第三章 整式及其加减 单元测试 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 北师大版七年级数学上册第三章整式及其加减单元测试，涵盖整式概念、运算及规律探索，基础与创新结合，适配单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|单项式判断、代数式书写、同类项（如第7题）、规律探索（如第8题密码问题）|基础巩固，情境创新| |填空题|8题|整式分类（如第13题）、多项式次数、杨辉三角规律（第17题）|能力提升，文化渗透| |解答题|5题|图形规律（第21题）、整体思想（第24题）、除方定义（第23题）|创新应用，模型意识|

第三章 整式及其加减 单元测试2026-2027学年北师大版 七年级数学上册 一、单选题 1．在代数式，2，a，中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A．人 B． C． D． 3．一个同时含有字母a，b，c，且系数为的五次单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．不能确定 4．计算减去的差，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．有理数m在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A．2 B． C． D． 6．已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 7．已知与是同类项，则（   ） A．， B．， C．， D．， 8．小丽在学习了“密码中的数学”后，编制了如图的密码规则，这种规则在数字和汉字之间建立了一种对应关系，其中数字为密文，汉字为明文．例如，密文“8，2，17，5，14，，6，12”翻译成明文为“台湾是中国的领土”．现在小丽给出一段密文 “23，25，29，35”，请写出相应的明文（   ） A．我爱学习 B．我爱中华 C．爱我中国 D．我爱祖国 9．把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，…，则第5个数字是（    ） A．78 B．80 C．82 D．89 10．某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是（    ） A． B． C． D． 11．如图是一组有规律的图案，第1个图案中有6个小等边三角形，第2个图案中有个小等边三角形，第3个图案中有个小等边三角形……，依此规律，则第个图案中小等边三角形个数为 A． B． C． D． 12．按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为8的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 13．下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是整式的有________，是单项式的有________，是多项式的有________．（填序号） 14．多项式是关于的五次三项式，则的值是______________． 15．已知，是常数，如果和是同类项，那么它们合并同类项后得______． 16．观察下列等式： … 根据你发现的规律，第n个等式可表示为__________． 17．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，“杨辉三角”两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，那么图中“杨辉三角”第行的所有数字之和是________．（用含的式子表示） 18．如图，用棋子摆成反写的“”字．摆成第10个反写的“”字需要______个棋子． 19．汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上；（1）每次只能移动1个碟片．（2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面．如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的个碟片移动到2号杆子上最少需要次，则________次． 20．已知，且，则m的最小值是______． 三、解答题 21．如图所示，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“·”的个数为，第2幅图形中“·”的个数为，第3幅图形中“·”的个数为，…，    统计如下表： … “·”的个数 3 8 15 _________ _________ … (1)填表：____________，____________． (2)写出第n幅图形中“·”的个数____________（用含n的代数式表示）． (3)求的值． 22．如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为的长方形，再把其中一个面积为的长方形分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形分成两个面积为的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：    (1)计算；； (2)计算：． 23．阅读材料，解决问题． 我们定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如记作，读作“2的3次商”；，记作，读作“的4次商”．一般地，把，记作，读作“的次商”． (1)直接写出结果： ； ； (2)将一个非零有理数的次商写成幂的形式为： ； (3)算一算：． 24．阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，则． 尝试应用： （1）已知，求的值； （2）已知，，，求的值； 拓展探索： （3）把一个大正方形和四个相同的小正方形按图①、②两种方式摆放，已知，，请观察图形，求图②中的阴影部分面积． 25．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去： (1)摆成第4个图案需要　 　个三角形，摆成第6个图案需要　 　个三角形． (2)摆成第n个图案需要　 　个三角形． (3)摆成第203个图案需要几个三角形？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A D A D B B A B B B 1．【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式．根据单项式的定义（数字或字母的积），判断每个代数式是否为单项式，即可作答． 【详解】解：依题意，不是单项式；是常数，是单项式；是字母，是单项式；是字母与字母的乘积，是单项式； ∴单项式有、、，共3个， 故选：C． 2．【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的正确书写格式，需掌握核心规范：①带单位的和/差形式代数式需添加括号；②带分数与字母相乘时要转化为假分数；③数字与字母相乘时，数字前置且省略乘号；④除法运算需写成分数形式． 【详解】解：∵选项A中，带单位的差形式代数式应写为人，不符合书写格式； 选项B中，带分数与字母相乘应化为假分数形式，即，不符合书写格式； 选项C中，数字与字母相乘应写为，不符合书写格式； 选项D中，除法运算写成分数形式，符合代数式书写格式； 故选：D． 3．【答案】A 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查单项式的系数，次数的概念，关键是掌握：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数；进而问题可求解． 【详解】解：一个同时含有字母，，，且系数为的5次单项式有，，，，，，共有6个． 故选：A． 4．【答案】D 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，先根据题意列出减法算式，再通过去括号、合并同类项得出结果． 【详解】解：由题意得 ． 故选：D． 5．【答案】A 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查去绝对值，涉及数轴性质、绝对值意义及整式加减运算，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据数轴得到m的范围，利用绝对值意义去绝对值，最后利用整式加减运算求解即可得到答案． 【详解】解：根据数轴可得， ． 故选：A． 6．【答案】D 【知识点】整式的加减中的化简求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】由于都未知，因此将所求代数式变形为含已知等式的形式，整体代入计算即可． 【详解】 ， 将代入，得 ． 7．【答案】B 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查同类项的定义，利用同类项中相同字母的指数相同列方程，即可求解. 【详解】∵同类项的定义是所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式. 又∵与是同类项. ∴可得，. 解方程，得. 即，. 8．【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现数字和汉字的对应关系是解题的关键． 根据图示和实例找到对应数字所对应的汉字即可解答． 【详解】解：由题意得，密文“23，25，29，35”翻译成明文为我爱中华． 故选B． 9．【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察根据排列的规律得到第1个数字为0，第2个数字为0加6个数即为6，第3个数字为从6开始加15个数得到21，第4个数字为从21开始加24个数即45，…，由此得到后面加的数比前一个加的数多9，由此得到第5个数字为0+6+（6+9×1）+（6+9×2）+（6+9×3）． 【详解】解：∵第一个数字为0， 第二个数字为0+6=6， 第三个数字为0+6+15=21， 第四个数字为0+6+15+24=45， 第五个数字为0+6+15+24+33=78， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了数字变化规律，发现数在变化过程中各边上点的数字的排列规律是解题关键． 10．【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字变化的规律，能根据所给图形，发现等式左右两边之间的关系是解题的关键；根据所给图形，发现后面密码与前面表达式之间的关系即可解决问题. 【详解】解：由题知， ∵，，， ∵，，；，，；，，， ∴按此规则，，， ∴. 故选：B． 11．【答案】B 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形变化的规律问题，找到图形变化的规律是解题的关键． 找到图形变化的规律即可求解． 【详解】解：根据图形可得， 第1个图案中小等边三角形的个数为，（个）， 第2个图案中小等边三角形的个数为，（个）， 第3个图案中小等边三角形的个数为，（个）， 第10个图案中小等边三角形的个数为，（个）． 故选：B． 12．【答案】B 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查了流程图与有理数的运算，根据a，b的大小分情况代入代数式计算即可得出答案． 【详解】解：．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项符合题意； ．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 13．【答案】 ①②③④⑥⑦； ①②⑥； ③④⑦；． 【知识点】单项式的判断、整式的判断、多项式的判断 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单项式的代数和组成的式子。 多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。 不含字母的项叫做常数；整式；单项式和多项式统称为整式． 【详解】解：整式有：，，，，， 单项式有：，， 多项式有：，， 是不等式，是分式，故不属于整式； 故答案为：①②③④⑥⑦；①②⑥；③④⑦． 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念紧扣概念作出判断． 14．