第二十五章 一元二次方程 章节小测 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学一元二次方程单元卷，涵盖定义、解法、根的判别式及实际应用，通过基础题与综合题梯度设计，适配单元复习，培养运算能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|一元二次方程定义、公式法、根的判别式|基础概念辨析，如第1题考定义，第3题考根的存在性| |填空题|4|方程求解、根与系数关系、双循环比赛模型|第15题结合足球比赛情境，体现应用意识| |解答题|9|解法综合、实际应用（篱笆问题、利润问题）、新定义|22题篱笆问题构建矩形模型，25题新定义“倒方程”培养创新思维，21题纠错设计强化推理能力|

《人教版九年级数学第二十五章一元二次方程章节小测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C D C D A B C 题号 11 12 答案 A D 1．B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．B 【分析】把与一元二次方程一般形式对比即可得a，b，c的值. 【详解】解：根据一元二次方程的一般形式得： 的，，. 3．C 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一是二次项系数不为0，二是方程有实数根时判别式，据此求出的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ，即， 又∵ 方程有实数根， ∴ 判别式， ∵， ∴ ，解得， 综上，的取值范围是且， 选项A：，故该选项不符合题意； 选项B：，故该选项不符合题意； 选项C：，满足条件，故该选项符合题意； 选项D：，不满足，故该选项不符合题意． 4．C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 5．D 【分析】对于一元二次方程，根的判别式． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴． 6．C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 7．D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 8．A 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 【详解】A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 9．B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 10．C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 11．A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 12．D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再对各选项变形计算，即可找出错误选项. 【详解】解：∵方程的两实根为、， ∴，； 对选项A：，A正确； 对选项B：，B正确； 对选项C：，C正确； 对选项D：，D不正确. 13．4或/或4 【详解】解：， 开方得：． 14．（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算得到方程的系数，即可写出符合要求的方程． 【详解】解：∵两根分别为和， ∴两根之和为：， 两根之积为：， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得：，， 代入得：，，即，， ∴这个方程可以是：． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支足球队参加比赛，在主客场双循环赛制下，每两支球队之间需进行场比赛，单循环比赛的场数为，双循环比赛场数为单循环的倍，因此总比赛场数为，然后列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设有支足球队参加比赛，在主客场双循环赛制下，每两支球队之间需进行场比赛.单循环比赛的场数为，双循环比赛场数为单循环的倍，因此总比赛场数为， ∴列出的方程为， 故答案为：． 16．5 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，设，则，原方程可变形为，解方程求出t的值即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：5． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，然后运用因式分解法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或 ∴． （2）解：， ， ∴或， ∴． 18． 【分析】利用根的判别式列出关于的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ． 19．，该方程为 【分析】根据一元二次方程的定义可知，且，求出的值代入即可求得该方程． 【详解】解：是一元二次方程， 且． 解得． 此一元二次方程为． 【点睛】要注意二次项系数不能为0． 20．(1) 证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)； 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【详解】（1）略； （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为. 21．甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 正确解答： ， ， 或 解得，． 【详解】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以，     正确解答： ， ， 或 解得，． 22．(1) (2) 【分析】（1）设的长为，则，由矩形，得，解方程即可； （2）设长为，则，由矩形，得，,由题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 23．(1)， (2)2028 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ，即 两边同时乘以得． ，； （2）解：， ， ， ， 即， ． 24．(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． （2）略 25．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级数学第二十五章一元二次方程章节小测 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（     ） A．2，1，1 B．2，， C．2，1， D．，1，1 3．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（     ） A． B． C．2 D．3 4．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 5．一元二次方程的根的判别式的值为（     ） A． B．12 C． D．8 6．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 7．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 8．已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 9．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 11．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 12．若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 13．一元二次方程的解是______． 14．请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 15．某省城市之间进行足球比赛，实行主客场双循环比赛，即所有参赛球队彼此间进行两场比赛，结果一共进行了场比赛，设共有支足球队参加比赛，那么列出的方程是______． 16．已知，则______． 三、解答题 17．解下列方程： (1) (2) 18． 已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的范围． 19． 已知关于的方程是一元二次方程，求此一元二次方程． 20． 已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 21．甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 22．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 23．请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 24．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 25．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $