函数不动点问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数不动点存在性问题，通过多题型训练构建从概念到参数求解的逻辑链条，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数不动点综合应用|10道|存在性问题，结合指数、对数等函数性质求参数范围|从不动点定义出发，通过复合函数转化，运用函数单调性、值域分析参数取值，体现概念应用与逻辑推理|

函数不动点问题 1.设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是 ． 【答案】． 【解析】由曲线上存在点，使得，即， 下面证明，因为在定义域上严格递增， 假设，则， 不满足，同理，不满足， 所以，那么函数， 即函数在有解，所以， 即，，令， 则， ，，单调递增， 又，所以，所以a的取值范围是． 故答案为： 2.设函数（，为自然对数的底数）.若曲线 上存在使得，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由已知可得，且， 由已知存在，使得，则， 所以，存在，使得，可得， 因为函数在上单调递增，则，则. 易知函数在上单调递增. 若，则，不合乎题意； 若，则，不合乎题意； 若，则，合乎题意. 故存在，使得，可得，则， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 3.设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为在曲线上，，∴. 由于在定义域内是增函数， 所以若，则，与矛盾， 若，则，与矛盾，所以， 则问题转化为在内有解，即方程在内有解， 得方程在内有解，令， 则，∴时，， 即在上单调递增，所以. 故答案为： 4.设函数，若曲线上存在点,使得成立，求实数的取值范围为 . 【答案】, 【解析】， 当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 即函数的取值范围为,， 若上存在点,使得成立，则,. 又在定义域上单调递增. 假设，则，不满足； 假设，也不满足； 综上可得：，,. 函数有解，等价为，在,上有解，即平方得，则， 设，则， 由得，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减， 即当时，函数取得极小值，即， 当时，， 则.则， 故实数的取值范围为,. 故答案为：,. 5.已知，将函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线C.若对于每一个.曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为 . 【答案】 【解析】利用运动是相对的， 函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转（左图）， 可以看作直线绕坐标原点顺时针方向旋转（右图）， 根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的与之对应， 即直线绕坐标原点顺时针方向旋转过程中，只能与的图像有且只有一个交点，故只需求函数在原点处的切线方程，，此时切线方程为， 故直线最多绕坐标原点顺时针方向旋转， 则函数,的图像只能绕坐标原点逆时针方向旋转， 故的最大值为， 故答案为： 6.设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意， 存在，使成立， 即存在，使成立， 所以，即， 所以 所以存在，使与有交点， 对，，求导得， 设，则， 令，即；令，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 又， ， 要使与有交点，则， 所以的取值范围是. 故选：A. 7.设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ,所以 在 上有解 因为 ,( 易证 ) ,所以函数 在 上单调递增,因此由得 在 上有解，即 ,因为 ，选C. 8.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数为自然对数的底数，定义在R上的连续函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意知，令，，，为奇函数， ，且当时，， 当时，，单调递减，在R上单调递减， 由，得，即， ，即，， 为函数的一个不动点，，即， ，即关于x的方程在上有解. 令，，则， 在上单调递减，， 要使关于x的方程在上有解，则，即实数a的取值范围为. 故选：B 9.设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：由题意可得， ， 而由可知， 当时，＝为增函数， ∴时，． ∴ 不存在使成立，故A，B错； 当时，＝， 当时，只有时才有意义，而，故C错．故选D． 法二：显然，函数是增函数，，由题意可得， ，而由可知， 于是，问题转化为在上有解． 由，得，分离变量，得， 因为，， 所以，函数在上是增函数，于是有， 即，应选D． 10.设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵曲线上存在点 ∴ 函数（）在上是增函数，根据单调性可证    即在上有解，分离参数，，，根据是增函数可知，只需故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数不动点问题 1.设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是 ． 2.设函数（，为自然对数的底数）.若曲线 上存在使得，则的取值范围是 . 3.设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是 . 4.设函数，若曲线上存在点,使得成立，求实数的取值范围为 . 5.已知，将函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线C.若对于每一个.曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为 . 6.设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 8.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数为自然对数的底数，定义在R上的连续函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9.设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 10.设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $