精品解析：辽宁沈阳市第七中学2026-2027学年九年级上学期数学练习卷

数学练习卷 （满分：100分，时间：50分） 一．选择题：（共20小题，每小题3分，共60分） 1. 地铁是一个城市流动的文化名片，其标志设计常融合城市特色与几何美学．下列不同城市的地铁标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断，利用排除法求解． 【详解】解：．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意. 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式，不是乘积形式，不是因式分解； B、，等式右边是差的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解； D、，不是整式，等式右边不是整式乘积，不是因式分解． 3. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，若，则的长为 （ ）． A. 12 B. 6 C. 3 D. 1.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质可得，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵点E，F分别是，的中点，若， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线和平行四边形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半，平行四边形对角线互相平分． 4. 分式的值为0，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件为分母不为零，分子为零． 5. 若，则下列不等式一定成立的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据不等式的基本性质逐一判断各选项，不等式基本性质为：不等式两边加(或减)同一个整式，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：∵根据不等式性质1，两边同时减1，不等号方向不变 ∴，A错误． ∵，两边同时乘，不等号方向改变 ∴，B错误． ∵，两边同时乘正数，不等号方向不变 ∴，C正确． ∵，两边同时除以正数，不等号方向不变 ∴，D错误． 6. 如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，掌握以上知识，角度的计算是关键． 根据正方形，等边三角形的性质得到，结合角度的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 7. 在直角坐标系中，已知的顶点，，，将平移得到，点、、分别对应、、，若点，则点的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的平移规律，求出点的坐标即可． 【详解】解：向右平移2个单位，向下平移1个单位得到， 右平移2个单位，向下平移1个单位得到， 故选：C． 【点睛】本题考查平移变换，坐标与图形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，，根据三角形内角和及等边对等角求出，可知，即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，得出关于k的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故选：C． 10. 如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，此时恰为等边三角形，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形性质结合折叠推出，利用全等三角形的性质，为等边三角形，对顶角相等以及等角对等边推出，再利用勾股定理求出等边三角形的高，最后用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， 由折叠得，，， ，， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 如图，过点作，垂足为，则点为的中点， ， 在中，由勾股定理得，， ，解得或（舍去）， ． 11. 某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种株，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设原计划每小时种x株，实际每小时比原计划多种20株，根据提前1小时完成任务．列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设原计划每小时种x株，则实际每小时种株， 根据题意得， 故选：D． 12. 如图，在等腰中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据月平均增长率分别表示出2月、3月的用电量，再结合第一季度总电量为三个月用电量之和列方程，进而得到正确选项． 【详解】解：∵设月平均增长率为，已知1月用电量为 亿千瓦时， ∴2月用电量为 亿千瓦时， ∴3月用电量为亿千瓦时， ∵第一季度总用电量为 亿千瓦时，是三个月用电量的和， ∴可得方程． 14. 下列说法正确的是（ ） A. 正方形是轴对称图形也是中心对称图形 B. 菱形的四个内角都是直角 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项，正方形沿对边中点连线、对角线折叠可与自身重合，绕中心旋转也可与自身重合，是轴对称图形也是中心对称图形，故A选项符合题意； B选项，菱形对角相等、邻角互补，四个内角不一定是直角，故B选项不符合题意； C选项，矩形对角线相等且互相平分，但不一定互相垂直，仅正方形这类特殊矩形满足对角线垂直，故C选项不符合题意； D选项，平行四边形对角线互相平分，不一定相等，故D选项不符合题意． 15. 如图，已知矩形的对角线，相交于点，，点是矩形对角线上一点，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形性质及判定为等边三角形，求出及、的长，再通过角度计算证明为等腰三角形，从而求出的长，最后利用求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 16. 如图网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（网格线的交点称格点），在这个7×7的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（ ） A. 2 个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】利用格点的性质和三角形的面积公式即可得． 【详解】由格点的性质和三角形的面积公式得，总共有6个满足条件的格点C，如图所示：（格点C均在平行于AB的直线上） 其中，由点与点分别构成的5个三角形的面积显然是3 的面积为 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的实际应用，理解题意，结合格点的性质是解题关键． 17. 如图，直线与分别交轴于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线交点与不等式的解集，理解图示，掌握直线交点与不等式的性质是解题的关键． 根据直线的交点的特点，不等式的性质，数形结合即可求解． 【详解】解：直线与分别交轴于点， 不等式， ∴与异号， ∴当时，与异号，符合题意； 当，与同号，不符合题意； 当时，与异号，符合题意； ∴解集为或， 故选：D ． 18. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此本题考查了旋转性质的应用，等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕A点逆时针旋转得到， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴． ∴． ∴．故B结论正确，不符合题意； 在中，， ∴． ∴． ∴与不垂直．故C结论错误，符合题意； 在中，， ∴． ∴．故D结论正确，不符合题意． 故选：C． 19. 下列命题正确的是（ ） A. 若关于的不等式的解集为，则 B. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C. 一组边和一组角对应相等的两个直角三角形全等 D. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，∵不等式的解集为，不等号方向不变， ∴，即， 故A选项命题错误，不符合题意； B选项，设四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴四边形是平行四边形， 故B选项命题正确，符合题意； C选项，若相等的一组角为直角，则仅一组边对应相等无法判定两个直角三角形全等，故C选项命题错误，不符合题意； D选项，一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故D选项命题错误，不符合题意． 20. 如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据作图痕迹判断平分，结合平行四边形性质证得，从而求出和的长；然后在中利用勾股定理求出的长；最后利用平行线的性质证得，在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 即， 在中，． 二．解答题：（共2小题，共40分） 21. 按要求完成以下问题 （1）因式分解：； （2）解不等式组：并将解集表示在数轴上； （3）先化简，再求值：，其中从，，中选一个恰当的数求值； （4）解分式方程：． 【答案】（1） （2）解集为 ，数轴表示为： （3）化简结果为 ，当时，值为 （4） 【解析】 【分析】（1）将看作整体，先用完全平方公式因式分解，再用平方差公式继续分解； （2）分别解出两个不等式的解，再将两个不等式的解表示在数轴上，取解集的公共部分得到不等式组的解集； （3）先根据分式运算法则化简，再根据分式有意义的条件确定合适的值，代入计算； （4）先将分式方程化为整式方程求解，再检验得到原方程的解． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式得， 图略， ∴不等式组的解为：； 【小问3详解】 解：， 原式=， ， ， ∵且， ∴且， ∴从，，中选一个恰当的数：， 当时，， ∴当时，代数式的值为3； 【小问4详解】 解：， 解：方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 经检验，是原分式方程的根， ∴分式方程的解为：． 22. 按要求完成以下问题 问题发现 （1）基本模型十字架模型 如图所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，请证明命题：若，则有结论． （2）模型运用 ①如图，在正方形中，，点在线段上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．若，求的值． ②如图，正方形，为延长线上一点，，的垂直平分线分别交、于点和点，连接交于点，连接，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，即可得； （2）①设、相交于点，由翻折得垂直平分，故，结合正方形性质及勾股定理求出长，在中利用等积法求出，即可得，由（1）中结论得，最后由即可求解；②连接、、，由正方形对角线垂直平分得，由是的垂直平分线得，过作于点，于点，由平分得，证得，证四边形为矩形得，故，等量代换得，即，在中利用勾股定理求出长，即可得长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，设、相交于点， 由翻折得垂直平分， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴， 正方形中，即，由（1）得， ∴； ②如图，连接、、， ∵四边形为正方形，为对角线， ∴垂直平分，平分，， ∴， 过作于点，于点，则， ∵在对角线上，平分， ∴， ∵为的垂直平分线，在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴，解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习卷 （满分：100分，时间：50分） 一．选择题：（共20小题，每小题3分，共60分） 1. 地铁是一个城市流动的文化名片，其标志设计常融合城市特色与几何美学．下列不同城市的地铁标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，若，则的长为 （ ）． A. 12 B. 6 C. 3 D. 1.5 4. 分式的值为0，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式一定成立的是（） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在直角坐标系中，已知的顶点，，，将平移得到，点、、分别对应、、，若点，则点的坐标（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，P的对应点分别为点C，，当点B，P，C在同一条直线上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 10. 如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，此时恰为等边三角形，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种株，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在等腰中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 13. 由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列说法正确的是（ ） A. 正方形是轴对称图形也是中心对称图形 B. 菱形的四个内角都是直角 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 15. 如图，已知矩形的对角线，相交于点，，点是矩形对角线上一点，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 16. 如图网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（网格线的交点称格点），在这个7×7的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（ ） A. 2 个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 17. 如图，直线与分别交轴于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 18. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点，连接．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 19. 下列命题正确的是（ ） A. 若关于的不等式的解集为，则 B. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C. 一组边和一组角对应相等的两个直角三角形全等 D. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 20. 如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二．解答题：（共2小题，共40分） 21. 按要求完成以下问题 （1）因式分解：； （2）解不等式组：并将解集表示在数轴上； （3）先化简，再求值：，其中从，，中选一个恰当的数求值； （4）解分式方程：． 22. 按要求完成以下问题 问题发现 （1）基本模型十字架模型 如图所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，请证明命题：若，则有结论． （2）模型运用 ①如图，在正方形中，，点在线段上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．若，求的值． ②如图，正方形，为延长线上一点，，的垂直平分线分别交、于点和点，连接交于点，连接，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $