广东省汕头市澄海区2026-2027学年八年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 立足八年级上册三角形核心内容，结合抗战阅兵等时代情境与分层设计，通过基础巩固、能力提升到创新应用的梯度题目，考查推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形稳定性、三边关系、全等图形|第8题结合抗战阅兵考全等图形，体现数学眼光| |填空题|6/18|全等性质、角平分线、多边形内角和|第13题五边形内角和计算，强化推理意识| |解答题|9/66|全等证明、等腰三角形、一线三垂直模型|24题以“一线三垂直”探究线段关系，突出应用意识|

2026-2027广东省汕头市澄海区八年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其运用的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．三角形的内角和等于180° D．三角形的稳定性 2．（3分）已知一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的第三边长可以是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．8cm 3．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝6，AC＝10，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（3分）已知正多边形的一个内角为150°，则这个多边形是（　　） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 5．（3分）如图，连接AC，AD，BD，BE，CE，若∠B+∠C+∠D+∠E＝2∠A+60°，则∠A的度数为（　　） A．30° B．36° C．40° D．45° 6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 7．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（3分）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，AC，AD分别为△ABE的中线和高，AC＝AE，AD＝5，DE＝2，则△ABE面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 10．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，点B，E在AD上，△ABC≌△DEF，若AD＝8，BE＝5，则AE的长是　 　 ． 12．（3分）如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠1+∠2＝64°，则∠A的度数为　 　 ． 13．（3分）如图所示，由五个点组成的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　 度． 14．（3分）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝30°，∠ACB＝40°，则∠DCE的度数为 　 　 ． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，当∠A＝58°时，∠BOC＝　 　 ． 16．（3分）如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高线，两条高线相交于点H，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BE于点F．若AD＝BD，则下列结论：①∠CAD＝∠CBE；②△AED≌△BFD；③∠CDE＝45°；④∠EHD＝∠BFD，其中正确的是　 　 （只填写序号）． 三．解答题（共3小题，满分12分） 17．（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个内角的度数． （2）一个多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数． 18．（6分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是高，它们相交于点O． （1）若∠AOE＝60°，求∠ABE的度数； （2）若∠BAD＝35°，∠CBE＝α，用含α的式子表示∠ADC． 19．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是BC边上一点，连接AC，AE，AB＝AC，AC平分∠BCD，∠BAC＝∠EAD，求证：△ABE≌△ACD． 四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 　 　 °，∠AED＝ 　 　 °． （2）若DC＝2，试说用△ABD≌△DCE． 21．（8分）如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）若BD＝8，ED＝10，求AD的长． 22．（8分）如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF． （1）求证：CD＝BE； （2）若AB＝9，试求BF的长． 五．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分） 23．（10分）如图，在等边△ABC中，点D为BC边上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE并延长，交AD的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）过点D作DG∥AC交AB于点G，连接EG交AD于点H，求证：GH＝DF． （3）若AF＝a，EF＝b，则CE的长为 　 　 （用含a，b的式子表示）． 24．（10分）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索： （1）如图1，△ABC、△ADB和△ACE都是直角三角形，其中AC＝AB，且直角顶点都在直线l上，探索AD、BD、DE之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作直线AE，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＝12，DE＝7，请直接写出△ACE的面积 　 　 ； （3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，且点E在BC上，连接BD，试猜想线段AB与线段BD的位置关系，并证明你的结论． 25．（10分）在△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，BD⊥BC交CA延长线于点D，求证：AD＝AB； （2）如图2，点E在线段BC上（不和B、C重合），DE⊥BC交CA延长线于点D，交AB于点F，求证：AD＝AF； （3）如图3，当∠BAC＝90°时，过点B作BD⊥BA，点D在边BA的上方，连接AD，点F是边BC上一点，ED⊥AD交AF的延长线于点E，若∠DAE＝45°，BD＝2，AB＝6，求AF的长． 2026-2027广东省汕头市澄海区八年级（上）第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其运用的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．三角形的内角和等于180° D．三角形的稳定性 【分析】根据三角形具有稳定性，即可得到答案． 【解答】解：生活中把自行车的几根梁做成三角形的支架，其运用的数学知识是三角形具有稳定性． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形具有稳定性． 2．（3分）已知一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的第三边长可以是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．8cm 【分析】根据已知两边长2cm和5cm，求出第三边的取值范围，再判断选项是否在该范围内． 【解答】解：∵三角形的两边长分别为2cm和5cm， ∴根据三角形的三边关系，第三边x需满足：5﹣2＜x＜5+2， 解得3＜x＜7． 综上所述，只有C在3和7之间，满足条件． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的三边关系，关键掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3．（3分）如图，AD是△ABC的中线，AB＝6，AC＝10，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据中线的定义可得BD＝CD，再根据三角形的周长计算方法列式求解即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长为AB+AD+BD，△ACD的周长为AC+AD+CD， ∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝AC﹣AB＝10﹣6＝4． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的周长计算，中线的定义，熟练掌握中线的定义是解题的关键． 4．（3分）已知正多边形的一个内角为150°，则这个多边形是（　　） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 【分析】根据正多边形的性质和已知条件求出它的一个外角，再根据正多边形的外角和是360°，列出算式进行计算即可． 【解答】解：∵正多边形的一个内角为150°， ∴与这个内角相邻的外角为：180°﹣150°＝30°， ∵正多边形的每个内角都相等， ∴正多边形的每个外角都相等，都为30°， ∵正多边形的外角和为360°， ∴正多边形的本数为：360°÷30°＝12， ∴这个正多边形是正十二边形， 故选：D． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的性质． 5．（3分）如图，连接AC，AD，BD，BE，CE，若∠B+∠C+∠D+∠E＝2∠A+60°，则∠A的度数为（　　） A．30° B．36° C．40° D．45° 【分析】由三角形的外角性质得到∠AFG＝∠C+∠E，∠AGF＝∠B+∠D，由三角形内角和定理推出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，得到∠A+2∠A+60°＝180°，即可求出∠A的度数． 【解答】解：由三角形的外角性质得到：∠AFG＝∠C+∠E，∠AGF＝∠B+∠D， ∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°， ∵∠B+∠C+∠D+∠E＝2∠A+60°， ∴∠A+2∠A+60°＝180°， ∴∠A＝40°． 故选：C． 【点评】本题考查三角的外角性质，三角形内角和定理，关键是由以上知识点得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°． 6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】根据SSS 证明三角形全等即可． 【解答】解：在△ODC和△O′D′C′中， ， ∴△ODC≌△O′C′D′（SSS）， ∴∠AOB＝∠A′O′B′． 故选：A． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息． 7．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形内角和以及角平分线的定义得∠PAB+∠PBA＝45°，继而得出∠APB的度数，即可判断①；推出∠APB＝∠FPB，根据ASA证明即可，即可判断②；证明△PAH≌△PFD（ASA），得AH＝FD，∠AHP＝∠FDP，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA， ∴，， ∴， ∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣45°＝135°，故结论①正确； ∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝180°﹣135°＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPA＝∠FPD＝90°， ∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA），故结论②正确； ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF， ∴∠PAH＝∠PFD， 在△PAH和△P F D中， ， ∴△PAH≌△PFD（ASA）， ∴AH＝FD，∠AHP＝∠FDP， ∵∠FDP是△ABD的外角， ∴∠FDP＞∠ABC， ∴∠AHP＞∠ABC，故结论③错误； 又∵AH＝FD，AB＝FB， ∴AB＝FB＝FD+BD＝AH+BD， 即AH+BD＝AB，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 8．（3分）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据全等图形的定义：大小一样，形状相同的两个图形称为全等图形，求解即可． 【解答】解：D中大小一样，形状相同，符合题意；A、B、C中形状相同，但大小不同，不符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了全等图形的定义，解题的关键是掌握全等图形的定义． 9．（3分）如图，AC，AD分别为△ABE的中线和高，AC＝AE，AD＝5，DE＝2，则△ABE面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【分析】根据三角形的面积公式求得即可求解． 【解答】解：∵AC＝AE，AD是高线，根据“三线合一”的性质，CD＝CE＝2， ∵AC是中线， ∴C是BE中点， ∴BC＝CE＝4， ∴BE＝8 ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的高与中线的定义与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【分析】过P点作PE⊥OB于E点，如图，先根据角平分线的性质得到PE＝PC＝3，然后利用三角形面积公式求解． 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，点B，E在AD上，△ABC≌△DEF，若AD＝8，BE＝5，则AE的长是　1.5　 ． 【分析】由△ABC≌△DEF得AB＝DE，进而可得AE＝BD，利用线段的和差即可求解． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE， ∴AB﹣BE＝DE﹣BE， ∴AE＝BD， ∵AD＝8，BE＝5， ∴AE+BD＝8﹣5＝3， ∴AE＝1.5． 故答案为：1.5． 【点评】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 12．（3分）如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠1+∠2＝64°，则∠A的度数为　52°　 ． 【分析】由角平分线的定义得出∠1∠ABC，∠2∠ACB，求出∠ABC+∠ACB＝128°，再由三角形内角和定理即可得出结果． 【解答】解：∵BD和CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠1∠ABC，∠2∠ACB， ∴∠1+∠2（∠ABC+∠ACB）＝64°， ∴∠ABC+∠ACB＝2×64°＝128°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣128°＝52°， 故答案为：52°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 13．（3分）如图所示，由五个点组成的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　180　 度． 【分析】连接BD、BE，分别在△ABE、△BCD、△BDE中，利用三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：连接BD、BE， ∵（∠A+∠ABC+∠C+∠CDE+∠AED）+∠DEB+∠CBE+∠BDE+∠ABC+∠ABD＝360°， 在△BDE中，∠DEB+∠BDE+∠CBE+∠ABC+∠ABD＝180°， ∴∠A+∠ABC+∠C+∠CDE+∠AED＝180°， 故答案为：180． 【点评】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是正确作出辅助线． 14．（3分）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝30°，∠ACB＝40°，则∠DCE的度数为 　110°　 ． 【分析】由全等三角形的对应角相等推出∠E＝∠ACB＝40°，由三角形内角和定理即可求出∠DCE的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴∠E＝∠ACB＝40°， ∵∠D＝30°， ∴∠DCE＝180°﹣∠D﹣∠E＝110°． 故答案为：110°． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，当∠A＝58°时，∠BOC＝　119°　 ． 【分析】由∠A＝58°，根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB＝122°，因为∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，所以∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝61°，则∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝119°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝58°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝122°， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝61°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝119°， 故答案为：119°． 