1.2菱形的性质与判定自主学习同步练习题2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册1.2菱形的性质与判定同步练习，以基础巩固-综合应用-探究拓展分层设计，通过概念辨析、推理计算、动态探究，培养几何直观、推理能力与创新意识，适配新授课知识内化与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|菱形性质（对角线、面积）、判定定理|单选题直接考查概念辨析（如第1题对角线性质），填空题强化基础计算（如第3题面积公式应用），培养抽象能力| |中档层|性质与判定综合应用|结合图形变换（如第2题翻折判定菱形）、几何推理（如第16题探究菱形条件），发展推理意识与空间观念| |综合层|跨知识整合与动态探究|解答题融合坐标系（第10题）、动点问题（第7题面积最小值）及综合探究（第20题数量关系），提升模型意识与创新能力|

2026-2027学年北师大版九年级数学上册1.2菱形的性质与判定 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1.在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,下列结论中不一定正确的是() A.AB=AD B.AC⊥BD C.∠DAC=∠BAC D.AC=BD 2.如图，已知△ABC,AB=AC,将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC 拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是() B D A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相平分的四边形是菱形 3.菱形的面积为12cm2,一条对角线长是4cm,那么菱形的另一条对角线长为() A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 4.如图，菱形ABCD的周长为52，连接AC,过点C作CE⊥AC,交AB的延长线于点 E,则AE的长为() D B A.26 B.20 c.18 D.13 5.如图，在等腰三角形ABC中，CB=CA,将其沿AB折叠使点C与点D重合，延长AB 至点F,DB至点E,∠EBF=55°，则∠C的度数是() A.55° B.70° C.80° D.110° 6.如图，菱形ABCD的边长为10，对角线AC=16,点E、F分别是边CD、BC的中点连 接EF并延长与AB的延长线相交于点G,则EG长为() D B G A.13 B.10 c.5 D.12 7.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°.点E、F分别是BC、CD边上的动点，且 BE=CF.若AB=4,则△AEF的面积最小值为() B E A.3 B.23 c.3V3 D.43 二、填空题 8.如图，在口ABCD中，AB=13,AC=10,当BD=时，四边形ABCD是菱形. 9.如图，在菱形ABDC中，∠B=40°，点E在CD上，点A在线段DE的垂直平分线上，则 ∠BAE的度数为 E D 10.如图，在菱形ABCD中，点C在x轴上，点D的坐标为(7,2、点B的坐标为-1,2)， 则点C的坐标为 V 11.如图，按如下操作步骤画出的四边形ABCD:(1)画∠MAN;(2)以点A为圆心， 1个单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D;(3)分别以点B,D为圆心，1个 单位长为半径画弧，两弧交于点C:(4)连接BC,CD,BD.若∠A=42°，则 ∠CBD的大小是 M D N 12.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E在OB上，连接AE,点F为 CD的中点，连接OF,若AE=BE,∠DOF=28°，则∠BAE的度数为一 13.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连OH, 若OA=3,OH=2,则菱形ABCD的面积为一· 14.如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在 一点P,使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为 三、解答题 15.如图，已知△ABC,AB=BC.请用尺规作图法，求作一点D,使得四边形ABCD 为菱形.（保留作图痕迹，不写作法） B 16.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE‖AC,DF‖AB B (1)判断四边形AEDF的形状是_： (2)连接AD,当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由， 17.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,EF垂直平分BD,分别交 AB,BC,BD于点E,F,G,连接DE,DF E B (1)求证：四边形BEDF是菱形 (2)若∠BDE=15°，∠C=45°，DE=2cm,请直接写出四边形BEDF的面积为 18.如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD边于点E,过E作EFCD交 BC边于点F. E D B F (1)求证：四边形CDEF是菱形： (2)若平行四边形ABCD的周长为26，AE=3,∠A=60°，求CE的长 19.