奥数培优第3讲 能被2、5整除的数的特征（讲义）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

小学三年级下册奥数培优讲义★★★★★ 第 3 讲 能被 2、5 整除的数的特征 —— 奇数与偶数 · 奇偶运算 · 乘积末尾的 0 · 组数专题 —— [课程信息表] 项目 内容 讲次 第 3 讲 专题 能被 2、5 整除的数的特征｜奇数与偶数 适用年级 小学三年级下册 · 竞赛入门 · 校内培优 建议课时 1 课时（60 分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 整数与有余数除法；万以内数的读写与比较 核心方法 看个位判断整除；奇偶运算性质；因数 2 与 5 配对求末尾 0；分类枚举组数 [学习目标] 维度 具体目标 知识与技能 掌握能被 2、5 整除的数的个位特征；分清奇数、偶数并记住 0 是偶数；会用奇偶运算性质“不计算”直接判断结果奇偶；能按条件组成被 2、5 整除的数；理解乘积末尾 0 的产生原理，会统计末尾 0 的个数。 过程与方法 经历“观察个位 → 归纳特征 → 验证规律 → 应用解题”的完整学习流程；体会归纳推理思想；学会抓住个位做快速判断，不依赖完整除法。 思维品质 培养观察与归纳能力，提升数感；养成先审题、抓关键条件的习惯（如卡片是否可翻转、数字是否可重复）。 情感与应用 感受数学规律的内在力量，体会“不用计算也能判断”的乐趣；增强严谨审题、规范作答的意识。 [课前导入 · 情景激趣] 同学们，学校要举行体育活动啦！ ① 48 名同学分成两队拔河，要求每队人数同样多，能正好分完吗？ ② 还是这 48 名同学，每 5 人一组玩“老鹰捉小鸡”，能正好分完吗？ 你可能会说：“列个除法算式算一算不就知道了？” 可老师告诉你：根本不用算！只要看 48 的个位数字——个位是 8，所以①能正好分成两队；个位不是 0 或 5，所以②分不完。一眼就能看穿！ 这一讲，我们就来学习“看个位、判整除”的本领，认识奇数和偶数这对“好兄弟”，掌握它们运算的小规律，还能轻松算出大乘积末尾有几个 0！ 一、知识导航 · 六大知识点 知识点 1｜整除的基础概念 一个整数除以一个不为 0 的整数，如果商是整数而且没有余数，我们就说：这个数能被除数整除。 图 1 整除与“除不尽”的对比：商是整数且没有余数 → 能整除 知识点 2｜能被 2 整除的数的特征：偶数与奇数 👉 看个位：个位是 0、2、4、6、8 的数，都能被 2 整除。 👉 偶数：能被 2 整除的整数，如 0、2、4、6、8、10……（0 是偶数！） 👉 奇数：不能被 2 整除的整数，如 1、3、5、7、9、11…… 图 2 判断能否被 2、5 整除，只看个位数字 图 3 按个位把整数分成偶数和奇数两类 知识点 3｜奇偶运算的核心性质 两条重要规律，记住它们，很多题目不用算出完整结果： ① 加减法：算式的结果是奇数还是偶数，只看“奇数的个数”—— 　　奇数有偶数个 → 结果是偶数；奇数有奇数个 → 结果是奇数；偶数不改变结果的奇偶。 ② 乘法：只要乘数中有一个是偶数，乘积一定是偶数；只有全部乘数都是奇数，乘积才是奇数。 运算 结果 偶数 ± 偶数 偶数 奇数 ± 奇数 偶数 偶数 ± 奇数 奇数 奇数 ± 偶数 奇数 偶数 × 偶数 偶数 偶数 × 奇数 偶数 奇数 × 奇数 奇数 知识点 4｜能被 5 整除的数的特征 👉 看个位：个位是 0 或 5 的数，都能被 5 整除。 例如：40、75、120、305、860……个位是 0 或 5，都能被 5 整除。 知识点 5｜乘积末尾 0 的产生规律 一对因数“2 和 5”相乘得到 10，就会在乘积末尾添上 1 个 0。连续自然数相乘时，因数 2 的数量一定多于因数 5 的数量，所以末尾 0 的个数 = 全部因数 5 的总个数。 图 4 末尾 0 的来源：一对 2×5 产 1 个 0，25、50 等含多个因数 5 知识点 6｜解题“四步通关法” 第一步 · 看个位：判断能否被 2、5 整除，只瞧个位数字； 第二步 · 数奇数：加减算式判断奇偶，数清奇数的个数；乘法看有没有偶数因数； 第三步 · 定个位：组数题先固定个位（0 或 5，或被 2 整除时取偶数），再排高位，最高位不能是 0； 第四步 · 数因数 5：求乘积末尾 0，统计全部因数 5，25、50 等多重因数要算多次； ✅ 好习惯：做完代入典型数字验算，核对题目条件（卡片能否翻转、数字能否重复）。 二、易错辨析 ❌ 错误做法 ✅ 正确做法 认为 0 是奇数 0 ÷ 2 = 0 没有余数，0 是偶数 判断整除时看最高位或全部数位 只需看个位数字，一眼判断 加减法判断奇偶时，数所有数字的个数 只数奇数的个数，偶数不影响结果 数末尾 0 时，只数末尾自带 0 的数 要数全部因数 5，25、50 等含多个 5 组数题忽略最高位不能是 0 多位数最高位不可以填数字 0 卡片题忽略特殊条件（如 6 可翻转为 9） 审题！看清卡片能否翻转、数字能否重复 三、典例精讲 · 五道经典例题 例 1｜连续自然数的奇偶计数与求和比较 【题目】 体育课上，同学们从 1 开始依次报数，一直报到 75。报数过程中，一共报了多少个奇数？多少个偶数？奇数之和与偶数之和相比，谁大？大多少？ 【分析】 1～75 一共 75 个数，奇偶是“一奇一偶”交替排列的。可以把它们两两配对，先看每一对里偶数与奇数的大小关系，再处理剩下的那一个数。 【详解】 两两配对：(1,2)、(3,4)、(5,6)……(73,74)，一共 37 对； 每一对里，偶数比奇数大 1，所以 37 对中，偶数之和比奇数之和大 37； 还剩下最后一个数 75，它是奇数，归入奇数。 奇数个数：37 + 1 = 38（个）；偶数个数：37（个）。 奇数之和 − 偶数之和 = 75 − 37 = 38。 （另解：1～75 中奇数 38 个，和 = 38 × 38 = 1444；偶数 37 个，和 = 37 × 38 = 1406；差 = 1444 − 1406 = 38。） 【答】 奇数有 38 个，偶数有 37 个；奇数之和更大，大 38。 【验算】 奇数个数 38 个与偶数个数 37 个合计 75 个，与总人数一致；差 38 来自“剩余奇数 75 减去 37 对中偶数多出的 37”，验证成立。 💡 【方法点睛】 连续自然数奇偶交替，可以两两配对、看每对“谁大 1”，再处理剩余单数；不必把所有数都加起来，更不必硬算出每个和。 例 2｜不计算判断奇偶 + 方框填数 + 乘积奇偶 【题目】 (1) 不计算结果，判断 268 + 77 − 45 的结果是奇数还是偶数？ (2) 要使三位数 63□ 能被 2 整除，□ 里可以填哪些数字？ (3) 判断连乘积 7 × 15 × 4 × 9 的结果是奇数还是偶数？ 【详解】 (1) 算式中只有 77、45 两个奇数，奇数有 2 个（偶数个）。 加法中“奇数个数是偶数 → 结果为偶数”，所以 268 + 77 − 45 的结果是偶数。 (2) 要被 2 整除，个位必须是 0、2、4、6、8。所以 □ 里可以填：0、2、4、6、8。 (3) 乘数 4 是偶数，只要乘数中有一个偶数，乘积一定是偶数。所以 7 × 15 × 4 × 9 的结果是偶数。 【答】 (1) 偶数；(2) □ 可填 0、2、4、6、8；(3) 偶数。 💡 【方法点睛】 加减法判断奇偶，只数奇数的个数（偶数个→偶，奇数个→奇）；乘法只要见到一个偶数，整体乘积必为偶数。 例 3｜多次操作中的奇偶不变规律 【题目】 三张卡片上分别写着 2、5、9。每次操作：任意擦去一张卡片，换上“剩下两张卡片数字之和”写的新卡片。如此操作 60 次后，三张卡片上的数各是什么奇偶性？三个数的乘积是奇数还是偶数？ 【分析】 先观察第一次操作前后奇偶组合是否改变，再判断以后每次操作会不会改变这种“奇偶模式”。 【详解】 初始：2（偶）、5（奇）、9（奇）→ 一偶二奇。 情况① 擦去偶数 2：5 + 9 = 14（偶），新卡片 14（偶）、5（奇）、9（奇）→ 仍是一偶二奇。 情况② 擦去奇数 5：2 + 9 = 11（奇），新卡片 2（偶）、11（奇）、9（奇）→ 仍是一偶二奇。 情况③ 擦去奇数 9：2 + 5 = 7（奇），新卡片 2（偶）、5（奇）、7（奇）→ 仍是一偶二奇。 无论擦去哪一张、操作多少次，“一偶二奇”的奇偶模式都不会改变。 乘积 = 偶数 × 奇数 × 奇数 = 偶数。 【答】 60 次操作后，三张卡片始终是一偶二奇；三个数的乘积一定是偶数。 💡 【方法点睛】这类“反复操作”的题目，重点在于找到不变的奇偶模式，而不是算出具体数字——抓住不变，就能“以不变应万变”。 例 4｜能被 5 整除的组数问题（分类枚举） 【题目】 用数字卡片 2、0、5、6 摆成没有重复数字的三位数，能摆出多少个能被 5 整除的数？请把它们全部写出来。 【分析】 能被 5 整除，个位只能是 0 或 5；同时三位数的百位不能是 0。按“个位是 0”和“个位是 5”两种情况分类枚举。 【详解】 情况① 个位 = 0：百位从 2、5、6 中选，有 3 种；十位在剩下的 2 张卡片中选，有 2 种。 个数 = 3 × 2 = 6（个）：250、520、260、620、560、650。 情况② 个位 = 5：百位只能从 2、6 中选（不能是 0），有 2 种；十位在剩下的 2 张中选，有 2 种。 个数 = 2 × 2 = 4（个）：205、265、605、625。 合计：6 + 4 = 10（个）。 【答】 一共 10 个：250、520、260、620、560、650、205、265、605、625。 【验算】 250÷5=50、520÷5=104、260÷5=52、620÷5=124、560÷5=112、650÷5=130、205÷5=41、265÷5=53、605÷5=121、625÷5=125，全部能整除。 图 5 组数方法：先定个位（0 或 5），再排高位（百位 ≠ 0） 💡 【方法点睛】 组数题先固定个位，再分情况排列高位；最高位不能是 0；注意“没有重复数字”时，每个数字只能用一次。 例 5｜连续相乘，求乘积末尾 0 的个数 【题目】 1 × 2 × 3 × 4 × … × 45，乘积的末尾一共有多少个 0？ 【分析】 一对因数“2 × 5”产生末尾 1 个 0。连续自然数里，因数 2 的数量远多于因数 5，所以只需统计因数 5 的总个数。特别小心：25 = 5 × 5，含有 2 个因数 5。 【详解】 1～45 中含有因数 5 的数：5、10、15、20、25、30、35、40、45，共 9 个。 其中 5、10、15、20、30、35、40、45 各含 1 个因数 5（共 8 个）； 25 = 5 × 5，含有 2 个因数 5。 因数 5 的总个数 = 8 × 1 + 2 = 10（个）。 【答】 1 × 2 × 3 × … × 45 的乘积，末尾一共有 10 个 0。 💡 【方法点睛】 不要只数“末尾带 0 的数”；25、50、125 等多重因数 5 要算多次，逐个标记、别漏数。 四、方法总结表 题型 突破口 核心方法 检验要点 判断能否被 2 整除 看个位 个位 0、2、4、6、8 → 偶数 0 是偶数，不要搞错 判断能否被 5 整除 看个位 个位 0 或 5 → 能被 5 整除 只看个位即可 加减法判断奇偶 数奇数个数 奇数个奇数 → 奇；偶数个 → 偶 偶数不改变结果奇偶 乘法判断奇偶 找偶数因数 有偶数 → 偶；全奇数 → 奇 一个偶数就定结果 组数（被 2/5 整除） 先定个位 定个位后排列高位；百位 ≠ 0 数字不重复；看清卡片 求乘积末尾 0 个数 数因数 5 2 比 5 多，数 5 的个数；25 算 2 个 别漏 25、50 等多重 5 五、解题口诀 · 朗朗上口 判断整除真简单，只需个位看清楚； 能被二除看个位，零二四六八是偶； 能被五除更容易，个位零五就满足； 零是偶数要牢记，别把零当奇数数； 加减奇偶数奇数，奇数个奇结果奇； 乘法见偶即为偶，全奇相乘才出奇； 末尾零来自二五，因数五个数清楚； 组数先定个位数，最高位不能是零！ 六、习题分层训练 🟦 A 组｜基础过关 A1 从 1 写到 60，一共写了多少个奇数？多少个偶数？奇数之和与偶数之和相比，谁大？大多少？ A2 不计算结果，判断下面算式的结果是奇数还是偶数： (1) 46 + 35 − 27　　(2) 25 × 6 + 13 (3) 123 + 456 − 99　　(4) 17 × 19 × 21 (5) 88 − 35 + 46 🟧 B 组｜能力提升 B3 用数字卡片 1、0、8、5 摆成没有重复数字的三位数，能摆出多少个能被 5 整除的数？ B4 三个连续偶数的和是 48，这三个偶数分别是多少？ 🟥 C 组｜挑战冲刺 C5 1 × 2 × 3 × … × 60 的乘积，末尾一共有多少个 0？ C6 用 0、1、2、3 四张数字卡片，组成没有重复数字的两位数。 (1) 能被 2 整除的有多少个？ (2) 能被 5 整除的有多少个？ (3) 能被 10 整除的有多少个？ 七、参考答案与详细解析 🟦 A 组 参考答案 A1　奇数有 30 个，偶数有 30 个；偶数之和更大，大 30。 【解析】 1～60 共 60 个数，奇偶各占一半：奇数 30 个、偶数 30 个。 两两配对 (1,2)、(3,4)……(59,60)，正好 30 对，每一对中偶数比奇数大 1， 所以偶数之和比奇数之和大 30。 A2　(1) 偶数　(2) 奇数　(3) 偶数　(4) 奇数　(5) 奇数 【解析】 (1) 46、35、27 中奇数有 2 个（偶数个）→ 偶数； (2) 25×6 见偶即偶，偶 + 13（奇）→ 奇数； (3) 123、456、99 中奇数有 2 个 → 偶数； (4) 全为奇数 → 奇数；(5) 88、35、46 中奇数只有 1 个 → 奇数。 🟧 B 组 参考答案 B3　能摆出 10 个能被 5 整除的三位数。 【解析】 个位 = 0：百位从 1、8、5 中选（3 种），十位在剩下 2 张中选（2 种），得 3×2=6 个：180、150、810、850、510、580； 个位 = 5：百位从 1、8 中选（不能是 0，2 种），十位在剩下 2 张中选（2 种）， 得 2×2=4 个：105、185、805、815。合计 6 + 4 = 10 个。 B4　这三个偶数分别是 14、16、18。 【解析】 三个连续偶数的和是 48，中间的偶数 = 48 ÷ 3 = 16，所以三个数是 14、16、18。 验证：14 + 16 + 18 = 48。 🟥 C 组 参考答案 C5　乘积末尾一共有 14 个 0。 【解析】 1～60 中含有因数 5 的数：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60，共 12 个。其中 25 = 5×5 含 2 个因数 5，50 = 5×5×2 也含 2 个因数 5，其余 10 个各含 1 个。因数 5 总数 = 10 × 1 + 2 + 2 = 14（个），所以末尾有 14 个 0。 C6　(1) 能被 2 整除的有 5 个；(2) 能被 5 整除的有 3 个；(3) 能被 10 整除的有 3 个。 【解析】 两位数，十位不能是 0。 (1) 个位是 0 或 2 能被 2 整除：个位 0 → 十位 1、2、3（3 个：10、20、30）；个位 2 → 十位 1、3（2 个：12、32），共 5 个。 (2) 能被 5 整除，个位必须是 0：10、20、30，共 3 个。 (3) 能被 10 整除，个位必须是 0：10、20、30，共 3 个。 八、本讲小结 · 一页回顾 ✦ 整除：商是整数且没有余数；0 能被任何自然数整除，0 是偶数。 ✦ 被 2 整除：看个位 0、2、4、6、8 → 偶数；个位 1、3、5、7、9 → 奇数。 ✦ 被 5 整除：看个位 0 或 5。 ✦ 奇偶运算：加减看奇数个数（偶数个→偶，奇数个→奇）；乘法见偶即偶，全奇才奇。 ✦ 末尾 0：一对（2×5）产 1 个 0；统计因数 5 总个数，注意 25、50 含 2 个因数 5。 ✦ 组数：先定个位，再排高位，最高位不能是 0；看清卡片能否翻转、数字能否重复。 ✦ 好习惯：做完代入典型数字验算，确保结论正确。 九、易错警示 ⚠️ 易错警示 常见错误 正确做法 ❌ 把 0 当成奇数 ✅ 0 ÷ 2 = 0 没有余数，0 是偶数 ❌ 判断被 2、5 整除时看全部数位或首位 ✅ 只看个位数字，一眼判断 ❌ 加减法判断奇偶时，数所有数字的个数 ✅ 只数奇数的个数，偶数不影响 ❌ 求末尾 0 只数末尾自带 0 的数 ✅ 数全部因数 5；25、50 等含多个 5，要算多次 ❌ 组数题忽略百位（最高位）不能是 0 ✅ 多位数最高位不可以填数字 0 ❌ 卡片题没看到“可翻转”条件直接做题 ✅ 审题划关键词，看清卡片规则 十、学习建议 🧠 学习建议 ✓ 记住：被 2、5 整除只看个位，这是本讲最核心的规律； ✓ 奇偶判断不要硬算大数，利用性质推理，又快又准； ✓ 组数题先把满足条件的个位全部列出，再排列剩余数字； ✓ 数末尾 0 时逐个标记含有因数 5 的数，重点标注 25、50，防止少算； ✓ 做完例题与习题，拿小数字代入验证结论是否成立； ✓ 区分“数字”和“卡片”：卡片题要看清楚能否翻转、数字能否重复。 ✨ 抓住个位巧判整除，掌握奇偶运算规律——很多题目不用完整计算就能得到答案！✨ 🎉 祝贺你完成本讲的学习，我们下一讲再见！ 学科网（北京）股份有限公司 $