2.4 一元二次方程的应用专题训练 2026-2027学年北师大版上册九年级数学

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用的五大高频题型，通过实际情境构建方程模型，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单循环、双循环问题|1题|比赛场次计算|组合数模型构建| |增长率问题|4题|连续增长/下降|指数增长模型应用| |传染传播问题|1题|传播链人数关系|传播迭代模型建立| |面积问题|6题|几何图形面积计算|图形关系转化为等量关系| |销售利润问题|9题|利润与销量、售价关系|经济问题中的数量关系抽象|

专题02：一元二次方程的应用 题型一 单循环、双循环问题 1．（25-26九年级上·山东青岛·期中）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查列一元二次方程解决实际问题（双循环赛制），理解双循环赛制下比赛场次的计算公式是解题的关键． 设应邀请个球队参加比赛，根据赛制为双循环形式且计划安排30场比赛，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：在双循环赛制下，如果有个球队，每两队之间进行两场比赛， 每个球队都要和其他 个球队比赛两场，主客场各一次， 故总的比赛场次是 场 根据计划安排30场比赛，可得方程， 故选：D． 题型二 增长率问题 2．（25-26九年级上·山东青岛·期中）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确找到等量关系列出方程是解题关键．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，再由第三个季度生产零件共196万个列出方程即可． 【详解】解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为， 由题意得，， 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期中）2022年以来，我国快递市场规模持续增长，快递业着力提升服务水平，加快推动智能化、绿色化、国际化发展，高效支撑线上消费活力释放．我国2022年的快递业务量约为1106亿件，经过两年发展，2024年的快递业务量约为1751亿件．设我国这两年快递业务量的年均增长率为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出方程是解题的关键． 根据年均增长率的定义，从2022年到2024年经过两年增长，2024年业务量等于2022年业务量乘以的平方，据此列出方程即可． 【详解】解：设年均增长率为x， ∵ 2022年业务量为1106亿件， ∴经过一年增长，2023年业务量为，再经过一年增长，2024年业务量为1106． 又∵ 2024年业务量约为1751亿件， ∴． 故选A． 4．（25-26九年级上·山东青岛·期中）由于小鹏、埃安等新能源汽车的崛起，广州燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据今年月份售价为万元，月均下降率是，可得：今年月份的售价为万元，又因为月份售价为万元，可列方程：. 【详解】解：今年月份售价为万元，月均下降率是， 今年月份的售价为万元， 今年月份的售价为万元， 又月份售价为万元， 可列方程：. 故选：B． 题型三 传染传播问题 5．（25-26九年级上·山东青岛·期中）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），据此列方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 列方程得：， 故答案为： 题型四 面积问题 6．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为（），则________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握相似的图形对应边成比例．根据相似图形对应边成比例即可进行解答． 【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， ∴或， 解得：或（不合题意舍去）． 故答案为：9 ． 7．（25-26九年级上·山东青岛·期中）在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，小颖给出了如图所示的设计方案，为了求出图中的x，可列方程_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决本题的关键， 根据“使花园所占面积为荒地面积的一半”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·山东青岛·期中）2025年8月19日，以“追光吧⋅少年”为主题的全国新时代好少年先进事迹发布仪式在浙江宁波举行．如图是某校制作的校级“新时代好少年”优秀事迹展示板，该展示板的长为，宽为，十位同学的优秀事迹展牌是10张全等，面积均为的矩形，这10张展牌按两行五列的方式粘贴在展示板上，且相邻展牌之间以及展牌粘贴区域与展示板边缘的距离均相等，则相邻展牌间的距离为________． 【答案】 【分析】设相邻展牌间的距离为，利用x表示出10张全等的、面积为的矩形贴纸的总面积，并据此列方程求解即可．本题考查一元二次方程的实际运用，找准等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：设相邻展牌间的距离为，根据题意得 ， 解得：，（舍去）． ∴相邻展牌间的距离为． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，如图所示． (1)若设正方形的边长为，则栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为 (用含的代数式表示，要求结果最简)； (2)如果剩余空地面积为，求正方形的边长x的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则空白部分的长为，宽为，根据长方形面积公式即可得出结论； （2）根据剩余空地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则空白部分的长为，宽为， ∴栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为：， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， (不符合题意，舍去)， 答：正方形的边长的值为． 10．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】(1)三边长分别为 (2)三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 11．（25-26九年级上·山东青岛·期中）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 【答案】6米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，正确列出方程求解． 根据题意可得种植田的长为米，再根据面积公式列一元二次方程，解方程，最后根据墙的最大可用长度为米对求出的根进行取舍． 【详解】解：∵种植田为m米，栅栏总长为米，有两个宽为1米的门， ∴种植田的长为米， ∵该种植田的面积为平方米， ∴， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：该种植田的宽m为6米． 题型五 销售利润问题 12．（25-26九年级上·山东青岛·期中）红富士苹果上市时，李明按市场价格10元/千克收购了1000千克存入冷库中，预计这种苹果的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批苹果时每天需要支出各种费用合计110元，同时，平均每天有3千克的苹果损坏不能出售，而且这种苹果在冷库中最多保存90天． (1)若李明将这批苹果存放x天后一次性出售，则x天后这批苹果的销售单价为 元，销售量为 千克（用含x的代数式表示）； (2)这次销售李明共获得利润12000元，求这批苹果存放多少天后出售的？ 【答案】(1)， (2)存放40天后出售 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，较难的是题（2），正确建立方程是解题关键． （1）根据“这种苹果的市场价格平均每天每千克上涨元”可得出销售单价，再根据 “平均每天有3千克的苹果损坏不能出售”可得销售量； 设这批苹果存放了天后出售，根据“利润=销售量销售单价成本单价收购总量冷库存放的费用”建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）这种苹果的市场价格平均每天每千克上涨元， 天后这批苹果的销售单价为元， 平均每天有3千克的苹果损坏不能出售， 天后这批苹果的销售量为千克， 故答案为：，； （2）设这批苹果存放了天后出售，则， 由题意得：， 解得（不符题意，舍去）， 答：这批苹果存放了40天后出售． 13．（25-26九年级上·山东青岛·期中）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价3元时，平均每天可多卖出6件． （1）设降价x元，则现在每天可销售衬衫______件，每件的利润是______元．（用含x的代数式表示） （2）若商场要求该服装部每天盈利1400元，问每件要降价多少元？ （3）若商场要求该服装部每天盈利1600元，问这个要求能否实现？请说说你的理由． 【答案】（1）30+2x；40-x；（2）每件要降价20元；（3）这个要求不能实现． 【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，由题意可得每件盈利（40-x元），每天可以售出（30+2x）件；（2）由（1）可得商场平均每天要盈利（40-x）（30+2x）元，根据商场平均每天要盈利1400元列出方程，解方程求解即可；（3）根据商场平均每天要盈利1600元列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． 【详解】解：（1）30+2x； 40-x （2）由题意，得（40-x）（30+2x）=1400， 即：（x-5）（x-20）=0， 解得x1=5，x2=20， 为了扩大销售量，减少库存，所以x的值应为20， 所以，若商场要求该服装部每天盈利1400元，每件要降价20元； （3）由题意，得（40-x）（30+2x）=1600， 整理，得x2-25x+200=0， △=252-4×1×200=625-800=-175＜0， 即：该方程无解， 所以，商场要求该服装部每天盈利1600元，这个要求不能实现． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系列出方程是解决问题的关键． 14．（25-26九年级上·山东青岛·期中）2025年国家消费补贴政策已进入第四批资金冲刺阶段，覆盖家电、数码、汽车、家装等领域．在政府消费补贴政策推动下，家电市场销售持续升温．某家电商场采购一批扫地机器人进行销售，每台进货价为1200元．调查发现，当销售价为1500元时，平均每天能售出12台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出6台．商场要想使这种扫地机器人的销售利润平均每天达到4800元，每台扫地机器人的定价应为多少元？ 【答案】1400元 【分析】本题考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，解题的关键是根据“利润=每台利润×销量”的关系，结合售价与销量的变化规律列方程． 设售价降低元，表达出实际定价、每台利润和每天销量，根据利润公式列方程，求解后得到定价． 【详解】解：设每台扫地机器人的售价降低了元（为正整数）， 则：实际定价为（）元； 每台利润为元； 每天销量为台． 由题意得 整理得 经检验，符合题意 将代入定价公式： 每台扫地机器人的定价应为1400元． 15．（25-26九年级上·山东青岛·期中）（项目式学习・探究销售利润）2025年人工智能大会在上海成功举办，科技园区内一家企业为迎合市场需求，推出了具有独特交互功能的智能摆件．请根据以下素材，探究完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润； 任务2 若每件智能摆件的利润率不低于，则智能摆件的销售价最多降低多少元？（利润率） 任务3 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价． 【答案】任务1：1152元． 任务2：智能摆件的销售价最多降低元． 任务3：智能摆件的销售价为元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）先算出降价8元时，每件的利润以及每天的销量，然后用每件的利润乘以每天的销量可得出答案； （2）设智能摆件的销售价降低元．，根据“为了保证每件智能摆件的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围； （3）设智能摆件的销售价为元，然后利用（售价进价）销量利润，列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】任务1： 解：当降价8元时，每件利润为：（元） 平均每天能卖出：（件） 那么每天利润为：（元） 答：当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润1152元． 任务2： 解：设智能摆件的销售价降低元． 解得：， 那么最大为7元， 答: 智能摆件的销售价最多降低元． 任务3： 解：设智能摆件的销售价为元． 解得：或， 那么当优惠力度最大时，， 答：智能摆件的销售价为元． 16．（25-26九年级上·山东青岛·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琼”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，月份的销售量将与月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，如果利润率不高于，当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达元？ 【答案】(1)月平均增长率为； (2)售价为元时，月销售利润达元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设月平均增长率为，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设售价为 元，则销售量为件，根据题意得 ，整理得，解得，，又利润率不高于，即 ，解得 ，从而求解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为 ， 根据题意，， 解得，（舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价为元，则销售量为件， 根据题意得， ， ， 整理得， 解得：，， ∵利润率不高于，即， ∴， ∴， 答：售价为元时，月销售利润达元． 17．（25-26九年级上·山东青岛·期中）某景区民宿有客房60间供游客居住，每个房间是按整间出租．已知当每个房间每天的定价为140元时，客房会全部住满，当个房间每天的定价每增加20元时，就会有4个房间空闲． (1)若某天每间客房的定价增加了60元，求这天客房的总收入； (2)如果政府规定该农家乐入住率超过可以获得每间10元的政府补贴，某天客房收入9360元，试求这天农家乐可获得政府补贴多少元？ 【答案】(1)9600元 (2)520元 【分析】本题考查有理数混合运算的实际运用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． （1）每间客房的定价增加了60元，则空闲的房间有12间，根据每个房间的定价乘以出租的房间数即可求出总收入； （2）设每间客房的定价增加了x元，房间出租了间，根据客房收入9360元，可得方程，求解后根据入住率超过进行取舍，进而得到出租的房间数，即可解答． 【详解】（1）解：若每间客房的定价增加了60元，则空闲的房间有（间）， ∴总收入为（元） 答：这天客房的总收入为9600元． （2）解：设每间客房的定价增加了x元，房间出租了间， ∵客房收入9360元， ∴ 解得，， ∵入住率超过可以获得每间10元的政府补贴， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴这天农家乐可获得政府补贴为：（元）． 18．（25-26九年级上·山东青岛·期中）“秋凉玉梨熟，一梨润三秋”．秋月梨以汁水甘甜充盈、松脆无渣深受消费者喜爱．某果园原计划种植100棵秋月梨树，一棵梨树平均结40千克梨，现准备多种一些梨树以提高产量．试验发现，每多种1棵梨树，平均每棵梨树的产量就会减少千克，但多种的梨树不能超过25棵．如果要使产量达到4200千克，那么应多种多少棵梨树？ 【答案】20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，申请题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设应多种x棵梨树，，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设应多种x棵梨树，， 由题意可得：， 整理得：， 解得：或40（不符合题意舍弃）． 答：应多种20棵梨树． 19．（25-26九年级上·山东青岛·期中）某果农计划在一片向阳的坡地上种植棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，但他发现多种棵桃树，则每亩地多种4棵． (1)求果农原计划每亩地种多少棵桃树？ (2)果农经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是个桃子，若多种1棵桃树，每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子，而且多种的桃树不能超过棵，如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树． 【答案】(1)果农原计划每亩地种棵桃树； (2)应多种棵桃树． 【分析】（1）设原计划每亩地种x棵桃树，根据地的数量不变列方程即可得到答案； （2）设应多种y棵桃树，根据产量增加列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设原计划每亩地种x棵桃树，由题意可得； ， 解得：， 答：果农原计划每亩地种棵桃树； （2）解：设应多种y棵桃树，由题意可得， ， 解得：，， ∵多种的桃树不能超过棵， ∴， 答：应多种棵桃树． 【点睛】本题考查分式方程解应用题与一元二次方程解决实际应用题，解题的关键是找到等量关系式． 20．（24-25九年级上·山东青岛·期中）生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． (1)求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； (2)批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 (2)该零部件的实际售价应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【详解】（1）解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为． （2）解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02：一元二次方程的应用 题型一 单循环、双循环问题 1．（25-26九年级上·山东青岛·期中）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 题型二 增长率问题 2．（25-26九年级上·山东青岛·期中）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期中）2022年以来，我国快递市场规模持续增长，快递业着力提升服务水平，加快推动智能化、绿色化、国际化发展，高效支撑线上消费活力释放．我国2022年的快递业务量约为1106亿件，经过两年发展，2024年的快递业务量约为1751亿件．设我国这两年快递业务量的年均增长率为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东青岛·期中）由于小鹏、埃安等新能源汽车的崛起，广州燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 传染传播问题 5．（25-26九年级上·山东青岛·期中）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为________． 题型四 面积问题 6．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为（），则________． 7．（25-26九年级上·山东青岛·期中）在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，小颖给出了如图所示的设计方案，为了求出图中的x，可列方程_____． 8．（25-26九年级上·山东青岛·期中）2025年8月19日，以“追光吧⋅少年”为主题的全国新时代好少年先进事迹发布仪式在浙江宁波举行．如图是某校制作的校级“新时代好少年”优秀事迹展示板，该展示板的长为，宽为，十位同学的优秀事迹展牌是10张全等，面积均为的矩形，这10张展牌按两行五列的方式粘贴在展示板上，且相邻展牌之间以及展牌粘贴区域与展示板边缘的距离均相等，则相邻展牌间的距离为________． 9．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，如图所示． (1)若设正方形的边长为，则栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为 (用含的代数式表示，要求结果最简)； (2)如果剩余空地面积为，求正方形的边长x的值． 10．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 11．（25-26九年级上·山东青岛·期中）学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 题型五 销售利润问题 12．（25-26九年级上·山东青岛·期中）红富士苹果上市时，李明按市场价格10元/千克收购了1000千克存入冷库中，预计这种苹果的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批苹果时每天需要支出各种费用合计110元，同时，平均每天有3千克的苹果损坏不能出售，而且这种苹果在冷库中最多保存90天． (1)若李明将这批苹果存放x天后一次性出售，则x天后这批苹果的销售单价为 元，销售量为 千克（用含x的代数式表示）； (2)这次销售李明共获得利润12000元，求这批苹果存放多少天后出售的？ 13．（25-26九年级上·山东青岛·期中）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价3元时，平均每天可多卖出6件． （1）设降价x元，则现在每天可销售衬衫______件，每件的利润是______元．（用含x的代数式表示） （2）若商场要求该服装部每天盈利1400元，问每件要降价多少元？ （3）若商场要求该服装部每天盈利1600元，问这个要求能否实现？请说说你的理由． 14．（25-26九年级上·山东青岛·期中）2025年国家消费补贴政策已进入第四批资金冲刺阶段，覆盖家电、数码、汽车、家装等领域．在政府消费补贴政策推动下，家电市场销售持续升温．某家电商场采购一批扫地机器人进行销售，每台进货价为1200元．调查发现，当销售价为1500元时，平均每天能售出12台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出6台．商场要想使这种扫地机器人的销售利润平均每天达到4800元，每台扫地机器人的定价应为多少元？ 15．（25-26九年级上·山东青岛·期中）（项目式学习・探究销售利润）2025年人工智能大会在上海成功举办，科技园区内一家企业为迎合市场需求，推出了具有独特交互功能的智能摆件．请根据以下素材，探究完成任务． 背景素材 素材1 每个智能摆件的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天可以售出20件． 素材2 当售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． 问题解决 任务1 当降价8元时，求平均每天销售智能摆件的利润； 任务2 若每件智能摆件的利润率不低于，则智能摆件的销售价最多降低多少元？（利润率） 任务3 当每天获得的利润达到1050元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价． 16．（25-26九年级上·山东青岛·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琼”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，月份的销售量将与月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，如果利润率不高于，当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达元？ 17．（25-26九年级上·山东青岛·期中）某景区民宿有客房60间供游客居住，每个房间是按整间出租．已知当每个房间每天的定价为140元时，客房会全部住满，当个房间每天的定价每增加20元时，就会有4个房间空闲． (1)若某天每间客房的定价增加了60元，求这天客房的总收入； (2)如果政府规定该农家乐入住率超过可以获得每间10元的政府补贴，某天客房收入9360元，试求这天农家乐可获得政府补贴多少元？ 18．（25-26九年级上·山东青岛·期中）“秋凉玉梨熟，一梨润三秋”．秋月梨以汁水甘甜充盈、松脆无渣深受消费者喜爱．某果园原计划种植100棵秋月梨树，一棵梨树平均结40千克梨，现准备多种一些梨树以提高产量．试验发现，每多种1棵梨树，平均每棵梨树的产量就会减少千克，但多种的梨树不能超过25棵．如果要使产量达到4200千克，那么应多种多少棵梨树？ 19．（25-26九年级上·山东青岛·期中）某果农计划在一片向阳的坡地上种植棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，但他发现多种棵桃树，则每亩地多种4棵． (1)求果农原计划每亩地种多少棵桃树？ (2)果农经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是个桃子，若多种1棵桃树，每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子，而且多种的桃树不能超过棵，如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树． 20．（24-25九年级上·山东青岛·期中）生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． (1)求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； (2)批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $