第4讲：一元二次方程根的判别式的运用讲义2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程根的判别式（Δ=b²-4ac）这一核心知识点，从定义出发，通过判断含参方程根的情况、由根的情况求参数范围、代数推理及结合函数几何等题型，构建递进式学习支架，系统梳理判别式的运用脉络。 资料通过多考向设计（如Δ=常数、含参数）和例题变式结合实现分层教学，结合几何（例1直角三角形求k值）与函数（例8一次函数图像判根）培养推理能力与几何直观，培优小检测助力巩固，课中辅助分层授课，课后帮助查漏补缺，提升应用意识。

第4讲 一元二次方程根的判别式的运用（原卷版） 技法概要 1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是Δ＝__b2－4ac__ 2、常见题型： 题型精讲 题型1 判断含参方程根的情况 考向1 △=常数 【例1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值． 【思路点拨】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0， 解得：x1＝k，x2＝k+1． 当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2， 解得：k＝12； 当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52， 解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）． 答：k的值为12或3． 【变式1】一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值． 考向2 由参数取值判断△ 【例2】已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是　 　 ． 【思路点拨】解：∵点P（a，c）在第四象限， ∴a＞0，c＜0， ∴ac＜0， ∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根． 故答案为：两个不相等的实数根． 【变式3】已知m＜0，判断方程4x2﹣5x+m＝0的解的情况：　 　 ． 【变式4】已知△ABC的三边长分别为4，7，m，则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的根的情况是 　 　 ． 考向3 △=m²或△=-m² 【例3】已知方程x2+bx+c＝0（x为实数），请你解析下列问题： （1）若b＝2，c＝﹣1，解此方程； （2）若b﹣c＝1，求证：此方程至少有一实数根． 【思路点拨】解：（1）∵b＝2，c＝﹣1， ∴原方程为x2+2x﹣1＝0， 配方得（x+1）2＝2， 开方得， 解得； （2）对于一元二次方程x2+bx+c＝0， 根的判别式为 Δ＝b2﹣4c， ∵b﹣c＝1， ∴c＝b﹣1， 将c＝b﹣1代入Δ得 Δ＝b2﹣4（b﹣1）＝b2﹣4b+4＝（b﹣2）2， ∵任意实数的平方是非负数， ∴（b﹣2）2≥0，即Δ≥0， ∴此方程至少有一个实数根． 【变式5】当m﹣n＝2时，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣2n＝0的根的情况为（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 考向4 △=m²+正数或△=-m²-正数 【例4】关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【思路点拨】解：∵x2+kx﹣2＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式6】探究：对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为 　 　 ． 题型2 由根的情况判断参数的取值范围 考向5 二次项系数为常数 【例5】若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 【思路点拨】解：∵关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0， 解得m≥﹣4． 故选：C． 【变式7】若一元二次方程没有实数解，则k的取值范围是　 ． 【变式8】定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 . 考向6 二次项系数含参 【例6】关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＜4且m≠2 D．m≤4且m≠2 【思路点拨】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝16﹣8（m﹣2）＞0且m﹣2≠0， 解得m＜4且m≠2， 故选：C． 【变式9】已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 ． 题型3 代数推理 考向7 代数推理问题 【例7】已知三个实数a，b，c满足ab＜0，a+b+c＝0，a﹣b+c＞0，则下列结论成立的是（　　） A．a＞0，b2≥4ac B．a＞0，b2≤4ac C．a＜0，b2≥4ac D．a＜0，b2≤4ac 【思路点拨】解：ax2+bx+c=0， ∵a+b+c＝0，a﹣b+c＞0 ∴方程ax2+bx+c＝0有实数根， 即b2﹣4ac≥0． 由题意知，a+c＝﹣b，a+c＞b， ∴﹣b＞b， 即b＜0， 又∵ab＜0， ∴a＞0． 