吉林省吉林市实验中学2026-2027学年高三上学期开学模拟测试数学试题

**基本信息** 高三开学模拟数学试卷，以脑机接口实验、旅游调查等真实情境为载体，覆盖复数、统计、立体几何等高考核心知识，通过基础题（如复数运算）与综合题（如函数导数应用）梯度设计，检测数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|复数运算、统计样本、解三角形|第8题旅游数据图表分析，培养数据意识| |多选题|3题18分|统计量计算、复数性质、立体几何动点|第9题脑机接口实验评分统计，体现应用意识| |填空题|3题15分|向量夹角、抽样概率、外接球表面积|第14题菱形折叠外接球问题，考查空间观念| |解答题|5题77分|三角函数与解三角形、立体几何折叠、函数导数|第16题立体几何折叠与距离计算，第18题函数对称性与恒成立问题，强化逻辑推理|

吉林市实验中学高三年级2026开学模拟测试 数学试题 命题人： 审核人： 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知为虚数单位，复数，为的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 2．某公司有350名员工参加了今年的年度考核．为了了解这350名员工的考核成绩，公司决定从中抽取50名员工的考核成绩进行统计分析．在这个问题中，50名员工的考核成绩是 A．总体 B．样本容量 C．个体 D．样本 3．某中学研究性学习小组为测量如图所示的铜雕的高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点处测得铜雕顶端P处仰角分别为，且，则该铜雕的高度为（    ）    A． B． C． D． 4．如图所示，在平行四边形中，记，，若，于点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知圆是外接圆,其半径为1,且,则 A． B． C． D． 6．若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥表面积与侧面积的比为（    ） A． B． C． D． 7．已知复数的共轭复数为，且，则下列四个选项中，可以为（    ） A． B． C． D． 8．随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人人数的一半 B．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的 C．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助游的青年人多 D．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为30% 二、多选题（每题6分，共18分） 9．为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（    ） A．该样本的极差为5分 B．用样本均值估计总体均值，其值约为7分 C．该样本的分位数为8分 D．用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 10．已知复数，则（    ） A．不可能为实数 B．不可能为纯虚数 C．在复平面内表示的点不可能在第一象限 D．恒成立 11．如图,在棱长为1的正方体中,为的中点,为线段上的动点,则(    ) A． B．的最小值为 C．四面体的体积为定值 D．与平面所成角的正切值的最大值为1 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知向量，则向量的夹角为__________. 13．利用简单随机抽样的方法，从个个体中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为___________. 14．已知菱形的边长为2，且，沿把折起，得到三棱锥，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为___________. 四、解答题（共5小题，77分） 15．已知，，函数.（13分） (1)求函数的对称轴方程和单调递增区间； (2)已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求的取值范围. 16．如图所示，在直角三角形中，，将 沿折起到 的位置，使平面平面，点满足.（15分） (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 17．课外阅读有很多好处，可以帮助学生提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力等．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生一个学期的课外阅读时间（单位：时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有80人．（15分） (1)求n和a的值； (2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数． 18．已知函数的图象与函数（）的图象关于直线对称．（17分） （1）求的解析式； （2）若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围； （3）设函数，，其中，若对恒成立，求实数的取值范围． 19．已知在中，角，，的对边分别为，，，，.（17分） （1）求的值； （2）若点线段上的一点满足求的值. 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 1．A 【分析】根据共轭复数的概念，以及复数的乘除运算法则，即可得出结果. 【详解】，， 则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查复数的运算，涉及四则运算法则，以及共轭复数的概念，属于基础题型. 2．D 【分析】本题首先可以对题目所给出的条件进行理解，找到50名员工的考核成绩与350名员工的考核成绩之间的关系，即可得出答案． 【详解】因为本题是从350名员工的考核成绩中抽取50名员工的考核成绩， 所以50名员工的考核成绩是样本，故选D． 【点睛】本题考查的是如何用样本估计总体，需要对样本和总体的概念有着足够的了解，考查推理能力，是简单题． 3．B 【分析】设的投影为，且，利用锐角三角函数表示出、、，再在和中分别用余弦定理得到方程，解得即可. 【详解】设的投影为，且，在中，， 所以，    在中，，所以， 在中，，所以， 在和中分别用余弦定理得， 解得或（舍去），即该铜雕的高度为. 故选：B 4．B 【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到与的比，再利用平面向量的线性运算与表示，即可求出要求的向量. 【详解】因为，所以， 在中，，则，则， 所以， 故选：B. 5．B 【详解】因为,所以点O是BC的中点,即BC是圆O的直径,又因为,圆的半径为1,所以,且AC=,则. 选B. 6．C 【分析】利用圆的性质可以列弧长与圆心角的等式，即可求出底面圆半径，再分别算出圆锥表面积与侧面积即可得到比值 【详解】由题，，，，故 故选：C 7．D 【分析】设，代入已知等式，利用复数相等的定义求得关系，然后判断． 【详解】设， 由已知得，即， ∴，即，对照各选项，只有D满足． 故选：D． 8．B 【分析】利用图表可知游客中老年人、中年人、青年人的人数比例以及选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数比例，即可判断. 【详解】解：设2020年到该地旅游的游客总人数为， 由题意可知游客中老年人､中年人､青年人的人数分别为，，， 其中选择自助游的老年人､中年人､青年人的人数分别为，，. 因为，所以错误； 2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数与总游客人数的比值为，则正确； 因为，所以错误； 2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为 ，则错误. 故选：B 9．ABD 【详解】将样本数据从小到大排序：5，6，6，6，7，7，7，8，8，10， 选项A，极差=最大值-最小值，，所以A正确； 选项B， 样本均值，用样本均值估计总体均值，所以B正确； 选项C，百分位数位置：，因为为整数，所以分位数是第9项和第10项数据的平均值，即分位数是，所以C错误； 选项D，样本方差，所以D正确． 10．BCD 【分析】A：考虑且时的情况；B：计算出的范围并判断；C：根据的范围作出判断；D：计算出的范围，则的范围可知. 【详解】选项A：当且时，为实数，故A错误； 选项B：因为，所以，所以的实部不为，所以不可能为纯虚数，故B正确； 选项C：因为，所以在复平面内表示的点在虚轴的左侧，故C正确； 选项D：因为，所以， 又因为，所以， 所以，故D正确； 故选：BCD. 11．ACD 【分析】选项A证明平面；选项B将展在同一个面上求最值；选项C首先证明平面，底面积和高均为定值；选项D建系，求线面角，转化为函数求最值. 【详解】 连接， ， 因为平面，平面， ，，且平面， 所以平面，平面， 所以，选项A正确； 将展在同一个面上，如上图， ， ， 的最小值为，选项B错误； 连接，是的中点，是的中点， 所以，平面，且在平面外， 平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，为定值， 三角形的面积为定值，所以四面体的体积为定值， 选项C正确； 建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，， 设，， ， 面的法向量为， 设与平面所成角为，， ， 令，， 当，，时，取得最大值为. 选项D正确. 12． 【分析】对两边平方化简可求得答案 【详解】解：设向量的夹角为 由，得，， 因为 ， 所以，得， 因为，所以， 故答案为： 13． 【分析】根据第二次抽取时余下的每个个体被抽取到的概率为求得，可得答案. 【详解】第二次抽取时，余下的每个个体被抽取到的概率为，则， 即，则在整个抽样过程中， 每个个体被抽取到的概率为. 故答案为：. 14． 【分析】取的中点，连接，，即可得到为二面角的平面角，分别取，的重心为，，过点，分别作两个平面的垂线，交于点，点即为三棱锥的外接球的球心，连接，，利用锐角三角函数求出，即可取出，即外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得. 【详解】解：取的中点，连接，，因为为菱形，所以，， 故为二面角的平面角，则， 由题意可知，为正三角形，则外接球球心位于过，的中心且和它们所在面垂直的直线上， 故分别取，的重心为，，过点，分别作两个平面的垂线，交于点，点即为三棱锥的外接球的球心， 由题意可知，球心到面和面的距离相等，即， 连接，，则，菱形的边长为， ∴，， ∴， 即三棱锥的外接球的半径， 所以其外接球的表面积为. 故答案为： 15．(1)对称轴方程为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据已知条件写出表达式并化简，结合正弦型函数的单调性和对称轴即可求解； （2）由已知条件得到，结合正弦定理得到，根据的范围得到的范围. 【详解】（1）由题意得， ， 令，得， 所以函数的对称轴方程为， 令， 得； 所以函数的单调递增区间为； （2）由，可知， 因为，所以，所以，则， 由正弦定理得，又， 所以， 由于，可得，所以，则， 所以. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据图中的几何关系，利用面面平行证明线面垂直，再证明线线垂直； （2）运用等体积法求解. 【详解】（1） 在直角三角形中，因为 ，所以 ， 即在四棱锥中， ，平面PDB，平面PDB， 所以平面，从而平面， 如图，在上取一点，使得，连接， 因为，所以，所以， 又 ，所以四边形是矩形，所以，平面MEF，平面MEF，平面MEF， 在中，，所以，平面MEF,平面MEF，平面MEF， 又因为 ，平面PBD，平面PBD，所以平面平面， 所以平面，故； （2）连接，因为平面平面，交线为，且，所以平面， 所以三棱锥的体积， 所以， 在 中，计算可得，由余弦定理得，所以， ， 设点到平面的距离为，则，故； 综上，点M到平面PBE的距离为 . 17．(1)400； (2)105 (3)106.25 【分析】（1）由频率分布直方图，先求得课外阅读时间在内的频率，进而求得的值，利用各小组频率之和为1求得a的值； （2）利用频率分布直方图对应的平均数公式计算即得； （3）根据中位数的定义，结合频率分布直方图列方程计算即得. 【详解】（1）根据题意，课外阅读时间在内的有80人，频率为， 所以． 由频率分布直方图可知，， 解得． （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为： ． （3）因为，所以中位数位于内， 设中位数为x，则，解得， 所以估计该校学生一个学期课外阅读时间的中位数为106.25． 18．（1）；（2）；（3）． 【详解】试题分析：（1）由已知得；（2）由在上为单调递增函数可得 ，，，，是方程，有两个相异的解 ；（3）化简，．再利用重要不等式公式可得， ． 试题解析：（1）由已知得； （2）因为，所以在上为单调递增函数， 所以在区间（）， ，， 即，，， 所以，是方程， 即方程，有两个相异的解, 等价于解得为所求． （3），． 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 因为恒成立，所以， 所以为所求． 考点：1、函数的单调性；2、函数的对称性；3、函数与不等式． 19．（1）；（2）. 【分析】（1）首先根据题意设，，，利用余弦定理得到，再利用余弦定理求解即可. （2）首先根据题意得到，再根据求解即可. 【详解】（1）因为，设，，. 所以， 即. 所以. （2）因为，所以，如图所示： ， 因为，所以. 所以. 答案第10页（共10页） 答案第9页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $