第五章 二次函数【章末复习】-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件系统梳理二次函数的概念、图象与性质、解析式求解、函数与方程关系及实际应用五大模块，通过分点解析一般式、顶点式等表达式，平移规律、参数意义等性质，建立知识点间的逻辑联系，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于结合中考考法设计“基础巩固-综合应用-拓展提升”练习，如通过利润最值问题培养模型意识，用判别式判断交点个数发展推理能力，分层题目满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识应用与问题解决能力。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第五章 二次函数 章末复习 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学第五章 二次函数 章末复习专项练习 全章核心知识梳理：第五章二次函数是初中函数体系的重难点，也是中考必考核心内容，整章可分为概念、图象性质、解析式求解、实际应用、函数与方程五大模块。1. 二次函数概念：一般式$$y=ax^2+bx+c(a eq0)$$，自变量最高次数为2，二次项系数不为0，属于整式函数，包含二次项、一次项、常数项。2. 图象与性质：基本抛物线$$y=ax^2$$，通过上下、左右平移可得到$$y=ax^2+c$$、$$y=a(x-h)^2$$、$$y=a(x-h)^2+k$$顶点式。参数a决定开口方向与宽窄，a＞0开口向上、有最小值，a＜0开口向下、有最大值，|a|越大开口越窄；h控制左右平移，k控制上下平移。一般式可通过配方化为顶点式，顶点坐标$$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$$，对称轴为直线$$x=-\dfrac{b}{2a}$$。3. 解析式求解：待定系数法为核心，三点坐标用一般式，顶点、对称轴用顶点式，与x轴两交点用交点式。4. 函数与方程：抛物线与x轴交点横坐标为对应一元二次方程的根，通过判别式Δ判断交点个数。5. 实际应用：利用二次函数最值求解面积、利润最值问题，需结合自变量实际取值范围求解。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（） A. $$y=3x+2$$ B. $$y=2x^2$$ C. $$y=\dfrac{1}{x^2}$$ D. $$y=\sqrt{x^2}$$ 2. 抛物线$$y=-2(x+3)^2-1$$的顶点坐标是（） A. $$(3,-1)$$ B. $$(-3,-1)$$ C. $$(-3,1)$$ D. $$(3,1)$$ 3. 抛物线$$y=x^2-4x+3$$与x轴的交点个数为（） A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 无法确定 4. 固定周长的矩形，面积最大时的形状是（） A. 长方形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 任意四边形 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 二次函数$$y=3x^2-6x+1$$的二次项系数是________，常数项是________。 6. 抛物线$$y=2x^2$$向上平移3个单位，所得解析式为________。 7. 二次函数$$y=-x^2+4x$$的最大值是________。 8. 求解二次函数最大利润问题的核心公式：总利润=________×________。 三、解答题（共56分） 9.（18分）已知二次函数$$y=x^2-4x-5$$，求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，并判断与x轴的交点个数。 10.（18分）已知抛物线顶点为(1,-4)，且经过点(2,-3)，求该二次函数的解析式。 11.（20分）某商品进价20元，售价30元时每日可售100件，每涨价1元，日销量减少5件，求商品的最大日利润及对应售价。 参考答案与详细解析 1. B 解析：A为一次函数，C为分式函数，D为一次函数变形，只有B符合二次函数定义。 2. B 解析：顶点式$$y=a(x-h)^2+k$$，原式可化为$$y=-2(x-(-3))^2-1$$，顶点为$$(-3,-1)$$。 3. A 解析：计算判别式$$\Delta=16-12=4＞0$$，抛物线与x轴有两个不同交点。 4. B 解析：周长固定的矩形，长宽相等时为正方形，此时面积取得最大值。 5. 3；1 解析：二次项系数为x²前的常数，常数项为不含自变量的固定数值。 6. $$y=2x^2+3$$ 解析：抛物线上下平移遵循“上加下减”，向上平移3个单位直接加3。 7. 4 解析：配方得$$y=-(x-2)^2+4$$，开口向下，最大值为4。 8. 单件利润；销售数量 9. 解：a=1＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线$$x=-\dfrac{b}{2a}=2$$；代入得顶点坐标(2,-9)；判别式$$\Delta=16+20=36＞0$$，抛物线与x轴有两个交点。 10. 解：设顶点式$$y=a(x-1)^2-4$$，代入点(2,-3)得：$$-3=a(2-1)^2-4$$，解得a=1。整理解析式：$$y=(x-1)^2-4=x^2-2x-3$$。 11. 解：设涨价x元，总利润为y元。单件利润为(10+x)元，日销量为(100-5x)件。列解析式：$$y=(10+x)(100-5x)=-5x^2+50x+1000$$。a=-5＜0，对称轴x=5，在取值范围内。当x=5时，最大利润y=1125元，对应售价35元。答：售价35元时，每日最大利润为1125元。 （字数：1555） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 知识点1 认识二次函数 二次函数： 概念：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，那么称y是 x 的二次函数。 判断方法：(1)关系式是关于自变量的整式； (2)自变量的最高次数是2； (3)化简后二次项系数不为0。 知识点1 认识二次函数 常见形式： 一般形式：y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)。 (其中，ax²，bx，c分别是二次项、一次项、常数项；a，b分别是二次项系数、一次项系数。) 顶点式：y=a(x -)²+ (a，b，c是常数，a≠0)。 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a，x1，x2是常数，a≠0)。 知识点1 认识二次函数 二次函数自变量的取值范围：全体实数。 在实际问题中，二次函数自变量的取值范围需按实际意义(如长度为正、人数为整数等)限定。 知识点2 二次函数的图象与性质 二次函数y=ax²+bx+c的图象 画法：①描点法 列表：先取原点(0，0)，然后在y轴两侧分别取横坐标互为相反数的两个点，求出其对应的y值，列出表格。 描点：在平面直角坐标系中，分别将所取的点描出来。 连线：按照自变量x由小到大的顺序，把所描各点用光滑的曲线顺次连接起来。 知识点2 二次函数的图象与性质 二次函数y=ax²+bx+c的图象 画法：②平移法 一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x−h)2+k的图象。 平移规律简记为：上加下减，左加右减。 上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减。 二次项系数a不变。 知识点2 二次函数的图象与性质 二次函数y=ax²+bx+c的图象 画法：②平移法 知识点2 二次函数的图象与性质 二次函数y=ax²+bx+c的图象 画法：②平移法 把二次函数y=ax²+bx+c化成y=a(x-h)²+k的形式； 画出二次函数y=ax²的图象； 将二次函数y=ax²的图象平移，使其顶点平移到点(h，k)的位置。 知识点2 二次函数的图象与性质 特征：二次函数y=ax² 二次函数y=ax² a>0 a<0 图象 开口方向 开口大小 对称轴 顶点坐标 |a|越大，抛物线的开口越小； |a|越小，抛物线的开口越大。 y轴(或直线x=0) (0，0) 向上 向下 知识点2 二次函数的图象与性质 二次函数 y=a(x-h)² a>0 a<0 h>0 h<0 h>0 h<0 图象   开口方向 对称轴 顶点坐标 直线x=h (h，0) 向上 向下 特征：二次函数y=a(x-h)² 知识点2 二次函数的图象与性质 二次函数 y=ax²+bx+c a>0 a<0 图象 开口方向 对称轴及顶点坐标 对称轴是直线x= -，顶点坐标是(-，)。 向上 向下 特征：二次函数y=ax²+bx+c 知识点2 二次函数的图象与性质 性质 增减性： 当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。 当a<0时，在对称轴的左侧， y随x的增大而增大；在对称轴的右侧， y随x的增大而减小。 知识点2 二次函数的图象与性质 性质 最值： 当a>0时， y有最小值，当x=-时，且y最小=。 当a<0时， y有最大值，当x=-时，且y最大= 知识点3 二次函数的应用 1.求二次函数表达式--待定系数法。 步骤：(1)设二次函数的表达式； (2)根据图象或已知条件列方程(或方程组)； (3)解方程(或方程组)，求出待定系数； (4)写出二次函数的表达式。 知识点3 二次函数的应用 表达式 类型 函数表达式 适用条件 一般步骤  一般式    顶点式  交点式 (拓展) y=ax²+bx+c y=a(x-h)²+k  y=a(x-x₁)(x-x₂) 已知抛物线上任意三个点的坐标。 已知抛物线与x轴的两个交点的坐标(x₁，0)，(x₂，0)和抛物线上另一个点的坐标。 已知抛物线的顶点坐标(h，k)和抛物线上一点 (非顶点)的坐标。 ①设：根据已知条件，设出合适的二次函数表达式； ②代：把已知点的坐 标代入，得到关于待定系数的方程(组)； ③解：解方程(组)，求出待定系数的值； ④写：写出二次函数的表达式。 1.二次函数与一元二次方程的关系： 一次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根。 知识点4 二次函数与一元二次方程 知识点4 二次函数与一元二次方程 b²-4ac的取值 b²-4ac>0 b²-4ac=0 b²-4ac<0 二 次 函 数 y=ax²+bx+c 的大致图象 a>0 a<0 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴 的交点情况   一元二次方程 ax²+bx+c= 0 的根的情况 有两个交点，分别为 (x₁，0)，(x₂，0) 只有一个交点， 为(-，0) 没有 交点 两个不相等的实数根： x₁、x ₂= 两个相等的实数根x₁=x₂= - 没有 实数根 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点个数和一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况： 1.二次函数与一元二次方程的关系： 一次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根。 一般地，当二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的y取某一定值m时，求自变量x的值，可以解一元二次方程ax²+bx+c=m。 反过来，解方程ax²+bx+c=m又可以看作已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的值为m，求自变量x的值。 知识点4 二次函数与一元二次方程 2.利用二次函数y=ax²+bx+c的图象求一元二次方程ax²+bx+c=0的近似根： (1)作图：作出二次函数y=ax²+bx+c的图象。 (2)定位：确定二次函数的图象与x轴交点的个数，看交点在哪两个整数之间。 (3)列表：在两个整数之间取值，借助计算器用表格的形式求出相应的y值，当x由x₁取到x₂时，对应的y值出现y₁和y₂异号且|y₁|≠|y₂|时，x₁，x₂中必有一个是方程的近似根。 (4)比较：比较|y₁|和|y₂|，若|y₁|<|y₂|，则x₁是方程的近似根；若|y₁|>|y₂|，则x₂是方程的近似根。 知识点4 二次函数与一元二次方程 核心考点巩固 考点1 二次函数的概念 1.下列函数中，一定是 的二次函数的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 20 2.若是关于 的二次函数，则该函数的 最小值为_ ____。 返回 考试考法 21 考点2 二次函数的图象与性质 3.已知二次函数 ，下列说法正确的是( ) C A.函数图象的对称轴为直线 B.函数图象的顶点坐标为 C.函数的最大值是 D.函数的最小值是 返回 考试考法 22 4.二次函数，为常数，且 的图象可能是 ( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 23 5.已知点，， 都在二次函数 的图象上，则，， 按从大到小的 顺序排列正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 24 6.将抛物线 向下平移3个单位长度，再向右平移2个单 位长度，得到的抛物线的函数表达式为，则 的值为____。 12 返回 考试考法 25 考点3 求二次函数的表达式 7.已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函 数的表达式为( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 26 8.若二次函数的图象经过, 两点， 则该二次函数的表达式为________________。 返回 考试考法 27 考点4 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 （第9题） 9.如图，二次函数 的图象与一次函数 的图象在第一象限的交点为，若点 的横 坐标为1，则关于的不等式 的解集 为__________。 返回 考试考法 28 10.已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标 的对应 值如下表： … 0 … … 1 0 … 以下结论：①该抛物线的开口向上；②该抛物线的对称轴为直线 ；③关于的方程的根为， ； ④当时，的取值范围是或 。其中正确的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 返回 考试考法 29 考点5 二次函数的应用 11.[宿迁中考] 一块梯形木板，， ， ，，，按如图方式设计一个矩形桌面 （点在边上）。当 ___时，矩形桌面面积最大。 5 （第11题） 返回 考试考法 30 12. [达州中考] 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴 人故里，某文旅公司推出多款文创产品。已知某款巴小虎吉祥物的成本 价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每 降价1元，每天可以多售出10件。设该款巴小虎吉祥物降价 元。 （1）每天售出的数量是___________件。 考试考法 31 （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每 天的利润是630元？ 解：根据题意可得 ， 整理可得 ， 解得, 。 要让利于游客， 舍去。 该款巴小虎吉祥物降价3元时，文旅公司每天的利润是630元。 考试考法 32 （3）设文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 元，当售价为 多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 解： 。 ， 当时， 取最大值，最大值为640，此时销售价为38元。 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元。 返回 考试考法 33 13.[陕西中考] 某景区大门上半部分的截面示意 图如图所示，顶部，左、右门洞， 均呈 抛物线形，水平横梁，的最高点 到的距离，，关于 所在直 线对称。，，为框架，点，在 上，点，分别在，上，，，。以 为原 点，以所在直线为轴，以所在直线为 轴，建立平面直角坐标系。 考试考法 34 （1）求抛物线 的表达式； 解：， 抛物线的顶点的坐标为 。 设抛物线的表达式为 。 ， 易得， 。 将的坐标代入 ， 得，解得 ， 抛物线的表达式为 。 考试考法 35 （2）已知抛物线的表达式为，，求 的长。 解：由（1）知抛物线的表达式为 ，设 ， ，抛物线的表达式为 ， 考试考法 36 , ,整理，得 , 解得， 。 ，关于 所在直线对称， 。 返回 考试考法 37 思想方法演练 思想1 数形结合思想 14.函数的图象如图所示，关于 的一元二次方程 的根的情况是 ( ) A A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.以上都不对 返回 考试考法 38 思想2 分类讨论思想 15.[济宁期末] 已知二次函数，当时， 的最大值是3，则 的值为_______。 3或 返回 考试考法 39 谢谢观看 THANKS $