甘肃兰州市第五十一中学2026-2027学年第一学期高三8月月考数学试卷

兰州市第五十一中学2027届高三8月月考试卷 数学 第I卷（58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：95，90，71，76，85，88，72，91，92，65（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是（ ） A．90 B．91 C．90.5 D．91.5 2．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．记为公比的等比数列的前项和，若首项，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，，且，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（ ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递减 C．函数的图象关于对称 D．将函数的图象向左平移个单位得到奇函数 10．已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），点和点分别是棱和的中点，则（ ） A．平面截该正方体所得的截面图形是正方形 B．平面平面 C．若，则点的轨迹长度为 D．若点在上，则的最小值为 11．已知抛物线的焦点，，为抛物线上的两个动点，为线段的中点，，则（ ） A． B．若，则点到准线的距离为4 C．的最小值为4 D．若，则 第II卷（92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为_______． 13．的展开式中含项的系数是_______． 14．一列火车从城使往城，铁路上有20个车站（包括起点站和终点站）．火车上附有一节邮政车厢，每停靠一站都要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又装上该站发往后面各站的邮袋各一个．设从第站出发，邮政车厢内的邮袋数为，则数列的最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下： 年龄 剪纸 摄影 画画 人数 8 45 10 55 6 50 （1）现采用分层抽样抽取30人，其中抽到年龄在岁的有多少人？ （2）该兴趣班150人的平均年龄是多少？ （3）现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在为事件，记抽到学员爱好摄影为事件．事件与是否独立？请说明理由． 16．（15分）在中，，，分别是角，，的对边，且，，． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 17．（15分）如图所示，正四棱台，其中，． （1）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积． （2）当时，求平面与平面所成的角． 18．（17分）已知双曲线：，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点． （1）求双曲线的离心率； （2）若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； （3）若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围． 19．（17分）已知函数． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）设，若函数与共有个不同的零点，是否存在实数，使得这个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第五十一中学2027届高三8月月考试卷参考答案 数学 第I卷（58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A C B B C D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．） 题号 9 10 11 答案 AC BC ACD 第II卷（92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 题号 12 13 14 答案 1183 四、解答题（本大题共5小题，共77分．） 15．（13分）（1）年龄段占总体比例为：，则抽取人数为：； （2）由题可得人的平均年龄为：； （3）由题可得，，， 注意到，则事件与事件不相互独立． 16．（15分）（1）由，则，即 ，，又， （2），，，， 即，，又，即，所以， 17．（15分）（1）连接、交于，连接、交于，如图，上下底面为正方形， 由正棱台性质，可得，且，，，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面． 由正棱台性质，与上下底面均垂直，则， 所以． （2）如图所示建立空间直角坐标系，，可知，，，，，，，，，， 平面与平面所成的角为． 18．（17分）【解析】（1）对于双曲线，，，，所以双曲线离心率． （2）因为点是的中点，所以点，代入双曲线方程，得， 解得，又点在双曲线的右支上，所以，即，所以，所以 直线的斜率为． （1）当直线斜率为0时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线方程为，设，，则， 联立，整理得， （）且， ，，因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为． 19．（17分）（1）由，当时，，， 故的图象在处的切线方程为，即． （2）由，当时，令，在上递减，最多一个零点，与题意不符； 当时，令，则，则当，；当，， 所以在单调递增，在上单调递减， 故，且，． 故有两个零点，即，． （3）由于，所以与的零点个数相同． 依题意共有4个不同的零点，所以与各有两个零点． 不妨设的两个零点为，，的两个零点为，， 则有， 因为，得，① 所以，② 又，则，，若四个零点成等差数列，则有两种情况： （1）当时，即，，，成等差数列，则有，③ 由②③得， 代入①得，，④ 又，⑤ 将④代入⑤式可得， 由等差数列性质及，可得，从而有， 可得，解得，，这与④矛盾，故实数不存在； （2）当时，即，，，成等差数列，则，③ 由②③得，同理得，，④ 又，⑥ 将④代入⑥式可得， 代入③可得，解得，， 这与④矛盾，故实数不存在． 综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $