26.3二次函数与一元二次方程同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学“二次函数与一元二次方程”同步练，按“基础题-中档题-综合题”分层，覆盖核心知识点，通过概念理解、综合应用、拓展探究三阶路径巩固知识，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|抛物线与x轴交点、判别式、代数式符号|单知识点直接应用，如由图象求方程解，强化概念理解| |中档题|数形结合、方程与函数转化|综合多知识点，如利用函数图象解不等式，提升推理能力| |综合题|抛物线平移与直线交点、实际问题|复杂情境应用，如歼击机飞行高度问题，发展模型意识|

26.3二次函数与一元二次方程 第 1课时 二次函数与一元二次方程 基础题 知识点1 抛物线与x轴的公共点坐标与对应的一元二次方程的根之间的关系 1.一元二次方程 的根为 ，故抛物线 与x轴的公共点坐标为 . 2.已知二次函数 c的图象如图所示，利用图象回答： (1)方程 0 的解是 . (2)方程 5 的解是 . (3)方程 -4的解是 (4)方程 的根的情况怎样? 知识点 2 抛物线与 x轴的公共点个数与对应的一元二次方程的根的判别式之间的关系 3.抛物线 与x轴的公共点个数是 . 4.若抛物线 (c是常数)与x轴有且仅有一个公共点，则c 的值是 . 5.若抛物线 (c是常数)与x轴没有交点，则c 的取值范围是 . 6.若抛物线 与x轴有两个公共点，则m 的取值范围是 . 7.已知二次函数 mx+m-1(m为常数). (1)若点(2,-1)在该函数图象上,则m= . (2)求证：该二次函数的图象与 x轴有两个不同的公共点. 知识点3 由二次函数的图象确定代数式的符号 8.二次函数 的图象如图所示，下列结论:①a<0;②b<0;③c<0; 其中正确的是 .(填序号) 知识点4 将二次函数问题转化为一元二次方程问题 9.自由落体运动是物体只在重力作用下由静止开始下落的运动，地球上物体自由下落的距离h(m)与下落的时间t(s)之间的近似关系是 h=4.9t².我们知道，同一物体，在月球上所受的重力大约是在地球上所受重力的，因此，月球上物体自由下落的距离h(m)与下落的时间t(s)之间的近似关系是 分别求出当物体自由下落 10 m时，在地球上和月球上所需要的时间.(结果保留根号) 易错点1 忽视抛物线与 y轴的交点 10.(1)抛物线 与坐标轴的公共点个数为 . (2)一条抛物线与坐标轴有两个交点，则该抛物线的解析式可能为 .(填一个即可) 易错点2 漏掉函数是一次函数的情况 11.若函数 6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ) A. k<3 B. k<3且k≠0 C. k≤3 D. k≤3且 k≠0 中档题 12.著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.”如图所示的是二次函数 的图象，那么无论x为何值，函数值 y恒为正的条件是 ( ) A. a>0 B. a<0 C. a>4 D.0<a<4 13.若抛物线 与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为( ) A. k>-1 B.k≥-1 C. k>-1且k≠0 D.k≥-1且k≠0 14.二次函数y= )的图象如图所示.若关于x 的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 . 15.如图所示的是二次函数y= 的图象，下列代数式的值为负数的是 (写出所有正确结果的序号). 16.在某年阅兵中，某歼击机编队飞越天安门上空时，其飞行高度h(米)与时间t(秒)的关系可用二次函数h= 描述.其中t=0表示歼击机开始进入观测区域的时刻. (1)若歼击机在高度到达 372 米时需要进行信号切换，则歼击机在哪个时刻需要进行信号切换? (2)在观测区域内，歼击机飞行高度能否达到510 米?如果能，需要多长时间?如果不能，请说明理由. 综合题 17.如图，抛物线 与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C₁，将 C₁向左平移得到 C₂，C₂与x轴交于点B,D.若直线 y=x+k与C₁,C₂共有 3个不同的交点，则k的取值范围是( ) B.-5≤k<-1 C.-9≤k<-5 第2课时 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 基础题 知识点1 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 1.根据抛物线 与 x轴的交点坐标，可以求出下列哪个方程的近似根 ( ) A. B. C. D. 2.根据下列表格中二次函数 0)的自变量x与函数值y 的对应值，可以判断关于x的方程 的一个解x的范围是 ( ) x 0.5 1 1.1 1.2 1.3 -8.75 -2 -0.59 0.84 2.29 A.1.2<x<1.3 B.1.1<x<1.2 C.1<x<1.1 D.0.5<x<1 3.如图所示的是二次函数 的图象，图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),则方程 的一个解可能是 ( ) A.2.18 B.2.68 C.-0.51 D.2.45 知识点2 二次函数与不等式 4.二次函数 的图象如图所示，则当函数值 y<0时，自变量x的取值范围是( ) A. x<-1 B. x>2 C.-1<x<2 D. x<-1或x>2 【拓展提问】当函数值 y≥0时，自变量x的取值范围是 ， 5.由下列表格的对应值，并根据二次函数 的图象的对称性，由此可以判断方程 正数解的分布范围是 ( ) x -1.3 -1.2 -1.1 -1 -0.9 4x-7 1.58 0.68 -0.18 -1 -1.78 A.3<x<3.1 B.3.1<x<3.2 C.3.2<x<3.3 D.3.3<x<3.4 6.问题提出：我们已经学习了一元二次方程、二次函数，能否利用所学知识来求一元二次不等式的解集? 例如，解一元二次不等式： 解：根据不等式特征构造二次函数 5x. 当y=0时，可得方程 解得 则抛物线 与x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0). 画出二次函数 的大致图象(如图1所示). 由图象可知，当x<0或x>5时函数图象位于 x轴上方，此时y>0，即 所以一元二次不等式 的解集为x<0或x>5. (1)仿照上面的解题方法解一元二次不等式： (2)二次函数 的图象如图 2 所示，根据图象回答下列问题： 若不等式 无实数根，则k的取值范围为 . (3)若一元二次不等式 的解集为全体实数，则a 的取值范围为 小专题5 用待定系数法求二次函数的解析式 练基础 1.根据下列条件解答问题： (1)若二次函数 的图象经过点(3，22)，则该二次函数的解析式为 (2)二次函数 的图象与x 轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值 y如下表： x -1 0 1 2 3 4 y 0 -3 -4 -3 0 5 则二次函数的解析式为 . (3)若抛物线的对称轴为直线x=2，最小值为-1，且与 y轴的交点坐标为(0，3)，则该抛物线的解析式为 (4)若抛物线 与抛物线 的形状相同，且经过点 A(1，0)，则它的解析式为 . (5)如图，这是二次函数 的图象，其中 OA=OC，则该二次函数的解析式为 . 2.已知抛物线 (1)先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为 (2)关于x轴对称的抛物线的解析式为 (3)关于 y轴对称的抛物线的解析式为 练考点 3.如图，抛物线 3与 y轴交于点C，与x轴交于A,B两点,OB=OC=3OA，则该抛物线的解析式是 . 4.已知抛物线 2x过点(4,0),顶点为 Q,请求出 a 的值和点Q 的坐标. 5.如图,在2×2 网格(每个小正方形的边长为1)中，有A，O，B，C，D,E,F,H,G九个格点.抛物线 L 的解析式为 (1)若 L 经过点O(0,0)和 B(1,0),则 b= ，c= ；它还经过的另一格点的坐标为 . (2)若L 经过点H(-1,1)和G(0,1),求它的解析式及顶点坐标，并通过计算说明点D(1,2)是否在 L 上. (3)若L 经过这九个格点中的三个，直接写出满足条件的抛物线的条数. 小专题6 二次函数的图象与字母系数之间的关系 针对训练 1.已知二次函数 c(a≠0)的图象如图所示，则( ) A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 2.二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=2，且图象经过点(6，0)，则下列结论错误的是 ( ) A.bc>0 B.4a+b=0 C.若 且. 则 D.若(-1,y₁),(3,y₂)两点都在抛物线 y=的图象上，则 3.如图所示的抛物线 y= 对称轴为直线x=1，且经过点(-1，0)，嘉嘉和淇淇作出如下判断： 嘉嘉:3a+c>0; 淇淇：若m是实数，则 对于两人的判断，下列说法正确的是 ( ) A.两人都对 B.两人都不对 C.嘉嘉对 D.淇淇对 4.已知抛物线：y= 经过点(m,0)(m<0),且4a+2b+c=0.有下列四个结论:①c<0;②3a+b>0;③若方程 有两个不相等的实数根，且其中一个根小于m，则m<-3;④若-2<m<0,且抛物线过点(0，-2),则 其中正确的结论是 (填序号). 26.3二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程 2.解: (4)方程 无实数根. 3.2 4.1 6. m>1 7.解:(1)2 (2)证明:当y=0时, +1>0.∴△>0.∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点. 8.①③④ 9.解:当h=10时,在地球上:10=4.9t²,解得 负值舍去).在月球上:10=0.8t²,解得 (负值舍去).答：在地球上需要的时间约为 月球上需要的时间约为 10.(1)3 (2)y=x²-2x(答案不唯一) 11. C 12. C 13. C 14.m≥-2 15.①②⑤ 16.解:(1)当h=372时,即 解得 答：歼击机在第2秒和第18秒时需要进行信号切换.(2)不能.理由：令h=510,则 整理，得 ∴方程无实数根.∴在观测区域内，歼击机飞行高度不能达到510米. 17. D 第2课时 利用函数图象求一元二次方程根的近似值 1. A 2. B 3. D 4. C【拓展提问】 x≤-1或x≥2 5. B 6.解：(1)构造二次函数. 令 解得 抛物线 与x轴交点坐标为(-1,0)和(3,0).画出二次函数 的大致图象(图3略).由图象可知，当x<-1或x>3时函数图象位于x轴上方，此时y>0，即 ∴一元二次不等式 的解集为x<-1或x>3.(2)k≥2(3)2<a<6 小专题5 用待定系数法求二次函数的解析式 1.(1)y=x²+4x+1 (2)y=x²-2x-3 (3)y=(x-2)²-1 (4)y= 2.(1)y=-(x-4)²(或 (3)y= 4.解：∵抛物线 过点(4,0),∴16a-8=0,解得 ∴抛物线C的解析式为 ∴Q(2,-2). 5.解:(1)-0.5 0 (-1,1) (2)∵L经过点 H(-1,1)和G(0,1), 解得 ∴抛物线的解析式为 1.∴当x=1时, ∴点 D(1,2)在抛物线L上.(3)4条. 小专题6 二次函数的图象与字母系数之间的关系 针对训练 1. C 2. D 3. D 4.①②④ 学科网（北京）股份有限公司 $