如图，在口ABCD中，点O是对角线的交点，且AB=AO,∠OCD=120°. D (1)求∠AOB的度数： (2)过点A作AE⊥OB,垂足为点E,点G、F分别是OA、BC的中点，连接EF、FG,求 证：四边形AEFG是菱形. 20.综合探究：如题1图，在口ABCD中，AB=AD,∠ABC=60°.点E,F分别是边 AC,AB上的动点（不与所在线段端点重合），且满足BF=AE,连接 AC,DE,BE,CF,BE与CF交于点G. D E G G 1图 2图 3图 (1)求证：BE=CF: (2)如2图，当G,E两点在对角线BD上时，若CG=4,求口ABCD的面积： (3)如3图，连接GD,取DG的中点H,连接CH.请探究线段BG,CG与CH之间的数量 关系并说明理由。 参考答案 1.D 解：四边形ABCD是菱形， .AB=AD,AC⊥BD,∠DAC=∠BAC, ,选项A、B、C不合题意： AC=BD不一定成立（仅当菱形为正方形时对角线相等） ∴选项D符合题意 故选：D. 2.B 解：.'将△ABC延底边BC翻折得到△DBC, ∴.AB=BD,AC=CD, .AB=AC, .∴.AB=BD=CD=AC, ∴.四边形ABDC是菱形： 故选B. 3.D 解：设菱形的另一条对角线长为xCm, y 由题意得：2x×4=12, 解得：X=6, 即菱形的另一条对角线长为6cm, 故选：D 4.A 解：，菱形ABCD的周长为52， .AB=BC=52÷4=13 ∴.∠BCA=∠BAC .CE⊥AC .∠BCA+∠BCE=90°，∠CAE+∠E=90° ∴.∠BCE=∠E .∴.BC=BE=13 .∴.AE=AB+BE=26 故选：A. 5.B 解：：'△ABC折叠后得△ABD, .∴.AC=AD,BC=BD, 又.CB=CA, ∴.CB=CA=DB=DA, ∴四边形ADBC是菱形， .AC‖DB,∠DBA=∠CBA」 .'∠ABD=∠EBF, ∴.∠DBC=2∠ABD=2∠EBF=110°， ∴.∠C=180°-∠DBC=180°-110°=70°. 故选：B 6.D 解：如图所示，连接BD交AC于O, D B G ,四边形ABCD是菱形，且边长为10 AGBD,OA-AG-8.BD-20B.ABI CD 在Rt△AOB中，由勾股定理得OB=VAB-AO=6 .BD=12, ,点E、F分别是边CD,BC的中点， ∴，EF是△CBD的中位线， EF‖BD .四边形BDEG是平行四边形， .EG=BD=12, 故选D 7.C 解：·四边形ABCD是菱形，∠BAD=120° .AB=BC,AD=DC,∠B=∠D=60°， :.△ABC、△ADC都是等边三角形， ,AB=AC,∠BAC=∠ACF=60, .∠B=∠ACF, 在△ABE和△ACF中， AB=AC ∠B=∠ACF, BE=CF .△ABE≌△ACFSAS, .AE=AF,∠BAE=∠CAF, :.∠CAE+∠CAF=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°，即∠EAF=60°， :△AEF是等边三角形， ∴.AE=EF, 过点A作AH⊥EF于，如图所示：则EH=PH=号A正，S。=号AH×EF, B AH=号版 Sa-盟AE 4 当AE⊥BC时，AE最小，此时S△AEF最小， 此时BE-2BC=5AB=-2. 在Rt△AEB中，由勾股定理得： AE=VAB-BE=V42-22=231 56渠×293=33. 4 故选：C. 8.24 解：四边形ABCD是菱形， ..OA=OC=-AC=5,OB=OD,AC L BD, .∴.∠AOB=90, ∴0B=VAB2-0A2=V132-5=12 ∴.BD=2OB=24, 故答案为：24. D 0 9.110° 解：四边形ABDC是菱形， ∴，AB=BD,∠BAD=∠BDA, ∠B=40°， ∴.∠BAD=∠BDA=70°=∠ADE, ,点A在线段DE上的垂直平分线上， ..AD=AF, .∴.∠ADE=∠AED=70°， ∴.∠DAE=40°， .∴.∠BAE=∠BAD+∠DAE=110°， 故答案为：110° 10.解：如图，连接AC、BD交于点E,BD交y轴于点F B<E D ,四边形ABCD是菱形， :AC⊥BD,BE=DE=1BD, ·点D的坐标为(7,2)，点B的坐标为(-1,2)， .BF=1,DF=7,BD‖X轴， BD=BF+DF=8,AC‖y轴 :.BE=DE=4,四边形EFOC是平行四边形， ..OC=EF=BE-BF=4-1=3, ,点C在x轴上， ∴点C的坐标为3,0， 故答案为：(3,0) 11.解：由作图知，AB=BC=AD=CD 故四边形ABCD是菱形， 则∠ABC=180-∠A,∠CBD=1】 ABC, 2CBD=2180-∠A=2×(180-42=69 故答案为：69°」 12.解：，四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,AB‖CD .∴.∠COD=90°，∠BDC=∠ABD, :点F为CD的中点， ∴.OF=DF, .∠ODF=∠DOF=28° .∠ABE=∠ODF=28°， .AE=BE, ∴.∠BAE=∠ABE=28°， 故答案为：28° 13.解：四边形ABCD是菱形， ∴.OA=OC,OB=OD,AC⊥BD, DH⊥AB, .∴.∠BHD=90°，OH=2, ∴.BD=2OH=4, .OA=3, ∴.AC=2OA=6, 1 ·菱形ABCD的面积=2 ACXBD- 2×6x4=12. 故答案为12. 14.解：如图，连接DE交AC于点P,连接DB,BP. D ,BE的长度固定， ∴.要使△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小即可. .四边形ABCD是菱形， ∴.AC与BD互相垂直平分， .'PD=P B, ∴.PB+PE的最小长度为DE的长，此时点P与点P重合. :菱形ABCD的周长为8，E为BC的中点，∠DAB=60°， ∴.∠DCB=∠DAB=60°，AB=BC=CD=AD=2, .△BCD是等边三角形， BD=2,BE=号BC=1,DE⊥BC. ..DE=3BE=3, .△PBE的最小周长=DE+BE=V3+1. 故答案为：3+1. 15.如图，点D即为所求. D 解：分别以点A,C为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AC右侧相交，交点即为点D 16.(1)解：.DE‖AC,DF‖AB, ∴.四边形AEDF为平行四边形： (2)解：AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形，理由如下， ‘.四边形AEDF为平行四边形 .AF‖ED,AE‖DF, 当AD平分∠BAC时 ∴.∠EAD=∠FAD :AF‖DE .∠EDA=FAD ∴.∠EAD=∠EDA .ED=EA ∴，四边形AEDF为菱形. 17.(1)证明：，BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBC, .EF垂直平分BD, ..BE=DE,BF=DF, ,∠EBD=∠EDB,∠FBD=∠FDB, .∠EBD=∠BDF,∠EDB=∠DBF, .BE‖DF,DE‖BF ∴.四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE, ∴.四边形BEDF是菱形： (2)解：过点D作DH⊥BC于点H, B ,四边形BEDF是菱形 BF=DF=DE=2, ∴.∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°， .∠DFH=30°，且DH⊥BC, DH-DE-1, DE=BF=2, ∴.菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2, 故答案为：2， 18.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， AD‖BC, EF‖CD ∴四边形CDEF为平行四边形， .CE平分∠BCD, .∠ECB=∠ECD AD‖BC, .∠ECB=∠DEC, ∴.∠ECD=∠DEC, ∴CD=DE, 四边形CDEF是菱形： (2)解：四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,ABCD, ..AE BF, ,四边形CDEF为菱形， :.EF‖CD,CD=CF=DE=EF,CE⊥DF, .AB EF, .四边形AEFB是平行四边形， .AE=BF=3,AB=EF :平行四边形ABCD的周长为26， .AE+DE+CD+CF+BF+AB=6+4CD=26. .CD=5, .∠A=60°， ∴.∠DCF=∠A=60°， ·∠DC0=1∠DCB=30, .CE⊥DF, :.OD=1CD=5 21 :0C=CD-0D=53, :.CE=20G=5V3 19.(1)解：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,AO=OC, .AB=AO, ∴.OC=CD, :∠0CD=120°， ∴.∠C0D=∠CD0=30, .∠AOB=∠COD=30°： (2)证明：.'AB=AO,AE⊥OB, ∴.BE=OE, .∠A0E=30°， ·AE=0A, .点G、F分别是OA、BC的中点， “AG=A0,EF是△BOC的中位线， EF=OC=号OA,EF IAG,. ∴.AG=EF, ∴.四边形AEFG是平行四边形， :AE=AG=号A0, ∴.四边形AEFG是菱形 20.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，AB=AD, ∴.四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC, .∠ABC=60°， .△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠BAC=60, .BF=AE ∴.△ABE≌△BCF SAS, ∴.BE=CF: (2)解：由(1)得，四边形ABCD是菱形，△ABE2△BCF, ∴.BE⊥AC,∠BFC=∠AEB ∴.∠BFC=∠AEB=90°， AB=BC=AC, ∠ACF=3∠AcB=809 .CG=4, CG=2 .CE=VCG2-GE=V42-27=23'AC=2CE=43 BE=VAB-AE=2AEP-AE2=3AE=3×23=6’ ∴.BD=2BE=12, .S口ABCD=AC·BD=×43×12=2493, 2 (3)如图，以BC为边作等边三角形BCW,连接GW,在GW上截取GV=CG, G .∴.∠BCW=∠BWG=60°，BC=CW W 由(1)知，△ABE2△BCF, ∴.∠BCF=∠ABE, ∴.∠BCF+∠CBE=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°， ∴.∠BGF=120°， ∴.∠BGF+∠BWC=180°， ∴.B、W、C、G共圆， ∴.∠CWG=∠CBG,∠CGW=∠CBW=60°， ∴.△CGV是等边三角形， .∴.CG=CV,∠CVG=60°， .∴.∠CW=180°-∠CVG=120°， ∴.∠CVW=∠BGC, ∴.△BCG≌△BCV AAS, ∴.WW=BG: .∴.GW=GV+WV=BG+CG, .四边形ABCD是菱形， .∴.BG=CD,∠BCD=180°-∠ABC=120°， .∠BCW+∠ACD=180°，CD=CW, ∴.D、C、W共线， ,H是DG的中点， .∴.GW=2CH .∴.BG+CG=2CH