湖南省益阳市2027届高三9月教学质量监测数学试题

益阳市2027届高三9月教学质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷共4页，19小题，满分150分．考试时量120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置．请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足：，则 A．-1 B．-i C．1 D．i 3．已知等差数列满足：，，则 A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 4．已知，则 A． B． C． D． 5．在中，，，，为边的6等分点（，2，3，4，5），则 A．4 B．5 C．8 D．10 6．已知，，则 A．若，则 B．若，则 C．若A，B互斥，则 D．若A，B互斥，则 7．已知，则关于实数x，y，z的下列结论中不可能成立的是 A． B． C． D． 8．已知抛物线C：的焦点为，直线交于P，Q两点，点的坐标为，则下列结论正确的是 A．若上的点满足，则 B．上有且仅有两个点满足 C．若直线过点，取得最大值，则的面积等于16 D．为坐标原点，若，取得最小值，则点到的距离为8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知函数（，，）的部分图象如下图所示，根据图中信息可知下列结论正确的是 A． B． C． D． 10．已知函数，则 A．函数在上单调递减 B．曲线在处的切线是 C．函数的最小值是 D．函数有且只有两个零点 11．如图，在矩形中，，，B为的中点，现分别沿，将，翻折，使点E，F重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则 A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的体积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线C：的一条渐近线方程是，则的离心率是________． 13．一个数阵有行6列，第一行中的6个数互不相同，其余行都由这6个数以不同的顺序组成．如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的值最大可取________．（用数字作答）． 14．已知平行四边形，点为边的一点，且，点是射线上一动点，又数列满足，恒有，记的前项和为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某银行储蓄卡的密码由6位数字组成，在该银行自助取款机上取款时，若密码输入正确，则可成功取款，若密码连续输错3次，则不能继续输密码，取款失败．甲利用储蓄卡在该银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就成功取款的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，记表示取钱时输密码的次数，求随机变量的分布列和数学期望． 16．（本小题满分15分） 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 17．（本小题满分15分） 如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，M是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． （1）求点的轨迹的方程； （2）设不过原点的直线l：与交于P、Q两点，直线、的斜率分别为、，满足． ①当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由； ②求面积的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数，，． （1）求的最大值； （2）对任意实数x，恒成立，求实数的最大值； （3）若，且，其中，．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三9月 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．D 3．A 4．D 5．B 6．B 7．C 8．C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．ABD 10．BC 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．720 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 解：（1）设“第次成功取款”（，2），则事件“不超过2次就成功取款”可表示为． 则． 5分 （2）根据题意，可能的取值为1，2，3．记“最后1位密码为偶数”， ，， ， 所以的分布列为 1 2 3 11分 故随机变量的期望． 13分 16．（本小题满分15分） 解：（1）由已知得．又 所以，． 2分 又，所以，． 4分 因为，所以，．又，所以，． 6分 （2）由及得：． 9分 所以， ． 13分 在中，当时，取得最大值1． 所以，面积的最大值是． 15分 17．（本小题满分15分） 解：（1）因为，，所以，．在直三棱柱中，有底面侧面，所以平面．在平面内过点作直线，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系． 2分 则，，，，． 所以，，．设为平面的一个法向量， 则得可取． 5分 又．因为，所以． 又平面．所以平面． 7分 （2）由（1）可知，，． 设是平面的一个法向量， 则得可取． 由（1）可知，平面的一个法向量是． 10分 所以，． 13分 所以，二面角的正弦值是 ． 15分 18．（本小题满分17分） 解：（1）由题设条件可得，， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为4的椭圆． 2分 又，，，所以． 故点的轨迹的方程为． 4分 （2）①当变化时，是定值，定值为． 5分 证明如下：设，，由，得， 当时， 有，……（*）． 7分 因为直线、的斜率依次为、， 所以． ……（**）． 9分 由（*），（**）解得，经验证成立，所以结论成立． 11分 ②， 14分 令，得． 所以，面积的取值范围为． 17分 19．（本小题满分17分） 解：（1）由题意知，，令，则． 2分 当时，，单调递增，当时，，单调递减，则． 4分 （2），，． 5分 ，令，则． 6分 当时，，单调递增，当时，，单调递减，则．，即． ． 9分 （3）由（2）知，所以．不妨设，， 因为，综合（1）知， 综合（2）知． 10分 所以要证，则只需证． ，，， 由，及，，在上单调递增，可得．同理可得，即，． 所以只需证． 13分 即证．又， ，将此式乘以上式知只需证． 15分 记，则，所以在上单调递增，而，成立，所以原不等式成立． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $