山西太原市第五中学校2027届高三9月开学质量检测数学试卷

2027届高三9月开学质量检测 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若复数，则（　　） A. 13 B. C. 5 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 底面半径与高均为1的圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量．若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 6. 若函数的最大值为，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 某新能源实验室迭代优化固态电池快充工艺，电池单次充满所需时长（单位：分钟）与工艺迭代次数的关系式为，定义边际时长缩减量．当时，继续迭代带来的快充提升低于研发成本，应当停止迭代．已知，则满足停止迭代条件的迭代次数至少为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 8. 已知是各项均为正数的无穷数列，记集合，则“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 科研人员测试多组碳化硅功率器件的耐压性能，得到一组实验数据．已知该组数据的平均数为4，方差为3，极差为8，中位数为5．对原始数据进行线性变换，得到一组新数据，，，，．若新数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知均为锐角，且，则（　　） A. B. C. 若，则 D. 的最大值为 11. 在矩形 中， ，将沿折起，使点到达点的位置，得到三棱锥 . 若，则（ ） A. B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 直线与直线所成的角为 D. 平面与平面的夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角的对边分别为，已知，，，边上的中线的长度为______． 13. 抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则实数的值为________． 14. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求角B的大小； （2）若的外接圆半径，求的面积． 16. 已知二项式，其中，且此二项式的项的系数是． （1）求实数a的值； （2）求的值（结果可保留幂的形式）． 17. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）当且时，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，且C过点． （1）求C的方程； （2）直线与C交于A，B两点，过C上的点P（与A，B不重合且不在坐标轴上）作x轴的平行线交线段AB于点Q（与A，B不重合），直线OP的斜率为（O为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线AP，BP的斜率都存在，分别记为，． ①求证：； ②判断是否为定值？并说明理由． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）若在上恒成立，求实数的取值范围． 2027届高三9月开学质量检测 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：如图2，取的中点为，连接，． 因为四边形是矩形，且点为的中点，所以， 且， 又因为，分别为，的中点，所以， 且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） ①因为， 则， 因此， 而，有，即平分， 故直线的斜率互为相反数，则. ②设， 由，得， 因， 设 则有，而， 化简得， 即 ， 于是， 故， 化简得， 又因在椭圆上，则，即则， 从而， 整理得， 又因不在直线上，即， 则得，即，因， 于是，故为定值． 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：等价于． 方法一：令，则． 令，则． 函数在上单调递增，且， 函数在内存在唯一的零点，即． 当时，；当时，， 函数即在上单调递减，在上单调递增， 函数的最小值为， 函数在上单调递增． 当时，； 当时，． 综上，在上恒成立，即在上恒成立． 方法二：令． 当时，． 当时，． 令，则在上单调递增． ， 函数即在上单调递增，， 函数在上单调递增，． 综上，在上恒成立，即在上恒成立 （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $