1.2 菱形的性质与判定 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册数学1.2菱形的性质与判定同步练习，新授课使用，含选择(10)、填空(6)、解答(5)题，分层梯度清晰，从基础性质到综合探究，适配新授课知识巩固与思维提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|菱形性质（边、角、对角线）、判定定理|选择1-4直接考查边长、角度计算，夯实概念理解，体现几何直观| |中档|性质应用与简单综合|填空11-13结合中点、动点，解答17基础综合，培养推理能力与运算能力| |提升|复杂综合与探究|解答18-21涉及折叠、旋转及动态问题，如21题等边三角形与菱形结合，发展创新意识与模型意识|

1.2菱形的性质与判定同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题（本大题共10小题） 1．如图，在菱形中，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形 中，对角线 与 交于点 ， ，垂足为 ，若  ，则 的大小为（      ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，对角线，相交于点，点，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，其他条件不变，则四边形为菱形 C. 四边形是菱形 D. 4．如图，在菱形中，于点，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 5．如图，已知菱形 的一个内角  ，对角线 ， 相交于点 ，点 在 上，且 ，则 的度数为（      ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D．2 7．如图，的对角线相交于点，添加下列条件后，仍不能证明是菱形的是（ ） （第3题图） A. B. C. D. 8．如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（    ）． A． B．3 C． D．4 10．如图，在菱形中，，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，作直线与交于点，如果点为线段上一动点，那么的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 二、填空题（本大题共6小题） 11．如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点.过点分别作于点，于点.连接，在点运动过程中，的最小值等于____. 12．菱形中，点是边的中点，交直线于点.若，，则菱形的边长为________________. 13．如图，菱形 的边长为10，对角线 ， ， 为 上两个动点，且 ，则 的最小值为      . 14．如图1，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接，设的长为，，如图2是点从点运动到点时，随变化的关系图象． （1）______； （2）图象最低点的纵坐标是______． 15．如图，菱形的边长为，，点在边上，，点、在对角线上，，连接、，则的最小值是______． 16．如图，已知菱形的边长为4，，点P是图中线段上一点，且，连接，则的长为______． 三、解答题（本大题共5小题） 17．(本题满分10分)如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(6，0)，点P在射线OB上，过点P作x轴的平行线分别交直线OC，AB于点D，E，点F从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA-AB向终点B运动，连接PF.点C(m，n)的横、纵坐标分别是方程x2-6x+8=0的两根(m<n).请解答下列问题: (1)求点B的坐标; (2)当P是BO中点时，设点F的横坐标为t，△OPF的面积为S，求S与t的关系式; (3)在平面内是否存在点M，使以D，E，F，M为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点M的坐标;若不存在，请说明理由. 18．学习平行四边形后，某数学兴趣小组对有一个内角为的平行四边形的折叠问题展开研究，过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，并说明理由； 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，如图②．求证：四边形是平行四边形； 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 19．在中，，为的中点．将以点为中心顺时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，与的交点为． （1）如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，当点恰好落在边上时， ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，．    （1）如图1，请直接写出点A的坐标，并求出直线的解析式． （2）如图2，直线是线段的垂直平分线，垂足为点D，且交y轴于点C，连接，若点P是直线上的一动点，当点P使得时，请求出符合条件的点P坐标． （3）在（2）的条件下，若点P在直线上且在第三象限内，在平面内是否存在其它点Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21．(本题满分10分)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是直线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边三角形APE(点A,P,E按逆时针方向排列),点E的位置随点P的位置变化而变化. (1)如图①,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,则BP与CE的数量关系是　　　　　;BC与CE的位置关系是　　　　　; (2)如图②,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由; (3)当点P在直线BD上时,其他条件不变,连接BE.若AB=2,BE=2,请直接写出△APE的面积. 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B B D D D D A A B 11．7.8 12．或 13． 14．6； 15． 16．3或或 17．(1)由x2-6x+8=0，得x1=2，x2=4. ∵m<n， ∴m=2，n=4. ……1分 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=BC=6. ∴B(8，4); ……2分 (2)∵P是BO中点， ∴P(4，2). 当点F在AO边上时，S==2t， 当点F在AB边上时，BF=6+2-2t，S=S△FOB=6×× =6+-t. 综上:S= ……4分 (3)点M的坐标是(4，4)或，0或，0. ……3分 18．解：四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形； [探究证明]： 证明：如图： 将沿翻折得到， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； [探究提升]： 解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ， ， ， 设，则， ， 为中点， ，， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ∴， ， ， ， ； 当四边形是菱形时，延长交于，如图： 设，则， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． 19．（1）解：四边形为菱形，理由如下： ， ， 根据旋转的性质可得，， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， 为的中点， ， ∴平行四边形为菱形； （2）解：①，理由如下： 如图，连接， 根据旋转可得，， ，为的中点， ， ，即 根据（1）中可得， ， ，， ，为的中点， ， ，即， ， ， ； ②如图，过点作于点， ， ， 根据三角形面积公式可得， ， 根据勾股定理可得， ， ． 20．（1）当时，，即， ∴， ∴， ∴由图可知， 将代入中，有， 解得：， 则直线的解析式； （2）∵直线是线段的垂直平分线，垂足为点D， ∴点D为线段的中点， ∵，， ∴， 将代入中，有， 解得：， ∴直线的解析式， 当时，，即， ∵，，， ∴，同理：，， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点P是直线上的一动点，直线的解析式， ∴设，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为或者； （3）在（2）中已得：直线的解析式， 设， ∵点P在直线上且在第三象限内， ∴， ∵，， ∴， ∵点P在直线上且在第三象限内， ∴为钝角， ∴点A、C、P、Q为顶点构成的菱形为菱形， ∴， ∴， 解得：（正值舍去）， ∴， ∵在菱形中，将向上平移线段长的距离即可得到线段， ∴． 21．解:(1)BP=CE;BC⊥CE; (2)(1)中的结论仍然成立. 理由:如图②,连接AC,设CE与AD交于点H. ∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°, ∴易得△ABC和△ACD都是等边三角形,∠ABD=30°. ∴AB=AC,∠BAD=120°,∠BAP=120°-∠DAP. ∵△APE是等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°. ∴∠CAE=60°+60°-∠DAP=120°-∠DAP. ∴∠BAP=∠CAE.∴△ABP≌△ACE. ∴BP=CE,∠ABD=∠ACE=30°.∴∠DCE=30°. ∵∠ADC=60°,∴∠DCE+∠ADC=90°. ∴∠CHD=90°.∴CE⊥AD． ∵AD//BC,∴CE⊥BC． ∴(1)中的结论仍然成立. (3)△AEP的面积为7或31. 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $