5.6.1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教A版）

5.6　函数y=Asin(ωx+φ)

第1课时　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 [深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.理解y=Asin(ωx+φ)中φ,ω,A对图象的影响,掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.

2.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象,通过函数的图象掌握A,ω,φ与图象的关系.

　　φ,ω,A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响

(1)φ对y=sin(x+φ)图象的影响

(2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响

(3)A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)图象的影响

|微|点|助|解|

1.φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象影响的注意点

(1)y=sin(x+φ)与y=sin x的图象形状是完全一样的,y=sin(x+φ)的图象可以由y=sin x的图象向左或向右平移得到.

(2)左右平移是对x本身而言的,如果x前面的系数不是1,应提取系数,然后进行左右平移.

2.ω对函数y=Asin(ωx+φ)图象影响的注意点

(1)ω(ω>0)影响函数y=sin(ωx+φ)的周期.

(2)y=sin(ωx+φ)(ω≠1)与y=sin(x+φ)的图象形状不同,此变换称为横向伸缩变换.

3.A对函数y=Asin(ωx+φ)图象影响的注意点

(1)若A>0,则函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A;若A<0,则函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[A,-A],最大值是-A,最小值是A.

(2)|A|的大小反映了曲线y=Asin(ωx+φ)波动幅度的大小.

(3)y=Asin(ωx+φ)与y=sin(ωx+φ)的图象形状不同,此变换称为纵向伸缩变换.

基础落实训练

1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)由函数y=sin x的图象得到函数y=sin(x+φ)的图象,需向左平移|φ|个单位长度. (　 )

(2)“五点法”只能作函数y=sin x的图象,而不能作函数y=sin(x+φ)的图象. (　 )

(3)利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象时,“ωx+φ”依次取0,,π,,2π五个值. (　 )

(4)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”,与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.              (　 )

答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2.将函数y=sin x的图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变,则所得图象对应的函数为              (　 )

A.y=3sin x　　　　　　 B.y=sin x

C.y=sin 3x D.y=sinx

答案:A

3.将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得图象的函数解析式是              (　 )

A.y=cos 2x B.y=1+cos 2x

C.y=1+sin D.y=cos 2x-1

解析:选B　将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin,即y=sin=cos 2x的图象.再向上平移1个单位长度,所得图象的函数解析式为y=1+cos 2x.

 

题型(一)　三角函数图象的平移变换

[例1]　已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,怎样将f(x)的图象变换得到g(x)=cos ωx的图象?

解:因为T==π,所以ω=2.

所以f(x)=sin,g(x)=cos 2x.

又sin=sin=cos 2x.

所以将f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)=cos 2x的图象.

　　[变式拓展]

本例变为y=cos的图象如何变换得到y=sin x 的图象?

解:因为cos=cos=sin x,

所以将y=cos的图象向右平移个单位长度得到y=sin x的图象.

|思|维|建|模|

三角函数图象平移变换问题的分类及策略

(1)确定函数y=sin x的图象经过变换后图象对应的解析式,关键是明确左右平移的方向,按“左加右减”的原则进行.