / 22 数学史渗透，增强文化自信。《九章算术》的“方程术”是世界上最早的方程组解法。李善兰将equation译为“方程”，沿用至今。 6 拓展提升 例 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1) 某校女生占全体学生数的 52%，比男生多 80 人，这所学校有多少名学生？ 解：设这所学校的学生数为 x，则女生数为 0.52x，男生数为 (1－0.52)x． 0.52x－(1－0.52)x＝80 (2) 一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m，扩大后的绿地面积是 500 m²，求正方形绿地的边长． 解：设正方形绿地的边长为 x m，则扩大后的绿地面积为 (x²＋5x) m²． x²＋5x＝500 关键：找出相等关系，用含未知数的式子表示等式两边． 5.1.1 从算式到方程 7 / 22 两个例题分别是一次方程和二次方程。重点讲清设未知数的方法和找相等关系的思路。让学生口头说出每一步的依据。 7 方法归纳 归纳 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法．这个过程可以表示如下： 实际问题 设未知数，用含有 未知数的等式表示 相等关系 方程 列方程是用数学解决实际问题的核心方法之一． 5.1.1 从算式到方程 8 / 22 用流程图展示从实际问题到方程的过程。强调这是数学建模的初步体验。 8 课堂练习 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1) 甲种铅笔每支 1.4 元，乙种铅笔每支 1.8 元．用 23 元钱买这两种铅笔，一共买了 15 支，两种铅笔各买了多少支？ 设买甲种铅笔 x 支，则 1.4x＋1.8(15－x)＝23 (2) 有两条电线，第一条长 90 m，第二条长 40 m．要从第一条截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等．求截下的那段电线的长度． 设截下的那段电线长 x m，则 90－x＝40＋x (3) 某圆环形状的工件，面积是 200 cm²，外沿大圆的半径是 10 cm，内沿小圆的半径是多少厘米？ 设内沿小圆的半径为 x cm，则 100π－πx²＝200 5.1.1 从算式到方程 9 / 22 三道练习分别对应一次方程、简单等式、二次方程。学生独立完成，教师巡视指导。重点检查设未知数和找相等关系是否正确。 9 新知探究 回顾 对于前面根据登山问题列出的方程 1.2x＋1＝0.8x＋3 问题 1 观察这个方程，你可以找出使该等式成立的未知数 x 的值吗？ 当 x＝5 时，左边＝1.2×5＋1＝7，右边＝0.8×5＋3＝7， 这时方程左、右两边的值相等． 追问 你还能找到其他使等式成立的 x 的值吗？ 5.1.1 从算式到方程 10 / 22 通过代入检验，发现x=5使方程成立。引导学生体会：方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值。 10 理解概念 方程的解 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解． 求方程的解的过程，叫作解方程． 例如，x＝5 就是方程 1.2x＋1＝0.8x＋3 的解． 注意：方程的解是一个值，解方程是一个过程． 5.1.1 从算式到方程 11 / 22 区分“方程的解”和“解方程”两个概念。前者是一个数值，后者是一个过程。这是学生容易混淆的地方。 11 学以致用 例 (1) x＝2，x＝ 是方程 2x＝3 的解吗？ 解：当 x＝2 时，左边＝2×2＝4，右边＝3，左右两边不相等，所以 x＝2 不是方程 2x＝3 的解； 当 x＝ 时，左边＝2×＝3，右边＝3，左右两边相等，所以 x＝ 是方程 2x＝3 的解． (2) x＝10，x＝20 是方程 3x＝4(x－5) 的解吗？ 解：当 x＝10 时，左边＝3×10＝30，右边＝4×(10－5)＝20，左右两边不相等，所以 x＝10 不是解； 当 x＝20 时，左边＝3×20＝60，右边＝4×(20－5)＝60，左右两边相等，所以 x＝20 是方程 3x＝4(x－5) 的解． 检验方法：将未知数的值分别代入方程的左、右两边，看是否相等． 5.1.1 从算式到方程 12 / 22 检验方程的解的标准方法：代入左边和右边分别计算，比较是否相等。让学生板演，规范书写格式。 12 思 考 x＝60 是方程 x²＝4 000 的解吗？x＝80 呢？ 当 x＝60 时，左边＝×60²＝×3600＝2250，右边＝4000，不相等，所以 x＝60 不是解； 当 x＝80 时，左边＝×80²＝×6400＝4000，右边＝4000，相等，所以 x＝80 是解． 追问 x＝－80 是方程 x²＝4 000 的解吗？ 当 x＝－80 时，左边＝×(－80)²＝×6400＝4000，右边＝4000，相等， 所以 x＝－80 也是方程 x²＝4 000 的解． 这说明：一个方程可能有多个解．但在实际问题的情境中，需要根据实际意义确定合理的解． 5.1.1 从算式到方程 13 / 22 x²=4000有两个解：80和-80。但实际问题中纪念币的长不能为负，所以取x=80。引导学生体会数学解与实际解的区别。 13 新知探究 问题 2 观察下列方程，它们有什么共同特征？ 1.2x＋1＝0.8x＋3 3x＝4(x－5) 0.52x－(1－0.52)x＝80 只含有一个未知数 ＋ 未知数的次数是 1 这就是我们本章要重点研究的一类方程． 5.1.1 从算式到方程 14 / 22 三个方程的共同点：只含一个未知数，且未知数的次数都是1。由此引出一元一次方程的定义。 14 理解概念 一元一次方程 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是 1，这样的方程叫作一元一次方程． 判断条件： ① 只含有一个未知数（一元） ② 含有未知数的式子都是整式 ③ 未知数的次数都是 1（一次） 5.1.1 从算式到方程 15 / 22 “一元”指一个未知数，“一次”指次数为1。三个条件缺一不可。强调“整式”的要求——分母中不能含有未知数。 15 思 考 下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1) 2＋3＝3＋2 不是方程 不含未知数，不是方程 (2) 8y－9＝9－y 一元一次方程 含一个未知数，次数为1，是一元一次方程 (3) x²＋2x＋1＝4 方程 未知数最高次数为2，不是一元一次方程 5.1.1 从算式到方程 16 / 22 辨析三个易混淆的例子：(1)是等式但不是方程（没有未知数）；(2)是一元一次方程；(3)是方程但不是一元一次方程（二次）。 16 溯 源 用“元”表示未知数，源于我国宋元时期的“天元术”． ◆ 天元术指的是用“天元”表示未知数，进而列出方程． ◆ 现存的使用天元术的最早著作是数学家李冶（1192—1279）于 1248 年所著的《测圆海镜》，书中的“立天元一”相当于现在的“设未知数 x”． ◆ 后来在研究涉及多个未知数的问题时，又引入“地元”“人元”“物元”等表示多个未知数． 李冶（1192—1279） 5.1.1 从算式到方程 17 / 22 天元术是中国古代数学的重要成就。“元”的概念由此而来，一元一次方程中的“元”正是这个意思。增强学生的文化自信。 17 课堂练习 1. 判断 x＝2 和 x＝4 是不是方程 2x－3＝5 的解． 当 x＝2 时，左边＝2×2－3＝1，右边＝5，不相等，x＝2 不是解； 当 x＝4 时，左边＝2×4－3＝5，右边＝5，相等，x＝4 是方程的解． 2. 指出 x＝1，x＝2，x＝3 各是下列哪个方程的解： (1) 3x－3＝2x (2) 0.3x－30＝－9.7－20x (3) x－＝2x－4 x＝1 是方程 (2) 的解；x＝2 是方程 (1) 的解；x＝3 是方程 (1) 的解． 5.1.1 从算式到方程 18 / 22 第1题检验解的基本方法。第2题需要逐一代入检验。让学生独立完成，集体核对答案。 18 课堂小结 回顾本节课所学内容，请回答以下问题： (1) 什么是方程？举例说明方程与等式之间的关系． (2) 从实际问题中列出方程的关键是什么？ (3) 什么是方程的解？怎样检验一个值是否为方程的解？ (4) 什么是一元一次方程？它有哪些特征？ 5.1.1 从算式到方程 19 / 22 用问题形式引导学生回顾。可让学生先同桌互相说，再请代表回答。四个问题分别对应：方程概念、列方程关键、方程的解、一元一次方程。 19 课堂小结 1. 方程的定义 先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程． 2. 方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．求方程的解的过程叫作解方程． 3. 一元一次方程 只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是 1 的方程． 4. 列方程的关键 设未知数，用含未知数的式子表示其他未知量，根据相等关系列出等式． 5.1.1 从算式到方程 20 / 22 四点总结：方程定义、方程的解、一元一次方程、列方程关键。可让学生齐读，加深印象。 20 课后任务 1. 教科书第 118 页，习题 5.1 第 5，6 题； 2. 教科书第 119 页，习题 5.1 第 7，8，9，10 题； 3. 教科书第 146 页，复习题 5 第 1 题； 4. 阅读教科书第 142 页“阅读与思考”． 预习思考：等式有哪些性质？如何利用等式的性质解方程？ （预习下一节内容 5.1.2 等式的性质） 5.1.1 从算式到方程 21 / 22 作业分三部分：列方程练习、解的概念辨析、阅读拓展。预习思考为下节课“等式的性质”做铺垫。 21 5.1.1 从算式到方程 人教版 七年级上册 22 $