【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式的相关概念，由多项式为五次三项式可得，且，求解即可，熟练掌握多项式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：∵多项式是关于的五次三项式， ∴，且， 解可得或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查同类项的定义，根据相同字母的指数必须相等，因此建立关于m和n的方程并求解，再计算合并后的系数． 【详解】解：∵和是同类项， ∴x的指数相等，y的指数相等． 即，． 解得．， 所以合并后为． 16．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，观察可知序号与序号加4的积加上4等于序号与2的和的平方，据此规律求解即可． 【详解】解： … 以此类推可得第n个等式可表示为， 故答案为：． 17．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】分别计算每行所有数字之和，观察规律得每行各数的和均为2的乘方； 本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是根据观察总结得出每行各数的和是2的乘方． 【详解】解：第一行各数的和为， 第二行各数的和为， 第三行各数的和为， 第四行各数的和为， 第五行各数的和为， 第行各数的和为； 故答案为：． 18．【答案】 【知识点】图形类规律探索 【详解】解：比较前后图形数量发现规律：后一个图形比前一个图形多3个棋子， ∴摆成第10个反写的“”字比第1个反写的“”字多个棋子， ∴摆成第10个反写的“”字需要个棋子． 19．【答案】63 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律，根据题意得到，把代入计算即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，小盘，大盘，小盘，完成，则， 当时，小盘，中盘，小盘从，大盘，小盘从，中盘从，小盘从，完成，则， ， ∴， ∴当时，， 故答案为：63 ． 20．【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，体现了分类讨论的数学思想，由可得 ，，，代入 的表达式化简为 ，根据 的符号情况（由于，不能全正或全负），分类讨论所有可能组合，计算的值，并比较得出最小值． 【详解】解：由 ，得 ，，， 代入原式得：，其中 、、 的值取决于对应变量的符号，可能为 1 或 ， 由于，不能全正或全负，需分情况讨论： 当两个正一个负时： 若 ，则 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 当两个负一个正时： 若 ，则 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 比较所有值，的最小值为． 故答案为：． 21．【答案】(1)，35 (2) (3) 【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查图形的变化类，发现题目中“·”的个数的变化规律，利用数形结合的思想作答． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得． （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可． （3）把第二问总结的规律代入问题解题即可． 【详解】（1）解：观察图形：， ， ， ， 按照此规律，则：； （2）由（1）详解可总结出：． （3）∵ ． 22．【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （2）由（1）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查规律性的计算；根据数形结合的方法得到每个分数可以分成的哪2个分数之差是解决本题的关键． 23．【答案】(1)，343 (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘除混合运算、用代数式表示数、图形的规律 【分析】（1）根据除方的定义直接进行除法运算； （2）仿照示例将除方运算转化为乘方运算； （3）根据（2）中结论将除方运算转化为乘方运算后，再进行有理数的混合运算． 【详解】（1）解：； ． （2）解：， 即． （3）解： ． 24．【答案】（1）；（2）2018；（3）128 【知识点】列代数式、已知式子的值，求代数式的值、合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，求代数式的值，整体思想的运用是解答本题的关键． （1）把看成一个整体合并同类项即可； （2）由题意得，把，代入整理可得答案； （3）先求出大小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去小正方形的面积即可． 【详解】解：（1） ． 当时， 原式． （2）∵， ∴， 把，代入得 ； （3）观察图形可知： 大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∵，， ∴． 25．【答案】(1)13，19 (2) (3)610个 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】设摆成第为正整数）个图案需要个三角形． （1）根据前3个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合的值即可求出和的值； （2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出； （3）代入即可求出结论． 【详解】（1）解：设摆成第为正整数）个图案需要个三角形． ，，， ， ， 同理可得：， 故答案为：13，19； （2）由（1）可知：． 故答案为：； （3）当时，， 摆成第203个图案需要610个三角形． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律“”是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $