第1章 勾股定理单元测试卷2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大2024新版八年级数学上册勾股定理单元卷，通过选择、填空、解答题（30+18+72分）覆盖定理应用、实际建模与文化传承，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|直角三角形判定（题1）、勾股数（题2）、实际情境（树折断题3、葭生池中题5）|融合《周髀算经》文化素材，基础概念与生活应用结合| |填空题|6/18|勾股定理计算（题11）、中线性质（题14）、圆柱最短路径（题15）|梯度设计，从直接计算到空间想象| |解答题|8/72|尺规作图（题17）、网格证明（题18）、赵爽弦图推导（题24）、轮船航行（题22）|综合应用逻辑推理与模型意识，体现真题命题趋势|

第1章 勾股定理2026-2027学年北师大（2024新版）版八年级数学上册单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件能判断△ABC为直角三角形的是(　　) A．∠C=∠A+∠B B．a：b：c=2：3：4 C．∠A+∠B+∠C=180° D．a：b：c=4：5：6 2．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，4，5 D．6，8，10 3．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A．18m B．10m C．14m D．24m 4．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（　　） A．9 B．8 C．2 D．45 5．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，AB=5，DC=1，BD=BA，则AC是（　　） A．8 B．4 C．5 D．3 6．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（　　） A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm 7．某公园有一处荷花池如图所示，池边有一观景栈道 CD长 100米.为了方便市民赏花，公园决定规划一条步行观光路线(折线 AP-PQ-QB)，A为起点，B为终点，已知 A、B到观景栈道 CD的距离 AD=60米、BC=20米，要使池边观景路线 PQ为 40米，则步行观光路线的最短长度为(　　) A．100米 B．120米 C．140米 D．160米 8． 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．如图，某花园住宅小区有一块长方形绿化带，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 (　　) m路，却踩伤了花草. A．1 B．5 C．2 D．7 9．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设勾a=6，小正方形ABCD的边长是2，则弦c的长度是（　　） A．10 B．12 C．16 D． 10．如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB=13， BC=5，以点B为圆心任意长为半径画弧分别交BC、BA于M、N两点，分别以点M、N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于点p，连接BP并延长交AC于点F ，则△ABF的面积为(　　) A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是　 　米． 12．如图，在中，，点D是的中点，，，则　 　． 13．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是（的坡比，坝高，则坡面的长度是　 　． 14．如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为　 　． 15．如图，有一个高为12厘米，底面周长为10厘米的圆柱形陶罐，在陶罐上沿口的点B处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的陶罐内壁底A处有一滴蜂蜜．则蚂蚁从B处沿内壁爬行到A处吃到蜂蜜的最短路径长为　 　厘米． 16．如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB＝90°， AB＝10， AC＝8.分别以点A，C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于 M，N两点，直线 MN分别交AC，AB于点D，E，则DE的长为　 　. 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分） 17．如图， 在△ABC中， AB=AC． （1）尺规作图：作BC边上的中线AD．(不写作法，保留作图痕迹) （2） 若AB=13， BC=24， 求△ABC 的面积． 18．如图，正方形网格中有△ABC，点A，B，C都在格点上，每个小方格的边长均为1. （1）求出AB， AC， BC的长； （2）求证：∠BAC=90°. 19．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上． （1）求证：DC=DE； （2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面积等于6，求DE的长． 20．如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 21．如图， 在△ABC中， 点D是BC上一点， AB=10， BD=6，AD=8， AC=17， 求△ABC的面积. 22．如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km（即）． （1）若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间； （2）请你判断C岛在A港的什么方向 ，并说明理由． 23．消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 24．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】D 11．【答案】8 12．【答案】5 13．【答案】16 14．【答案】4 15．【答案】13 16．【答案】3 17．【答案】（1）解：作图方法不唯一． 方法1：作∠A的平分线． 方法2：作 BC的中垂线． （2）解：∵AD是BC边上中线，AB=AC ∴AD⊥BC 在 Rt△ABD中，由勾股定理得 ∴AD=5， ∴△ABC的面积 18．【答案】（1）解：由勾股定理得 （2）证明：由(1)知 ∴ △ABC 是直角三角形且∠BAC=90° 19．【答案】（1）证明： ∵∠C=90°， DE⊥AB， ∴∠C=∠AED=90°， 在△ACD和△AED中， ∴△ACD≌△AED(AAS)， ∴DC=DE； （2）解： ∵∠C =90°， AC=4， AB=5， ∴△ABC的面积等于6， 由 (1) 得DC= DE， 又∵AC=4， AB=5， 20．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：； （2）解：∵，∴， ∵，， ∴， ∴． 21．【答案】解：∵AB=10，BD=6，AD=8， ∴， ∴AD⊥BC； 在 Rt△ADC 中，； ∴△ABC 面积 = 22．【答案】（1）解：在直角△ABD中，∠ADB=90°，∴BD= (km)， 在直角△ACD中，∠ADC=90°，DC=BC-BD=45km， ∴AC=(km)， 轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为75÷25=3(h)， 故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h． （2）C岛在A港的北偏西40°方向；理由： ∵752+1002=1252， ∴AC2+AB2=BC2， ∴∠BAC=90°， ∴∠NAC=180°-∠BAC-∠BAS=40°， ∴C岛在A港的北偏西40°方向． 23．【答案】（1）解：由题意得，∠AOB=90°，米，米，OE=3米， ∴在中，（米） 米． 答：处与地面的距离是米； （2）解：由题意得CD=15米，BD=3米，∠AOB=90°，米， 又∵由（1）得OB=9米， ∴（米），∴在中，（米） 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 24．【答案】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得： 1 学科网（北京）股份有限公司 $