故选：A． 【变式10】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足4a﹣2b+c＝0，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A．2a﹣c＝0 B．4a+b＝0 C．b＝c D．a+b+c＝0 题型4 结合函数 考向8 结合函数考查 【例8】若一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣bx﹣c＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况无法确定 【思路点拨】解：由一次函数的性质得b＜0，c＞0， ∴Δ＝b2+4c＞0， ∴关于x的一元二次方程x2﹣bx﹣c＝0有两个不相等的实数根 故选：A． 【变式11】若一元二次方程x2﹣5x+a＝0无实数根，则一次函数y＝（a﹣5）x+a的图象不经过 第　　象限． 题型5 结合几何 考向9 与三角形结合考查 【例9】已知a，b，c是△ABC的三边长，若一元二次方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0没有实数根，则△ABC 是 　　 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【思路点拨】解：根据题意得a﹣c≠0且Δ＝4b2﹣4（a﹣c）（a+c）＜0， 即b2﹣a2+c2＜0， 所以b2+c2＜a2， 所以△ABC是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【变式12】等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的两根，则n的值为　　 ． 考向10 几何动点问题 【例10】已知四边形ABCD中，CD⊥AD于D，CB⊥AB于点B，∠A＝60°，AB，关于x的方程x2﹣2（m2﹣2m+13）＝0有实数根，若CD＝m，求AD的值． 【思路点拨】解：延长BC、AD相交于点P． ∵关于x的方程x2﹣2（m2﹣2m+13）＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m2﹣2m+13）＝﹣m2+2m﹣1＝﹣（m﹣1）2≥0， ∴（m﹣1）2≤0， 而（m﹣1）2≥0， ∴m﹣1＝0，m＝1， ∴CD＝m＝1． ∵CB⊥AB， ∴∠B＝90°， 又∠A＝60°， ∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°， ∴AP＝2AB＝2． ∵CD⊥AD， ∴∠CDA＝∠CDP＝90°， 又∠P＝30°， ∴CP＝2CD＝2， ∴在Rt△CDP中，∠CDP＝90°， DP， ∴AD＝AP﹣DP＝2． 【变式13】已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根． （1）若AB的长为5，求m的值； （2）m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？ 培优小检测 （时间：40分钟 满分：60分） ■ 一．选择题（每小题3分，共24分） 1．关于方程x2+6x+9＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．已知关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥9 B．m＜9 C．m＞9 D．m＜6 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2c＝0，若实数c的取值范围是，则该方程的根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断根的情况 4．在平面直角坐标系中，若一次函数y＝﹣2x+m的图象如图所示，则关于x的方程mx2+x+2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算：．例如：6﹣4×5＝﹣2．则关于x的方程的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 6．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（　　） A．7 B．3 C．4 D．3或4 7．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≤2 B．k＞﹣2 C．k＜2且k≠1 D．k≥﹣2且k≠1 8．探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，以下是三名同学给出的建议．甲：a﹣b﹣1＝0；乙：a，b同号；丙：a+b﹣1＝0．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙的建议都正确 B．只有乙的建议不正确 C．甲、乙、丙的建议都不正确 D．只有甲的建议正确 ■ 二．填空题（每小题4分，共16分） 9．若关于x的一元二次方程x2﹣3x＝p有两个相等的实数根，则p的值是　 　 ． 10．已知关于x的一元二次方程x2+（m+n）x+mn＝0，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是　 　 ． 11．若a、b、c为△ABC的三边，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是　 　 三角形． 12．实数a，b，c满足b+c﹣3＝0和a﹣bc﹣1＝0． （1）若b和c均为正整数，则a的值为　 　 ； （2）若存在唯一的实数b使得这两个关系式都成立，则c的值为　 　 ． ■ 三．解答题（共20分） 13．（8分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． （1）若x＝3是方程的一个根，求的值． （2）若方程有两个相同的实数根，且b﹣ac＝﹣1，求b的值． 14.（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=1，CD=4，P为BC边上的一个动点，连接AP，PD，若∠APD=90°．设BP=x，BC=k． (1)直接写出x与k之间的关系式为 ； (2)若这样的点P有且只有一个，求BP的长． 第 1 页 共 1 页 $ 第4讲 一元二次方程根的判别式的运用（详解版） 技法概要 1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是Δ＝__b2－4ac__ 2、常见题型： 题型精讲 题型1 判断含参方程根的情况 考向1 △=常数 【例1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值． 【思路点拨】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0， 解得：x1＝k，x2＝k+1． 当BC为直角边时，k2+52＝（k+1）2， 解得：k＝12； 当BC为斜边时，k2+（k+1）2＝52， 解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合题意，舍去）． 答：k的值为12或3． 【变式1】一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【解析】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值． 解：（1）∵Δ＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9） ＝36， ∵不论m取何值时，36恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根； （2）将x＝0代入x2﹣4mx+4m2﹣9＝0中，得4m2﹣9＝0， 解得：m或． ∴m的值为或． 考向2 由参数取值判断△ 【例2】已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是　 　 ． 【思路点拨】解：∵点P（a，c）在第四象限， ∴a＞0，c＜0， ∴ac＜0， ∴方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根． 故答案为：两个不相等的实数根． 【变式3】已知m＜0，判断方程4x2﹣5x+m＝0的解的情况：　 　 ． 【解析】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×4×m＝25﹣16m， 而m＜0， ∴25﹣16m＞0，即Δ＞0， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式4】已知△ABC的三边长分别为4，7，m，则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的根的情况是 　 　 ． 【解析】解：∵△ABC的三边长分别为4，7，m， ∴7﹣4＜m＜7+4， 即3＜m＜11． ∴12＜4m＜44． 对于关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4m＝9﹣4m＜0， ∴该方程无实数根． 故答案为：无实数根． 考向3 △=m²或△=-m² 【例3】已知方程x2+bx+c＝0（x为实数），请你解析下列问题： （1）若b＝2，c＝﹣1，解此方程； （2）若b﹣c＝1，求证：此方程至少有一实数根． 【思路点拨】解：（1）∵b＝2，c＝﹣1， ∴原方程为x2+2x﹣1＝0， 配方得（x+1）2＝2， 开方得， 解得； （2）对于一元二次方程x2+bx+c＝0， 根的判别式为 Δ＝b2﹣4c， ∵b﹣c＝1， ∴c＝b﹣1， 将c＝b﹣1代入Δ得 Δ＝b2﹣4（b﹣1）＝b2﹣4b+4＝（b﹣2）2， ∵任意实数的平方是非负数， ∴（b﹣2）2≥0，即Δ≥0， ∴此方程至少有一个实数根． 【变式5】当m﹣n＝2时，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣2n＝0的根的情况为（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【解析】解：关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣2n＝0， ∵a＝﹣1，b＝m，c＝﹣2n， ∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×（﹣1）×（﹣2n）＝m2﹣8n， ∵m﹣n＝2， ∴m＝n+2， ∴m2﹣8n＝（n+2）2﹣8n＝（n﹣2）2≥0， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， ∴方程有两个实数根． 故选：A． 考向4 △=m²+正数或△=-m²-正数 【例4】关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【思路点拨】解：∵x2+kx﹣2＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式6】探究：对于任意实数k，关于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情况为 　 　 ． 【解析】解：∵x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16， ∴不论k为何值，﹣（k﹣3）2≤0，即Δ＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0， ∴方程没有实数根， 故答案为：方程没有实数根． 题型2 由根的情况判断参数的取值范围 考向5 二次项系数为常数 【例5】若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 【思路点拨】解：∵关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0， 解得m≥﹣4． 故选：C． 【变式7】若一元二次方程没有实数解，则k的取值范围是　 ． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程，没有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＜0， 即（﹣1）2﹣4×2×（k）＜0， 解这个不等式得：k． 故答案为：k． 【变式8】定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 . 【解析】解：∵x*a＝3， ∴x2﹣2x﹣3a＝3， 方程化为一般式为x2﹣2x﹣3a﹣3＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3a﹣3）＞0， 解得a． 故答案为：a 考向6 二次项系数含参 【例6】关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m＜4且m≠2 D．m≤4且m≠2 【思路点拨】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝16﹣8（m﹣2）＞0且m﹣2≠0， 解得m＜4且m≠2， 故选：C． 【变式9】已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0有两个实数根，则k的取值范围是　 ． 【解析】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0有两个实数根， 所以Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0且k﹣1≠0， 解得k≤2且k≠1． 故答案为：k≤2且k≠1． 题型3 代数推理 考向7 代数推理问题 【例7】已知三个实数a，b，c满足ab＜0，a+b+c＝0，a﹣b+c＞0，则下列结论成立的是（　　） A．a＞0，b2≥4ac B．a＞0，b2≤4ac C．a＜0，b2≥4ac D．a＜0，b2≤4ac 【思路点拨】解：ax2+bx+c=0， ∵a+b+c＝0，a﹣b+c＞0 ∴方程ax2+bx+c＝0有实数根， 即b2﹣4ac≥0． 由题意知，a+c＝﹣b，a+c＞b， ∴﹣b＞b， 即b＜0， 又∵ab＜0， ∴a＞0． 故选：A． 【变式10】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足4a﹣2b+c＝0，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A．2a﹣c＝0 B．4a+b＝0 C．b＝c D．a+b+c＝0 【解析】解：由条件可知：Δ＝b2﹣4ac＝0，a≠0， ∵4a﹣2b+c＝0， ∴c＝2b﹣4a， 将c＝2b﹣4a代入Δ＝b2﹣4ac＝0得： b2﹣4a（2b﹣4a）＝0， 整理得b2﹣8ab+16a2＝0，即（b﹣4a）2＝0， ∴b＝4a， 将b＝4a代入c＝2b﹣4a得： c＝2×4a﹣4a＝4a， ∴b＝c＝4a，即b＝c，故C正确． ∴2a﹣c＝2a﹣4a＝﹣2a≠0，4a+b＝4a+4a＝8a≠0，a+b+c＝a+4a+4a＝9a≠0，故A错误、B错误、D错误． 故选：C． 题型4 结合函数 考向8 结合函数考查 【例8】若一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣bx﹣c＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况无法确定 【思路点拨】解：由一次函数的性质得b＜0，c＞0， ∴Δ＝b2+4c＞0， ∴关于x的一元二次方程x2﹣bx﹣c＝0有两个不相等的实数根 故选：A． 【变式11】若一元二次方程x2﹣5x+a＝0无实数根，则一次函数y＝（a﹣5）x+a的图象不经过 第　　象限． 【解析】解：由条件可知：Δ＝（﹣5）2﹣4×1×a＜0，即25﹣4a＜0， 解得， 对于一次函数y＝（a﹣5）x+a， ∵， ∴，且a＞0， 根据一次函数性质， 当一次项系数大于0，常数项大于0时，图象经过第一、二、三象限， ∴该一次函数的图象不经过第四象限． 故答案为：四． 题型5 结合几何 考向9 与三角形结合考查 【例9】已知a，b，c是△ABC的三边长，若一元二次方程（a﹣c）x2+2bx+a+c＝0没有实数根，则△ABC 是 　　 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【思路点拨】解：根据题意得a﹣c≠0且Δ＝4b2﹣4（a﹣c）（a+c）＜0， 即b2﹣a2+c2＜0， 所以b2+c2＜a2， 所以△ABC是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【变式12】等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的两根，则n的值为　　 ． 【解析】解：由题意，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的两根， ∴a+b＝6，ab＝n， 当a＝2时， ∴2+b＝6， ∴b＝4， ∴2+2＝4，不能组成一个三角形， 当a＝b时， ∴a+b＝2a＝6， ∴a＝3， ∴2+3＞3，能组成一个三角形， ∴n＝ab＝9， 故答案为：9． 考向10 几何动点问题 【例10】已知四边形ABCD中，CD⊥AD于D，CB⊥AB于点B，∠A＝60°，AB，关于x的方程x2﹣2（m2﹣2m+13）＝0有实数根，若CD＝m，求AD的值． 【思路点拨】解：延长BC、AD相交于点P． ∵关于x的方程x2﹣2（m2﹣2m+13）＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m2﹣2m+13）＝﹣m2+2m﹣1＝﹣（m﹣1）2≥0， ∴（m﹣1）2≤0， 而（m﹣1）2≥0， ∴m﹣1＝0，m＝1， ∴CD＝m＝1． ∵CB⊥AB， ∴∠B＝90°， 又∠A＝60°， ∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°， ∴AP＝2AB＝2． ∵CD⊥AD， ∴∠CDA＝∠CDP＝90°， 又∠P＝30°， ∴CP＝2CD＝2， ∴在Rt△CDP中，∠CDP＝90°， DP， ∴AD＝AP﹣DP＝2． 【变式13】已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根． （1）若AB的长为5，求m的值； （2）m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？ 解：（1）∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两个实数根，且AB的长为5， ∴x＝5是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0的一个实数根， 将x＝5代入原方程得：52﹣8×5+m＝0， 解得：m＝15， ∴m的值为15； （2）∵平行四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4×1×m＝0， 解答：m＝16． 答：m为16时，平行四边形ABCD是菱形． 培优小检测 （时间：40分钟 满分：60分） ■ 一．选择题（每小题3分，共24分） 1．关于方程x2+6x+9＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【解析】解：Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4×1×9＝36﹣36＝0， 根据判别式的意义，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根， ∴该方程有两个相等的实数根． 故选：A． 2．已知关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥9 B．m＜9 C．m＞9 D．m＜6 【解析】解：∵方程x2+6x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4×1×m＞0， 解得：m＜9， 故选：B． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2c＝0，若实数c的取值范围是，则该方程的根的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断根的情况 【解析】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程为x2﹣3x+2c＝0， 所以Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2c＝9﹣8c． 因为c， 所以9﹣8c＜0， 即Δ＜0， 所以该方程没有实数根． 故选：A． 4．在平面直角坐标系中，若一次函数y＝﹣2x+m的图象如图所示，则关于x的方程mx2+x+2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【解析】解：由图象可得， m＜0， ∵mx2+x+2＝0， ∴Δ＝12﹣4m×2＝1﹣8m＞0， ∴方程mx2+x+2＝0有两个不相等的实数根， 故选：A． 5．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算：．例如：6﹣4×5＝﹣2．则关于x的方程的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【解析】解：根据新定义得出（k﹣x）x+6＝0， ∴x2﹣kx﹣6＝0， ∴Δ＝k2+24， ∵k2≥0，∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（　　） A．7 B．3 C．4 D．3或4 【解析】解：当等腰三角形的底边为3时， ∵另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根， ∴Δ＝0，即（﹣4）2﹣4k＝0， 解得k＝4， 此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2， 当等腰三角形的腰为3时，x＝3是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的一个根， ∴9﹣12+k＝0， 解得k＝3， 此时方程为x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴三角形三边分别为3、3、1， 综上所述，k的值为4或3． 故选：D． 7．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≤2 B．k＞﹣2 C．k＜2且k≠1 D．k≥﹣2且k≠1 【解析】解：由条件可知Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0且k﹣1≠0， ∴k＜2且k≠1． 故选：C． 8．探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，以下是三名同学给出的建议．甲：a﹣b﹣1＝0；乙：a，b同号；丙：a+b﹣1＝0．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙的建议都正确 B．只有乙的建议不正确 C．甲、乙、丙的建议都不正确 D．只有甲的建议正确 【解析】解：由题意得，Δ＝b2+4a， 若a﹣b﹣1＝0，即a＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程总有实数根，所以甲的条件满足方程总有实数根； 若a、b同号，不妨令a＝﹣1，b＝﹣1，此时Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以乙的条件不满足方程总有实数根； 若a+b﹣1＝0，即a＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b﹣2）2≥0，方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根； 故选：B． ■ 二．填空题（每小题4分，共16分） 9．若关于x的一元二次方程x2﹣3x＝p有两个相等的实数根，则p的值是　 　 ． 【解析】解：将原方程化为一般形式得x2﹣3x﹣p＝0， 由条件得Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣p）＝0， 整理得9+4p＝0， 解得． 故答案为：． 10．已知关于x的一元二次方程x2+（m+n）x+mn＝0，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是　 　 ． 【解析】解：由数轴得m＞0，n＜0，m+n＞0， ∴mn＜0， ∴Δ＝（m+n）2﹣4mn＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 11．若a、b、c为△ABC的三边，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则这个三角形是　 　 三角形． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴8（b﹣a）2﹣8（c﹣b）（a﹣b）＝0， ∴8（a﹣b）（a﹣b﹣c+b）＝0即8（a﹣b）（a﹣c）＝0， 解得a＝b或a＝c， ∴这个三角形为等腰三角形． 故答案为：等腰． 12．实数a，b，c满足b+c﹣3＝0和a﹣bc﹣1＝0． （1）若b和c均为正整数，则a的值为　 　 ； （2）若存在唯一的实数b使得这两个关系式都成立，则c的值为　 　 ． 【解析】解：（1）由条件可知b＝1，c＝2或b＝2，c＝1， ∵a﹣bc﹣1＝0， ∴当b＝1，c＝2时，a＝1×2+1＝3； 当b＝2，c＝1时，a＝2×1+1＝3． ∴a的值为3； 故答案为：3； （2）由条件可知c＝3﹣b， ∵a﹣bc﹣1＝0， ∴a＝b（3﹣b）+1， 整理得：b2﹣3b+（a﹣1）＝0， ∵“存在唯一的实数b”， ∴该方程有且只有一个实数解， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（a﹣1）＝0， 解得：， 将代入方程得：， 解得：， ∴． 故答案为：． ■ 三．解答题（共20分） 13．（8分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． （1）若x＝3是方程的一个根，求的值． （2）若方程有两个相同的实数根，且b﹣ac＝﹣1，求b的值． 解：（1）∵若x＝3是方程的一个根， ∴9a+3b+c＝0， ∴3b+c＝﹣9a， ∵a≠0， ∴3； （2）∵b﹣ac＝﹣1， ∴ac＝b+1， ∵方程有两个相同的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4（b+1）＝b2﹣4b﹣4＝0， 解得b＝2， ∴b的值为2+2或2﹣2． 14.（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=1，CD=4，P为BC边上的一个动点，连接AP，PD，若∠APD=90°．设BP=x，BC=k． (1)直接写出x与k之间的关系式为 ； (2)若这样的点P有且只有一个，求BP的长． 解：(1)过点 D 作 DE⊥AB 交 BA 的延长线于点 E. ∵∠B＝∠C＝90°，∴AD²＝AE²＋DE²＝AB²＋BP²＋CP²＋CD²， ∴9＋k²＝1＋x²＋(k－x)²＋16，化简得 x²－kx＋4＝0； (2)∵这样的点 P 有且只有一个，∴x²－kx＋4＝0 有两个相等的实数根， ∴Δ＝k²－16＝0，解得 k＝4，k＝－4(舍)．将 k＝4 代入方程得 x＝2，∴BP 的长为 2. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $