专题10 一元二次方程的应用的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题10 一元二次方程的应用的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程解决传播问题 题型二、利用一元二次方程解决握手、循环赛问题 题型三、利用一元二次方程解决增长率与营销问题 题型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 题型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：源于实际情景（如面积、利润、增长率、传播问题），需将文字转化为等量关系。 - 解题方法：审题设未知数，找等量关系列方程，解方程后验证根的实际意义（如边长正数、人数整数）并取舍。 - 易错提醒：忽略单位统一；增长率问题搞错基期与现期；未检验根是否符合实际背景而直接作答。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程解决传播问题 典例1 ．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 题型模版 1.特征：：总量呈“每轮每人都传播给若干人”的指数型增长，通常问经过几轮后的总人数。 2.方法：设每轮每人传播给x人，第n轮后总量为a(1+x)n，列方程求解，并检验根的合理性。 变式1-1．（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 变式1-2．（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 变式1-3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 题型二、利用一元二次方程解决握手、循环赛问题 典例2 ．（25-26九年级上·广东东莞·期中）九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 题型模版 1.特征：涉及“两两之间只发生一次”的互动总数，如握手、单循环赛，不计重复。 2.方法：设有n个对象，互动总数为，列方程求解，取正整数根。 变式2-1．（25-26九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 变式2-2．（25-26八年级下·广西贺州·期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 变式2-3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 题型三、利用一元二次方程解决增长率与营销问题 典例3 ．（25-26八年级下·浙江金华·期末）依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 题型模版 1.特征：涉及连续两次变化（增长/降价），总量按比例变化，求变化率或次数。 2.方法：设平均变化率为x，根据“基础量 × (1 ± x)² = 目标量”列方程，解出x并取合理解。 变式3-1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 变式3-2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 变式3-3．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 题型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 典例4 ．（2026·江苏南京·三模）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． (1)种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 题型模版 1.特征：图形面积、体积或边长关系含未知数，常涉及拼接、裁剪或路径宽度问题。 2.方法：用未知数表示相关边长或面积，根据几何公式（如面积和差）列一元二次方程，解后舍去不合题意的根。 变式4-1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 变式4-2．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 变式4-3．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 题型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 典例5 ．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 题型模版 1.特征：几何图形中的点、线按速度运动，导致面积或线段长度随时间变化，求特定时刻。 2.方法：设运动时间为t，用含t的式子表示变化后的边长或面积，根据等量关系列方程，解出t并检验范围。 变式5-1．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 变式5-2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． (1)当时，的面积为__________； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 变式5-3．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． (1)_______，_______（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 5．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 6．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 8．（2026·江苏无锡·中考真题）在四边形中，，，，，，点在四边形内．如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，则______（填“存在”或“不存在”）点，使得；如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是____． 三、解答题 9．（25-26九年级上·北京·阶段检测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 10．（25-26八年级下·吉林松原·期末）松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 11．（25-26八年级下·福建福州·期末）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 12．（25-26九年级上·福建漳州·期末）学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 13．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，设计师要给长城风景画安装上一个四周宽度相等的空白画框，制成一个矩形工艺品后进行销售，该工艺品的长为，宽为． (1)若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白画框的宽度是多少？ (2)已知该工艺品的成本是元／件，若以元／件销售，则每天可售出件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低元，每天可多售出件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为元？ 14．（25-26八年级下·广西百色·期末）【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材1 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同． 素材2 该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 15．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 16．（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一元二次方程的应用的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程解决传播问题 题型二、利用一元二次方程解决握手、循环赛问题 题型三、利用一元二次方程解决增长率与营销问题 题型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 题型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：源于实际情景（如面积、利润、增长率、传播问题），需将文字转化为等量关系。 - 解题方法：审题设未知数，找等量关系列方程，解方程后验证根的实际意义（如边长正数、人数整数）并取舍。 - 易错提醒：忽略单位统一；增长率问题搞错基期与现期；未检验根是否符合实际背景而直接作答。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程解决传播问题 典例1 ．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 题型模版 1.特征：：总量呈“每轮每人都传播给若干人”的指数型增长，通常问经过几轮后的总人数。 2.方法：设每轮每人传播给x人，第n轮后总量为a(1+x)n，列方程求解，并检验根的合理性。 变式1-1．（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 变式1-2．（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 变式1-3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人 (2)三轮后共有125人被感染 【分析】（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：每轮感染中平均一人传染4人． （2）解：人 答：三轮后共有125人被感染． 题型二、利用一元二次方程解决握手、循环赛问题 典例2 ．（25-26九年级上·广东东莞·期中）九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设班级学生人数为人，则每人送出张卡片，共送出张卡片，根据“全班共送了张卡片”可列出方程，解方程即可求出答案，此时应注意考虑解的合理性．理解题意并正确列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：设班级学生人数为人， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴班级学生人数为人． 题型模版 1.特征：涉及“两两之间只发生一次”的互动总数，如握手、单循环赛，不计重复。 2.方法：设有n个对象，互动总数为，列方程求解，取正整数根。 变式2-1．（25-26九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6个队参赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 变式2-2．（25-26八年级下·广西贺州·期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【答案】(1)10个班 (2)5场 【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 变式2-3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【答案】(1)有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛 (2)小江说的有道理，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得6个队伍需比赛的局数为， 答：有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有x个队伍报名参赛，根据题意得， 整理，得：， 解得：（不是整数，不合题意）， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． 题型三、利用一元二次方程解决增长率与营销问题 典例3 ．（25-26八年级下·浙江金华·期末）依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)每袋酥饼需要降价元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长规律得到9月销量的表达式，结合题干给出的9月销量列方程，解方程即可得到结果； （2）设每袋酥饼需要降价元， 根据题意列一元二次方程，解方程即可得到结果． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率为； （2）解：设每袋酥饼需要降价元， 则每袋酥饼的利润为元，单日销售量为袋， 由题意得，， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：每袋酥饼需要降价元． 题型模版 1.特征：涉及连续两次变化（增长/降价），总量按比例变化，求变化率或次数。 2.方法：设平均变化率为x，根据“基础量 × (1 ± x)² = 目标量”列方程，解出x并取合理解。 变式3-1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1) (2)404元 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去） 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． （2）解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 变式3-2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 【答案】(1)年平均增长率为 (2)内存条实际售价为元 【分析】（1）设至年平均增长率为，结合2025年全年营收达到608.4亿元，再建立方程求解即可； （2）设每条内存条降价元，可得单件利润：，月销量：，进一步列方程求解即可. 【详解】（1）解：设至年平均增长率为， ∴， ， 开平方，得， 增长率不能为负，故舍去， 所以， 即， 答：年平均增长率为． （2）解：设每条内存条降价元，则 单件利润：， 月销量：， ∴， 化简得：， ， 解得，． 越大，销售量越大，库存越少，所以舍去， 当时，售价：元， 答：内存条实际售价为元． 变式3-3．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为 (2)为售空库存，下调后每套售价为元 (3)能获利元，每套应降价元 【分析】（1）设日平均增长率为，由平均增长率问题列一元二次方程求解即可； （2）设每套模组降价元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可； （3）不妨假设能获利元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为； （2）解：设每套模组降价元， 则单套利润：（元）， 根据利润目标列方程：， 解得（舍去），（降价元，销量最大）， 下调后售价：（元）， 则为售空库存，下调后每套售价为元； （3）解：不妨假设能获利元， 则列方程：， 解得，即降价（元）， 答：能获利元，每套应降价元． 题型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 典例4 ．（2026·江苏南京·三模）如图，四边形和均为矩形，，休闲区的储水量为3． (1)种菜区的面积为 ,休闲区能接的雨水量为 L（用含有x的代数式表示）； (2)若种菜区每平方米需要水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）根据矩形的面积公式求出种菜区的面积，用总面积减去种菜区的面积求出休闲区的面积，再乘以休闲区每平米的储水量，求出接水量； （2）根据题意，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，种菜区的面积为； 休闲区能接的雨水量为； （2）解：由题意，， 解得，（不合题意，舍去）； 故的值为3. 题型模版 1.特征：图形面积、体积或边长关系含未知数，常涉及拼接、裁剪或路径宽度问题。 2.方法：用未知数表示相关边长或面积，根据几何公式（如面积和差）列一元二次方程，解后舍去不合题意的根。 变式4-1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②米； (2)解：不能，理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得， 判别式， 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米. 【分析】（1）①用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可；②根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程，利用判别式判断方程的根的情况，即可. 【详解】（1）解：①由题意，（米）； ②由题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米； （2）略 变式4-2．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 【答案】(1)米 (2)花圃的长为9米，宽为5米 (3)解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵宽米， ∴长（米）； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． （3）略 变式4-3．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】(1)路面设置的宽度符合要求 (2)从购买草莓客户的角度应该降价元 (3)该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 题型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 典例5 ．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 题型模版 1.特征：几何图形中的点、线按速度运动，导致面积或线段长度随时间变化，求特定时刻。 2.方法：设运动时间为t，用含t的式子表示变化后的边长或面积，根据等量关系列方程，解出t并检验范围。 变式5-1．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意，，由列方程求解即可； （3）根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， ； （2）解：，，， ，， ， ； （3）解：由勾股定理，可得， 解得或， ， ． 变式5-2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． (1)当时，的面积为__________； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 【答案】(1) (2)的面积不能为，理由见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键． （）根据计算即可； （）由题意得，，即得，，进而得到，再根据根的判别式判断方程的解的情况即可求解． 【详解】（1）解：当时，由题意得，， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：的面积不能为，理由如下： 由题意得，，， ∴，， ∴ ， 当的面积为时，则， 即， ∵， ∴方程无实数解， ∴的面积不能为． 变式5-3．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． (1)_______，_______（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． 【答案】(1)； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）为响应国家惠农政策，某品牌插秧机经过两次降价后，零售价由2000元/台降至1280元/台，假设该品牌插秧机两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每次降价的百分率为，根据题意建立方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为． 2．（2026·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 【详解】解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期末）在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 4．（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 二、填空题 5．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 【答案】 【分析】表示出降价后一件商品的利润和数量，然后相乘等于1400列方程即可． 【详解】解：根据题意得，． 6．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 【答案】16 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 7．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 8．（2026·江苏无锡·中考真题）在四边形中，，，，，，点在四边形内．如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，则______（填“存在”或“不存在”）点，使得；如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是____． 【答案】 存在 【分析】连接，过点作，分别交，于点，，求梯形的面积，可得三角形的面积，进而确定点的轨迹并算出点到的距离；通过分析临界情况利用梯形面积公式根据题意列方程，求解即可得出的取值范围． 【详解】解：如图，在图1中连接，过点作，分别交，于点，， ∵在四边形中，，， ∴四边形是直角梯形， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 当时， ， 在中， ， ∴点到的距离为， ∴存在点，使得， 此时点的轨迹为线段（不包括端点），且与间的距离为； 如图，在图2中考虑临界情况，当点在上的点处，点在上的点处时，设， 若，则， 解得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 三、解答题 9．（25-26九年级上·北京·阶段检测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 【答案】 【分析】根据题意列一元二次方程解答即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人，初始有5个人患流感，第一轮传染后，总患病人数为，第二轮传染后，总患病人数为， 根据题意列方程得：， 解得，（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染6人． 10．（25-26八年级下·吉林松原·期末）松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【答案】(1)； (2)万人次． 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意列方程，解方程，再根据实际意义取舍即可； （2）根据增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为． （2）解：（万人次）； 答：第四天的客流量能达到万人次． 11．（25-26八年级下·福建福州·期末）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】9 【分析】设四个数中最小数为，则最大数为，再根据最小数与最大数的乘积为153列一元二次方程求解，最后选择符合实际的解即可． 【详解】解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 12．（25-26九年级上·福建漳州·期末）学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 【答案】(1)； (2)学校应安排个球队参加比赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）利用比赛的总场数参赛球队支数（参赛球队支数），即可得与的关系； （2）根据题意可得，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：； （2）解：∵根据题意可得， ∴根据题意列一元二次方程得，， 解得，（舍）． 答：学校应安排个球队参加比赛． 13．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，设计师要给长城风景画安装上一个四周宽度相等的空白画框，制成一个矩形工艺品后进行销售，该工艺品的长为，宽为． (1)若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白画框的宽度是多少？ (2)已知该工艺品的成本是元／件，若以元／件销售，则每天可售出件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低元，每天可多售出件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为元？ 【答案】(1)空白画框的宽度为； (2)该公司把销售单价降低元或元时，每天所获利润为元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设画框(空白部)的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （2）设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销售量，列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设空白画框的宽度为，根据题意列方程得： ， 解得：，， 当时，不符合题意， ． 答：空白画框的宽度为． （2）解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元，根据题意列方程得： ， 解得：，， 答：该公司把销售单价降低元或元时，每天所获利润为元． 14．（25-26八年级下·广西百色·期末）【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材1 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同． 素材2 该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)该零件的实际售价应定为每个元 【分析】（1）本题为平均增长率问题，设月平均增长率为未知数，根据4月产量和6月产量的关系列一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）本题为销售利润问题，利用“总利润单个利润月销售量”的关系列一元二次方程求解，结合“价格尽可能实惠”的要求，选择较小的解即可． 【详解】（1）解：设该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（增长率为负不符合实际，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设该零件的实际售价应定为每个元，则单个利润为元，售价上涨了元， 因此月销售量为个， 由月销售利润为元， 列方程得：， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵要求价格尽可能实惠，需选取较小的售价， ∴， 答：该零件的实际售价应定为每个(元)． 15．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 16．（25-26八年级下·浙江金华·期末）根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【分析】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $