29.2.1　垂直于弦的直径 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦“垂直于弦的直径”核心知识点，以赵州桥主桥拱半径问题导入，引导学生从圆的对称性探索垂径定理，通过例题解析与课堂训练，构建“问题情境-性质探究-实际应用”的学习支架。 此资料亮点在于生活情境贯穿教学，赵州桥和“圆材埋壁”问题培养数学眼光与应用意识，探究中构造直角三角形结合勾股定理，发展几何直观与推理能力，为教师提供清晰教学流程，助力学生提升解决实际问题的能力。

29.2.1 垂直于弦的直径 教学目标 1.探索圆的对称性,进而得到垂直于弦的直径所具有的性质. 2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关的实际问题. 3.通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力,观察、分析、逻辑推理能力和归纳概括能力. 重点难点 重点:垂直于弦的直径所具有的性质以及证明. 难点:利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题. 教学过程 情景导入 问题:你知道赵州桥吗?它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗? 探究新知 探究点一 垂径定理的运用 【例1】如图,AB是 O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE的长为( ) A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm 【解析】∵弦CD⊥AB于点E,CD=8cm, ∴CE=CD=4cm. 在Rt OCE中,OC=5cm,CE=4cm, ∴OE==3cm, ∴AE=AO+OE=5+3=8(cm). 【答案】A 【方法总结】在圆中涉及弦长、半径、弦心距的计算的问题时,常作“过圆心的直线”这一辅助线,把半弦长、半径、弦心距转移到一个直角三角形中,然后通过直角三角形中的勾股定理求解. 探究点二 垂径定理在实际生活中的应用 【例2】“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问:径几何?”答曰:“26寸.”题目用现在的数学语言表达:“如图所示,CD是 O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸,AB=10寸.求直径CD的长.”根据题意,解答问题. 【解析】连接OA,构造Rt AOE,利用勾股定理及垂径定理解答. 【解】设直径CD的长为2x寸,则半径OC=x寸. ∵CD为 O的直径,弦AB⊥CD于点E,AB=10寸, ∴AE=BE=AB= 10=5(寸). 连接OA,则OA=x寸,根据勾股定理,得x2=52+(x-1)2,解得x=13,∴CD=2x=2 13=26(寸). 【方法总结】运用垂径定理解题时的模型(建模思想):如图,设 O的半径是r,圆心到弦的距离是d,弦长是a,三者之间的关系是r2=d2+. 常见的辅助线:(1)连半径,构造直角三角形;(2)作弦心距,构造直角三角形. 课堂训练 1.在 O中,已知半径为5,弦AB的长为8,则圆心O到AB的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示.若油面宽AB=600mm,求油面到油槽内最低点的深度. 板书设计 29.2.1 垂直于弦的直径 1.圆的对称性: 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 2.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 图形语言: 几何语言:∵CD⊥AA',CD是直径,∴AM=MA',=,=. 3.推出的结论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 4.常用方法: 在圆中解决有关弦或半径的问题时,需要做垂直于弦的直径或弦心距,把垂径定理和勾股定理相结合,得到半径r,弦心距d,弦长a之间的关系:r2=d2+. 课堂小结 本节课我们感受圆的对称性,体会圆的性质,通过经历探索圆的对称性及相关性质的过程,会利用垂直于弦的直径的性质解决相关的实际问题. 教学反思 通过比较熟悉的赵州桥作为背景引入新课,让学生体会数学在生活中的应用,然后通过剪圆和折叠圆的操作,调动学生的积极性,活跃课堂气氛.同时,在学生操作、分析、归纳的基础上,引导学生归纳垂直于弦的直径的性质时应注意全等图形或等腰三角形知识的复习和应用.对于垂径定理的实际应用问题,要让学生知道,首先应该根据实物图画出几何图形,还原出数学真面目,然后利用垂径定理的相关知识解决实际问题. 答案 课堂训练 1.A 2.解:如图,过点O作OD⊥AB交AB于点D,交于点F,连接OA. ∵AB=600mm,∴AD=300mm. ∵底面直径为650mm, ∴OA= 650=325(mm), ∴OD===125(mm), ∴DF=OF-OD= 650-125=200(mm). 故油面到油槽内最低点的深度为200mm. 学科网(北京)股份有限公司 $