精品解析：云南省昆明市第一中学2027届高三第一次月考数学试题

昆明市第一中学2027届高三第一次月考 数学试题 命题：张远雄 王在方 蔺书琴 李露 何鉴贤 杨思盈 审题：杨昆华 彭力 李文清 孙思应 张远雄 杨思盈 总分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的含义即可得到答案. 【详解】，根据交集的含义则. 故选：D. 2. 复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法、除法运算可得，继而可得. 【详解】复数，所以． 选：B． 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量相减的坐标表示，得到的坐标表示，再使用公式计算模长即可. 【详解】. 故选：A． 4. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高求出即可； 【详解】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径，高， 侧面积， 故选：D. 5. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用完全平方公式、二倍角公式、同角三角函数平方关系及由三角函数值判断角的范围可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 故选：A. 6. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，的解析式证明，均为偶函数，故交点只能在轴上，即，由此即可解出的值. 【详解】函数，的定义域都是，定义域都关于原点对称， 又，， 所以，均为偶函数，故的图象都关于轴对称， 结合对称性可得该交点只能在轴上，可得，所以. 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据当直线与此圆相切时，的值最大，算出此时的，，，利用直角三角形的角的正切公式，算出最大正切值即可. 【详解】因为点是圆上的任意点， 当直线与此圆相切时，的值最大，又，， 则，则. 故选：C． 8. 已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，设函数，则在上递增，判断也是是定义在R上的奇函数，可得在上递增，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】因为对任意的，均有成立，不妨设， 则，所以， 令，则在上递增， 因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数， 所以在上递增， 不等式化为， 因为，所以，即，所以， 则，即：，所以， 或，即：，所以， 所以不等式的解集为， 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质及图象逐项分析即可得解. 【详解】因为，所以，故A错误； 由图象知，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确. 故选：BCD． 10. 函数的图象如图所示， 若的图象与 的图象在 处有公切线，其中 ，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 的图象与 的图象在处的公切线为 【答案】CD 【解析】 【分析】先根据图象可知，进而求出，再根据，，即可求出的值，判断出选项A；根据奇函数定义即可判断选项B；根据的图象与的图象在处有公切线，可得，结合点在曲线上，即可求出，从而判断出选项C；根据选项C所求的值，即可求出斜率和切点坐标，利用点斜式方程求出直线方程，即可判断选项D. 【详解】由图可知，，则，所以， 又，，则，选项A错误； 由选项A可知，，则， 因为，所以不是奇函数，选项B错误； 因为，的图象与的图象在处有公切线， 所以，则，即， 所以或，又，则当时，， 代入，则，所以，选项C正确； 由选项C可得，，切点坐标为， 所以的图象与的图象在处的公切线为， 即，选项D正确. 11. 已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点P是该双曲线在第一象限上的点，且直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 点P横坐标逐渐变大时，逐渐变小 D. 取得最小值时，的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设点P的坐标，再结合斜率公式计算判断A，应用两角和正切公式计算判断B，C，应用基本不等式公式计算结合面积公式计算判断D. 【详解】由题意知，设点P的坐标为，α，，所以，所以，所以A对； 因为，所以无最小值，所以B错， ， 又因为P横坐标逐渐变大时，α也跟着变大，在变小，所以逐渐变小，所以C对， 又当， 当且仅当取得等号，即，即，，，， 所以，所以面积为． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在抛物线C：上，则A到C的焦点的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在抛物线上得出，再应用抛物线定义得出焦半径公式得出距离. 【详解】因为点在抛物线C：上，所以，即， 所以A到C的焦点的距离为． 故答案为：5. 13. 经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点[其中是的根]，是的导数，是的导数．若函数图象的对称中心为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数的运算律及已知多项式函数的对称中心定义计算求参即可. 【详解】因为，所以， 所以， 又的对称中心为，所以，解得， 由，解得． 故答案为：1. 14. 从1，2，3，4，5这5个数中随机抽一个数记为，再从1，2，…，中随机抽一个数记为，则为________． 【答案】 【解析】 【详解】的取值为，2，，4，，且. 当时，的取值为，2，，，且. 根据全期望公式， 先求，当时，的期望， 则 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. （1）求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 50 100 150 200 【解析】 【分析】（1）按“两人费用均为0元、均为50元、均为100元”三类情况分类，利用独立事件概率乘法公式计算每类概率，再求和得到费用相同的概率. （2）先确定随机变量（两人健身费用之和）的所有可能取值，再结合两人不同费用的组合情况，用独立事件概率公式计算各取值的概率，列出分布列后，通过数学期望公式计算. 【小问1详解】 依题意，两人都付0元的概率； 两人都付50元的概率； 两人都付100元的概率， 则甲、乙两人所付的健身费用相同的概率为. 【小问2详解】 由题意知，的所有可能取值为0，50，100，150，200， ， ， 所以的分布列为 0 50 100 150 200 的数学期望（元）. 16. 如图，已知是等边三角形，，，平面ABC点F为AD的中点． （1）求证：平面ABD； （2）求平面ACE与平面ADE夹角的余弦值． 【答案】（1） 取AB的中点O，连接OF，OC． 因为为等边三角形，所以． 又因为平面，平面，得平面平面， 平面平面，平面，所以平面． 又因为，点F为AD中点， 所以且，又，所以，，所以四边形是平行四边形． 所以，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直平面得出平面平面，再应用面面垂直性质定理得出线面垂直结合平行得证； （2）空间向量法求出平面ACE与平面ADE的法向量，再应用面面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面ABD，平面ABD，所以． 又因为，，所以． 以O为坐标原点，分别以OA、OC、OF所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设正的边长为2，则，，，，， ，，， 设平面的法向量为． 则， 不妨令，则，，得平面的法向量为． 设平面的法向量， 则，不妨令，则，， 得平面的法向量为， 所以． 17. 已知数列中，， （1）求； （2）若的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）由（1）得，所以， 所以，所以， ， 因为，所以． 【解析】 【分析】（1）利用累加法可求得； （2）由（1）可得，，利用裂项相消法可求得，可证结论. 【小问1详解】 由题意，， 累加得，，则， 经检验时也成立，所以． 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）求的解析式； （2）若在内有两个零点，求m的取值范围； （3）若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出导数并赋值求出，进而求出解析式. （2）求出及其导数，利用导数研究在上的单调性和最值，列出关于m的不等式组，即可得出答案. （3）利用分离变量法，分类讨论，构造函数，利用导数研究分别在x＜0，x＞0的单调性和最值，即可得出答案. 【小问1详解】 函数，求导得， 则， 解得，所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）得，则， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当，即， 解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立， ①当时，，显然成立，此时； ②当时，恒成立，令， 求导得，而当时，恒成立， 由得；由得，在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取得最小值，则； ③当时， 恒成立，令，此时， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，又， 由零点存在定理得存在，使得，即， 由，得，由，得，在上递增，在上递减， 当时，取得最大值，且，则， 于是实数k的取值范围为，所以整数k的值组成的集合为. 19. 已知曲线上任意一点到直线的距离是该点到点的距离的两倍. （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知A，B，C三点均在上， （i）若直线AC过点，直线BC过点，记直线AC，AB，BC的斜率分别为，，且满足成等差数列，求点的坐标； （ii）若的重心是坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题设点到直线与定点的距离关系列等式，平方化简后得到椭圆标准方程. （2）（i）用点坐标表示，结合等差数列条件，联立直线与椭圆方程求坐标，计算后代入条件解方程得点坐标.（ii）分直线斜率存在与不存在两种情况，利用重心坐标公式、弦长公式和点到直线的距离公式计算面积，最终得面积为. 【小问1详解】 由题意知，设曲线上任意一点的坐标为， 所以，即， 所以曲线的轨迹方程为. 【小问2详解】 （i）设，则， 设 其中， 由，消去，得 ， 则， 从而， 同理可得， 则 ， 由成等差数列，得，即， 解得，或（舍），或（舍）， 相应的，所以点的坐标为. （ii）设， 当直线AB的斜率不存在时，易得，直线AB的方程是， 或，直线AB的方程为. 将代入椭圆方程，可得， 所以的面积. 当直线AB的斜率存在时， 根据重心的性质可得AB的中点， 由两式相减并化简得， 即，， 所以直线AB的方程为， 即. 令，可得直线AB在轴上的截距为，则 将代入椭圆方程可得， 即，则， 所以， 所以， 设坐标原点为，因为是的重心，所以， 所以的面积是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第一中学2027届高三第一次月考 数学试题 命题：张远雄 王在方 蔺书琴 李露 何鉴贤 杨思盈 审题：杨昆华 彭力 李文清 孙思应 张远雄 杨思盈 总分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数的图象如图所示， 若的图象与 的图象在 处有公切线，其中 ，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 的图象与 的图象在处的公切线为 11. 已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点P是该双曲线在第一象限上的点，且直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 点P横坐标逐渐变大时，逐渐变小 D. 取得最小值时，的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在抛物线C：上，则A到C的焦点的距离为______． 13. 经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点[其中是的根]，是的导数，是的导数．若函数图象的对称中心为，则______． 14. 从1，2，3，4，5这5个数中随机抽一个数记为，再从1，2，…，中随机抽一个数记为，则为________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. （1）求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望. 16. 如图，已知是等边三角形，，，平面ABC点F为AD的中点． （1）求证：平面ABD； （2）求平面ACE与平面ADE夹角的余弦值． 17. 已知数列中，， （1）求； （2）若的前项和为，证明：． 18. 已知函数． （1）求的解析式； （2）若在内有两个零点，求m的取值范围； （3）若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 19. 已知曲线上任意一点到直线的距离是该点到点的距离的两倍. （1）求曲线的轨迹方程； （2）已知A，B，C三点均在上， （i）若直线AC过点，直线BC过点，记直线AC，AB，BC的斜率分别为，，且满足成等差数列，求点的坐标； （ii）若的重心是坐标原点，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $