黑龙江省佳木斯市第一中学2026-2027学年高二上学期开学月考数学试题

佳一中2025—2026学年度高二上开学初月考 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（共8道小题，每题5分，共40分） 1.已知事件，，满足，，，下列结论正确的是（ ） A.，互为对立事件 B.若，则 C.若，互斥，则 D.若，相互独立，则 2.若则的最小值为（ ） A.0 B.2 C. D.1 3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（ ） A.4 B. C. D. 4.已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 5.设一组样本数据的极差为2，方差为0.1，若数据的极差为4，则数据的方差为（ ） A.0.02 B.0.04 C.0.2 D.0.4 6.已知是边长为1的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别在棱，上，且，平面，则（ ） A. B. C. D. 8.已知直四棱柱的底面是边长为6的正方形，，点是棱的中点，是棱上的一点，且，则过点，，的平面截直四棱柱所得截面的周长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3道小题，每题6分，共18分） 9.某中学高一年级100名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示，下列说法正确的有（ ） A.成绩落在区间的频率为0.03 B.这100名学生成绩的中位数为76.25 C.这100名学生成绩的众数为75 D.成绩低于60分的学生人数为5人 10.在中，角，，对边分别是，，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B.若，则是等边三角形 C.若是锐角三角形，则的取值范围是 D.若的面积为，则的外接圆半径的最小值为 11.在棱长为的正方体中，点在底面内（含边界），为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A.满足平面的点的轨迹长度为2 B.若点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为 C.的最小值为 D.若平面，则点是上靠近点的四等分点 三、填空题（共3道小题，每题5分，共15分） 12.若单位向量，的夹角为，向量，则在上的投影向量为________．（结果用表示） 13.如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为_________． 14.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是_________． 四、解答题（共5道大题，其中15题13分；16题、17题各15分；18题、19题各17分，共77分） 15.已知，． （1）求的值： （2）设向量，，求； （3）若，求的值． 16.如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积； 17.南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率； （3）已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）．已知每一局比赛中 甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响．求甲获得冠军的概率． 18.如图，在中，角，，的对边分别为，，．已知． （1）求角； （2）若的长为，求的取值范围． （3）若为线段延长线上一点，且，，求． 19.在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． （1）若平面平面． （ⅰ）求证：； （ⅱ）设平面，若，求点到平面的距离； （2）试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 高二上开学初数学试题答案 1.C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.A 7.C 8.D 9.BCD 10.BC 11.ACD 12. 13.或 14. 15.【答案】（1）10； （2）； （3）． 【解析】（1）由题设，所以； （2）由（1），又， 所以，可得，，即， 所以，则； （3）由（1），， 由，则， 所以，则． 16.（1）由题意知、分别、中点，则得， 因为平面，平面，所以平面． （2）由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则 故线与平面所成角的正弦值为 （3）由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 三角形的面积为，因此有三棱锥体积公式得，体积为． 17.（1）由频率分布直方图得，， 解得，估计高一年级初赛成绩的平均数为， （2）组与组的频率比为，因此抽样人数分别为2人与3人，设五名学生为、、、、，其中、在组，、、在组，因此样本空间，，记“有1名或2名学生成绩在”为事件，，因此根据古典概型的计算公式． （3）设事件为甲在第一局中获得胜利，事件为甲在第二局中获得胜利，事件₁为甲在第三局中获得胜利，因此为乙在第一局中获得胜利，为乙在第二局中获得胜利，为乙在第三局中获得胜利，故，，甲获得冠军的情况分为甲赢、甲输、甲赢：甲赢、甲赢；甲输、甲赢、甲赢． 即为事件， 因此 故． 18.【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）正弦定理可得：， 即， 故，则有， 又，，故有， 或（舍去），或（舍去）， 则，又，所以； （2）由正弦定理得， 故 在三角形中， 所以的范围为 （3）设，在和中， 由正弦定理可得，， 于是，又， 则，， ． 19.【答案】（1）（ⅰ）因为，， 在△中，由余弦定理，，， 所以，即，所以，因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面． 因为BC⊂平面BDC，所以BC⊥PD； （ⅱ） （2）存在，正弦值最大值为 【详解】（ⅱ）设，连接， 因为，平面，平面， 所以． 因为平分，所以， 所以，， 由（1）知，，，，平面． 法1：以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，因为，，，设平面（即）的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 所以， 设到平面的距离是， 所以，所以点到平面的距离是； 法2：由，得，， 所以的面积为． 由（1）知平面，平面，所以． 又，，，⊂平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，即； 在中，由余弦定理得，所以， 设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点到平面的距离是； （2）以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，设， 因为，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 解得，令，则， 所以， 又因为，， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 得， 所以， 令，则， 所以， 设， 因为，， 所以当，即时，取得最小值， 所以， 设锐二面角的大小为， 因为，所以， 所以锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角． 学科网（北京）股份有限公司 $