【点评】此题重点考查角平分线的定义、三角形的内角和等于180°等知识，正确理解和应用三角形内角和定理是解题的关键． 16．（3分）如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高线，两条高线相交于点H，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BE于点F．若AD＝BD，则下列结论：①∠CAD＝∠CBE；②△AED≌△BFD；③∠CDE＝45°；④∠EHD＝∠BFD，其中正确的是　①②　 （只填写序号）． 【分析】由余角的性质可证∠CAD＝∠CBE，故①正确；由ASA可证△AED≌△BFD，故②正确；由等腰直角三角形的性质可求∠DEF＝∠DFE＝45°，由外角的性质可判断∠DHF＞∠DEF，∠BFD≠∠DHE，故③④错误． 【解答】解：∵AD，BE分别是边BC，AC上的高线， ∴∠ADB＝∠AEB＝90°， ∴∠C+∠CBE＝90°＝∠C+∠CAD， ∴∠CAD＝∠CBE，故①正确； ∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝∠BDA＝90°， ∴∠ADE＝∠BDF， 又∵AD＝BD， ∴△AED≌△BFD（ASA），故②正确； ∴DE＝DF， 又∵DF⊥DE， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， ∴∠CDE＝∠DEF+∠DBE≠45°，∠DHF＞∠DEF，故③错误； ∴∠BFD≠∠DHE，故④错误； 故答案为：①②． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握三角形的判定方法是解题的关键． 三．解答题（共3小题，满分12分） 17．（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个内角的度数． （2）一个多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数． 【分析】（1）设三个内角的度数分别为x，2x，3x，利用三角形内角和得到x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，然后计算2x和3x即可； （2）设这个多边形的边数为n，利用多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝1800°，然后解关于n的方程即可． 【解答】解：（1）∵三角形三个内角的度数比为1：2：3， ∴设三个内角的度数分别为x，2x，3x， ∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°， ∴2x＝60°，3x＝90°， 即这个三角形三个内角的度数分别为30°，60°，90°； （2）设这个多边形的边数为n， 根据题意得（n﹣2）×180°＝1800°， 解得n＝12， ∴这个多边形的边数为12． 【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360°． 18．（6分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是高，它们相交于点O． （1）若∠AOE＝60°，求∠ABE的度数； （2）若∠BAD＝35°，∠CBE＝α，用含α的式子表示∠ADC． 【分析】（1）利用BE是高，可得∠BEA＝90°，求出∠DAE＝30°，再根据角平分线的定义求出∠BAE，即可求出∠ABE的度数； （2）求解∠CAD＝35°，∠C＝90°﹣α，可得∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝55°+α即可． 【解答】解：（1）∵BE是高， ∴∠BEA＝90°， 又∵∠AOE＝60°， ∴∠DAE＝90°﹣∠AOE＝30°， ∴∠BAE＝2∠DAE＝60°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝30° ∴∠ABE的度数为30°． （2）∵∠BAD＝35°， ∴∠CAD＝35°， ∵∠BEC＝90°， ∵∠CBE＝α， ∴∠C＝90°﹣α， ∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝55°+α． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形的内角和为180°是解题的关键． 19．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是BC边上一点，连接AC，AE，AB＝AC，AC平分∠BCD，∠BAC＝∠EAD，求证：△ABE≌△ACD． 【分析】先利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠B＝∠ACD，再证明∠BAE＝∠CAD，然后根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD． 【解答】证明：∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠ACD， ∵∠BAC＝∠EAD， 即∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAD， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 　25　 °，∠AED＝ 　65　 °． （2）若DC＝2，试说用△ABD≌△DCE． 【分析】（1）根据角的和差关系可求出∠EDC，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠B＝40°，再利用三角形外角性质即可求出∠AED； （2）由三角形外角性质可得∠BAD＝∠CDE，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，进而由ASA即可证明△ABD≌△DCE． 【解答】（1）解：由题意可知：∠EDC＝180°﹣40°﹣115°＝25°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝40°， ∴∠AED＝∠EDC+∠C＝25°+40°＝65°， 故答案为：25，65； （2）证明：∵∠B+∠BAD＝∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵AB＝AC＝2＝DC， ∴∠B＝∠C，AB＝DC， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（ASA）． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 21．（8分）如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）若BD＝8，ED＝10，求AD的长． 【分析】（1）根据SAS证明△ACE≌△BCD即可； （2）根据等腰直角三角形的性质求出∠CAB＝∠CBD＝45°，根据全等三角形的性质求出∠EAC＝∠CBD＝45°，AE＝BD＝8，证明∠EAD＝90°，利用勾股定理即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，EC＝DC， ∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACE+∠ACD＝90°，∠DCB+∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）； （2）解：∵△ACB是等腰直角三角形， ∴∠CAB＝∠CBD＝45°， ∵△ACE≌△BCD， ∴∠EAC＝∠CBD＝45°，AE＝BD＝8， ∴∠EAB＝∠EAC+∠CAB＝90°， 在Rt△AED中，ED＝10，AE＝8， ∴AD6． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找确定进行全等的条件，属于中考常考题型． 22．（8分）如图，等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE⊥AC交BC于点F，且DF＝EF． （1）求证：CD＝BE； （2）若AB＝9，试求BF的长． 【分析】（1）作DM∥AB，交CB于M，得△CDM为等边三角形，再证△DMF≌△EBF（AAS），最后根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，即可得出结论； （2）根据DE⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC，可得∠E＝BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°，由此得出CM＝MF＝BF，最后根据AB＝9即可求得BF的长． 【解答】（1）证明：如图，作DM∥AB，交CB于M，则∠DMF＝∠EBF． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠A＝∠B＝60°， ∴∠A＝∠CDM＝∠ABC＝∠CMD＝60°， ∴△CDM是等边三角形， ∴CD＝DM， 在△DMF和△EBF中， ， ∴△DMF≌△EBF（AAS）． ∴DM＝BE， ∴CD＝BE． （2）解：∵DE⊥AC，∠A＝60°＝∠ABC， ∴∠E＝BFE＝∠DFM＝∠FDM＝30°， ∴BE＝BF，DM＝FM， 由（1）知△DMF≌△EBF（AAS）， ∴MF＝BF， ∴CM＝MF＝BF， 又∵AB＝BC＝9， ∴CM＝MF＝BF＝3． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质和性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作平行线，构造等边三角形和全等三角形，根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质进行求解． 五．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分） 23．（10分）如图，在等边△ABC中，点D为BC边上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE并延长，交AD的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）过点D作DG∥AC交AB于点G，连接EG交AD于点H，求证：GH＝DF． （3）若AF＝a，EF＝b，则CE的长为 a﹣2b （用含a，b的式子表示）． 【分析】（1）证出∠AEC＝∠ACE．设∠BAD＝∠EAD＝α，则∠EAC＝60°﹣2α，由三角形外角的性质可得答案； （2）连接DE．证明△BGD是等边三角形，得出∠AGD＝120°，BG＝BD，证明△AGH≌△CDF（ASA），由全等三角形的性质得出GH＝DF； （3）过点A作AM⊥CF 于点M，证出∠FAM＝30°，得出FMAFa，求出EM，则可得出答案． 【解答】（1）解：由题意，AE＝AB＝AC，∠BAD＝∠EAD， ∴∠AEC＝∠ACE． 设∠BAD＝∠EAD＝α，则∠EAC＝60°﹣2α， ∴∠AEC＝∠ACE＝60°+α， ∵∠AEC＝∠F+∠EAD， ∴∠F＝60°； （2）证明：连接DE． ∵∠B＝∠F＝60°，∠ADB＝∠CDF， ∴∠GAH＝∠DCF． ∵DG∥AC， ∴∠GDB＝∠ACB＝60° ∴△BGD是等边三角形， ∴∠AGD＝120°，BG＝BD， ∴AG＝CD． ∵∠AED＝∠B＝60°， ∴∠GDE＝180°﹣∠BAE＝180°﹣2α ∵DE＝BD＝DG， ∴∠DGE＝∠DEG＝α， ∴∠AGH＝120°﹣α＝∠ADB＝∠CDF， ∴△AGH≌△CDF（ASA）， ∴GH＝DF； （3）解：如图，过点A作AM⊥CF 于点M， ∵AB＝AE＝AC，AM⊥CE， ∴CM＝EM， ∵∠F＝60°， ∴∠FAM＝30°， ∴FMAFa， ∴EM＝FM﹣EFa﹣b， ∴CE＝2EM＝a﹣2b． 故答案为：a﹣2b． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，\含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 24．（10分）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索： （1）如图1，△ABC、△ADB和△ACE都是直角三角形，其中AC＝AB，且直角顶点都在直线l上，探索AD、BD、DE之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作直线AE，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＝12，DE＝7，请直接写出△ACE的面积 　30　 ； （3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，且点E在BC上，连接BD，试猜想线段AB与线段BD的位置关系，并证明你的结论． 【分析】（1）证明△AEC和△BDA全等得AE＝BD，进而得AD+BD＝AD+AE＝DE，由此即可得出AD、BD、DE之间的数量关系； （2）证明△BDA和△AEC全等得BD＝AE，AD＝CD，再根据BD＝12，DE＝7得BD＝AE＝12，EC＝5，再根据三角形的面积公式即可得出△ACE的面积； （3）在CA上截取CF＝CE，连接EF，证明△CDF是等腰直角三角形得∠AFE＝135°，证明△AFE和△EBD全等得∠AFD＝∠EBD＝135°，进而得∠ABD＝90°，由此即可得出线段AB与线段BD的位置关系． 【解答】解：（1）AD、BD、DE之间的数量关系是：AD+BD＝DE，证明如下： 如图1所示： ∵△ABC是直角三角形，且AC＝AB， ∴∠BAC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵△ADB和△ACE都是直角三角形，且直角顶点都在直线l上， ∴∠AEC＝∠BDA＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠2＝∠3， 在△AEC和△BDA中， ， ∴△AEC≌△BDA（AAS）， ∴AE＝BD， ∴AD+BD＝AD+AE＝DE； （2）如图2所示： 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠1+∠2＝90°， ∵BD⊥AE，CE⊥AE， ∴∠BDA＝∠E＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠3＝∠1， 在△BDA和△AEC中， ， ∴△BDA≌△AEC（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∵DE＝AE﹣AD＝BD﹣EC， ∵BD＝12，DE＝7， ∴BD＝AE＝12，7＝12﹣EC， ∴EC＝12﹣7＝5， ∴△ACE的面积为：CE•AE5×12＝30， 故答案为：30； （3）线段AB与线段BD的位置关系是：AB⊥BD，证明如下： 在CA上截取CF＝CE，连接EF，如图3所示： ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°， ∴AC＝BC，∠ABC＝45°，AE＝DE，∠1+∠AEC＝90°，∠2+∠AEC＝90°， ∴∠1＝∠2， ∵CF＝CE，∠ACB＝90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠3＝45°， ∴∠AFE＝180°﹣∠3＝135°， ∵AC﹣CF＝BC﹣CE， ∴AF＝EB， 在△AFE和△EBD中， ， ∴△AFE≌△EBD（SAS）， ∴∠AFE＝∠EBD＝135°， ∴∠ABD＝∠EBD﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°， ∴AB⊥BD． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 25．（10分）在△ABC中，AB＝AC． （1）如图1，BD⊥BC交CA延长线于点D，求证：AD＝AB； （2）如图2，点E在线段BC上（不和B、C重合），DE⊥BC交CA延长线于点D，交AB于点F，求证：AD＝AF； （3）如图3，当∠BAC＝90°时，过点B作BD⊥BA，点D在边BA的上方，连接AD，点F是边BC上一点，ED⊥AD交AF的延长线于点E，若∠DAE＝45°，BD＝2，AB＝6，求AF的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，求得∠DBC＝90°，根据余角的性质得到∠D＝∠ABD，求得AD＝AB； （2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据余角的性质得到∠D＝∠BFE，求得∠D＝∠DFA，得到AD＝AF； （3）过E作EH⊥DB交DB的延长线于H，延长EH交BC于点G，根据垂直的定义得到∠ABD＝90°，根据勾股定理得到AD2，AE4，根据全等三角形的性质得到EH＝BD＝2，DH＝AB＝6，求得BH＝DH﹣DB＝4，得到EG＝6＝AB，根据平行线的性质得到∠BAF＝∠FEG，根据全等三角形的性质得到AF＝EFAE＝2． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD⊥BC， ∴∠DBC＝90°， ∴∠D+∠C＝∠ABD+∠ABC＝90°， ∴∠D＝∠ABD， ∴AD＝AB； （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠BFE+∠B＝90°，∠D+∠C＝90°， ∴∠D＝∠BFE， ∵∠BFE＝∠FDA， ∴∠D＝∠DFA， ∴AD＝AF； （3）解：过E作EH⊥DB交DB的延长线于H，延长EH交BC于点G， ∵BD⊥BA， ∴∠ABD＝90°， ∵BD＝2，AB＝6， ∴AD2， ∵ED⊥AD， ∴∠ADE＝90°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠AED＝180°﹣∠ADB﹣∠DAE＝45°＝∠DAE， ∴AD＝DE＝2， ∴AE4， ∵∠ADE＝∠ABD＝∠DHE＝90°， ∴∠ADB+∠EDH＝∠ADB+∠DAB＝90°， ∴∠DAB＝∠EDH， ∴△ADB≌△DEH（AAS）， ∴EH＝BD＝2，DH＝AB＝6， ∴BH＝DH﹣DB＝4， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵∠ABD＝90°， ∴∠GBH＝45°， ∴∠GBH＝∠BGH＝45°， ∴BH＝HG＝4， ∴EG＝6＝AB， ∵∠ABD＝∠BHG＝90°， ∴AB∥EG， ∴∠BAF＝∠FEG， ∵∠AFB＝∠EFG， ∴△ABF≌△EGF（AAS）， ∴AF＝EFAE＝2． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/6 21:26:03；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $