5.6.1 匀速圆周运动的数学模型（导学案）数学人教A版2019必修第一册

5.6.1匀速圆周运动的数学模型 导学案 1.通过分析学习对函数图象的影响,提高学生的推理能力,达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次. 2.熟练掌握对函数,图象的影响,达到直观想象核心素养学业质量水平二的层次. 3.理解与的图象之间的变换关系,达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次. 教学重点： 1.能够将y＝sinx的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象. 2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象． 教学难点： 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的综合变换． 2.图象变换与函数解析式变换的内在联系. 导入1：摩天轮的高度变化 同学们，游乐园中的摩天轮是大家熟悉的设施。假设某摩天轮的半径为10米，轮心距离地面20米，摩天轮每分钟匀速旋转1圈。当你坐在摩天轮的座舱里，从最低点开始随摩天轮转动时，你的高度会随时间变化而变化。大家思考一下： (1) 你的高度随时间变化有什么规律？（周期性） (2) 哪些量会影响高度的变化？（半径、轮心高度、旋转速度、初始位置） (3) 如何用数学式子表示高度与时间的关系？ 今天我们就来探究这类周期性变化的数学模型——通过三角函数揭示参数对函数图象的影响，从而解决摩天轮高度变化等实际问题。 导入2：钟摆的摆动规律 家里的摆钟大家都见过，钟摆左右摆动时，摆锤距离竖直中线的水平距离会随时间变化。假设摆钟的摆长固定，摆锤偏离竖直中线的最大水平距离为5厘米，每2秒往返摆动一次。 (1) 摆锤的水平距离随时间变化是否具有周期性？ (2) 如何描述这个距离随时间变化的规律？ (3) 若摆长变短（摆动变快），或初始偏离角度变化，规律会如何改变？ 这类问题的本质是匀速圆周运动的投影问题，今天我们将通过建立三角函数模型，探究参数对函数图象的影响，从而精准描述这类周期性变化。 问题1：假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动， 你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？请思考与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？ 提示　相关的量有：筒车半径r，筒车转轮的中心到水面的距离h，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置所对应的角φ，筒车转动的时间t，盛水筒距离水面的高度H. 若以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设t＝0时，盛水筒位于点P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过ts后运动到点P(x，y)．于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，并且有y＝rsin(ωt＋φ)， 所以，盛水筒距离水面的高度H与时间t的关系是H＝rsin(ωt＋φ)＋h. 问题筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-1)．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2)． 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？ 因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律． 思考 与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？ 问题2：筒车运动模型中，盛水筒的运动周而复始，具有周期性，可以考虑用三角函数模型去刻画它的运动规律，如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点（如图2）,经过时间,后,盛水筒距离水面的高度H与哪些量有关？它们之间有怎样的关系呢？ 如图5.6-3，将筒车抽象为一个几何图形，设经过后，盛水筒从点运动到点．由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度，由以下量所决定：筒车转轮的中心到水面的距离，筒车的半径，筒转动的角速度，盛水筒的初始位置以及所经过的时间． 下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒运动的数学模型． 如图5.6-3，以为原点，以与水平面平行的直线为轴 建立直角坐标系．设时，盛水筒位于点，以为 始边，为终边的角为，经过s后运动到点． 于是，以为始边，为终边的角为，并且有 ① 所以，盛水筒距离水面的高度与时间的关系是 ② 函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律．由于是常量，我们可以只研究函数①的性质． 上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如(其中)的函数．显然，这个函数由参数所确定．因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质． 思考 从解析式看，函数就是函数在时的特殊情形． (1)能否借助我们熟悉的函数的图象与性质研究参数对函数的影响？ (2)函数含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究？ 探究点1：参数对函数图象的影响 1．探索对图象的影响 为了更加直观地观察参数对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数学实验． 如图5.6-4，取，动点在单位圆上以单位角速度按逆时针方向运动． 如果动点以为起点(此时)，经过后运动到点，那么点的纵坐标就等于．以为坐标描点，可得正弦函数的图象． 探究 在单位圆上拖动起点，使点绕点旋转到，你发现图象有什么变化？ 如果使点绕点旋转，或者旋转一个任意角呢？ 当起点位于时，，可得函数的图象． 进一步，在单位圆上，设两个动点分别以，为起点同时开始运动．如果以为起点的动点到达圆周上点的时间为，那么以为起点的动点相继到达点的时间是．这个规律反映在图象上就是：如果是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的点，如图5.6-4所示．这说明，把正弦曲线上的所有点向左平移个单位长度，就得到的图象． 一般地，当动点的起点位置所对应的角为时，对应的函数是，把正弦曲线上的所有点向左(当时)或向右(当时)平移个单位长度，就得到函数的图象． 反思感悟　先平移后伸缩和先伸缩后平移，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对象是减少错误的关键． 探究点2：参数对函数图象的影响 2．探索对图象的影响 下面，仍然通过数学实验来探索．如图5.6-5，取圆的半径．为了研究方便，不妨令．当时，得到的图象． 探究 取，图象有什么变化？取呢？取，图象又有什么变化？当取任意正数呢？ 一般地，函数的周期是，把图象上所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到的图象． 探究点3：参数对函数图象的影响 3．探索对图象的影响 下面通过数学实验探索对函数图象的影响．为了研究方便，不妨令， 当时，如图5.6-6，可得的图象． 探究 改变的取值，使取等，你发现图象有什么变化？当取任意正数呢？ 当时，得到函数的图象． 探究点4：综合变换：从到的图象变换 进一步，设射线与以为圆心、2为半径的圆交于．如果单位圆上以为起点的动点，以的转速经过s到达圆周上点，那么点的纵坐标是；相应地，点在以为圆心、2为半径的圆上运动到点，点的纵坐标是． 这样，设是函数图象上的一点，那么点就是函数图象上的相应点，如图5.6-6所示．这说明，把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，就得到的图象． 同理，把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，就得到的图象． 一般地，函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当时)或缩短(当时)到原来的倍(横坐标不变)而得到．从而，函数的值域是，最大值是，最小值是． 例1画出函数的简图． 【变式】函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．    1.（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 3.（2023·全国·模拟预测）为了得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 4.（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（　　） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 5.（23-24高一下·四川绵阳·期中）函数的振幅、周期、初相为（    ） A．、、 B．2、、0 C．2、、 D．2、、0 6.（22-23高一下·云南迪庆·期末）已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 7.（22-23高一下·江西赣州·期中）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 8.（22-23高一下·山东聊城·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ）    A． B． C． D． 9.（24-25高一下·上海·期中）函数的初始相位为 . 10.（多选题）（22-23高一上·陕西渭南·期末）要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 1.（2021·河北保定·一模）已知函数，为了得到函数的图象，只需（    ） A．先将函数图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位 B．先将函数图象上点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位 C．先将函数图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的 D．先将函数图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍 2.（2023高一上·江苏·专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式为 ． 3.（20-21高一下·河南郑州·期中）函数的周期､振幅､初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 4.（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的振幅、频率和初始相位. 1．知识清单： (1)平移变换． (2)伸缩变换． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：探究平移变换时，需要保证x的系数为1. 1. 教材第239页练习第1题. 2.选做题教材第240页习题5.6第1题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.6.1匀速圆周运动的数学模型 导学案 1.通过分析学习对函数图象的影响,提高学生的推理能力,达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次. 2.熟练掌握对函数,图象的影响,达到直观想象核心素养学业质量水平二的层次. 3.理解与的图象之间的变换关系,达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次. 教学重点： 1.能够将y＝sinx的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象. 2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象． 教学难点： 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的综合变换． 2.图象变换与函数解析式变换的内在联系. 导入1：摩天轮的高度变化 同学们，游乐园中的摩天轮是大家熟悉的设施。假设某摩天轮的半径为10米，轮心距离地面20米，摩天轮每分钟匀速旋转1圈。当你坐在摩天轮的座舱里，从最低点开始随摩天轮转动时，你的高度会随时间变化而变化。大家思考一下： (1) 你的高度随时间变化有什么规律？（周期性） (2) 哪些量会影响高度的变化？（半径、轮心高度、旋转速度、初始位置） (3) 如何用数学式子表示高度与时间的关系？ 今天我们就来探究这类周期性变化的数学模型——通过三角函数揭示参数对函数图象的影响，从而解决摩天轮高度变化等实际问题。 【设计意图】以学生熟悉的摩天轮为例，贴近生活实际，直观体现匀速圆周运动的周期性，引出参数（半径、转速、初始位置）的作用，激发学生探究函数模型的兴趣，为后续参数意义的学习埋下伏笔。 【教学建议】教师可播放摩天轮转动的短视频，引导学生观察高度变化的“上升—下降—重复”规律，通过提问“最高点和最低点的高度由什么决定？” “转一圈需要多久？”等问题，自然引出参数、、的现实意义。 导入2：钟摆的摆动规律 家里的摆钟大家都见过，钟摆左右摆动时，摆锤距离竖直中线的水平距离会随时间变化。假设摆钟的摆长固定，摆锤偏离竖直中线的最大水平距离为5厘米，每2秒往返摆动一次。 (1) 摆锤的水平距离随时间变化是否具有周期性？ (2) 如何描述这个距离随时间变化的规律？ (3) 若摆长变短（摆动变快），或初始偏离角度变化，规律会如何改变？ 这类问题的本质是匀速圆周运动的投影问题，今天我们将通过建立三角函数模型，探究参数对函数图象的影响，从而精准描述这类周期性变化。 【设计意图】以钟摆为例，体现周期性变化在生活中的普遍性，通过“摆长” “初始角度”等具体量的变化，引导学生思考参数对规律的影响，为后续探究（周期）、（振幅）、（初相）的意义做铺垫。 【教学建议】教师可演示简单的钟摆模型，让学生观察摆动过程中距离的变化，通过对比“摆长不同” “初始角度不同”的摆动差异，引发学生对参数作用的思考。 问题1：假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动， 你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？请思考与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？ 提示　相关的量有：筒车半径r，筒车转轮的中心到水面的距离h，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置所对应的角φ，筒车转动的时间t，盛水筒距离水面的高度H. 若以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设t＝0时，盛水筒位于点P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过ts后运动到点P(x，y)．于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，并且有y＝rsin(ωt＋φ)， 所以，盛水筒距离水面的高度H与时间t的关系是H＝rsin(ωt＋φ)＋h. 问题筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-1)．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2)． 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？ 因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律． 师生活动：教师利用多媒体展示筒车运动的真实情境，学生进行观察、思考、交流，鼓励学生自主探究.当学生遇到困难时，教师可以提出问题2,采用追问的方式进行引导，让学生在抽象简化的基础上再进行思考分析；若学生能自主地从数学的角度进行分析，则鼓励他们进行展示交流. 【设计意图】通过筒车模型引入，体现数学的实际价值，使学生感受发现问题、提出问题的过程，并尝试分析问题和解决问题。 思考 与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？ 问题2：筒车运动模型中，盛水筒的运动周而复始，具有周期性，可以考虑用三角函数模型去刻画它的运动规律，如果将筒车抽象为圆，盛水筒抽象为圆上的点（如图2）,经过时间,后,盛水筒距离水面的高度H与哪些量有关？它们之间有怎样的关系呢？ 如图5.6-3，将筒车抽象为一个几何图形，设经过后，盛水筒从点运动到点．由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度，由以下量所决定：筒车转轮的中心到水面的距离，筒车的半径，筒转动的角速度，盛水筒的初始位置以及所经过的时间． 下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒运动的数学模型． 如图5.6-3，以为原点，以与水平面平行的直线为轴 建立直角坐标系．设时，盛水筒位于点，以为 始边，为终边的角为，经过s后运动到点． 于是，以为始边，为终边的角为，并且有 ① 所以，盛水筒距离水面的高度与时间的关系是 ② 函数②就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握盛水筒的运动规律．由于是常量，我们可以只研究函数①的性质． 【设计意图】结合筒车问题，建立三角函数的数学模型，表示其上质点的匀速圆周远动，引出本单元的核心内容；让学生经历数学建模的全过程，引导学生学会用数学的眼光看现实世界，用数学的语言描述世界. 上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如(其中)的函数．显然，这个函数由参数所确定．因此，只要了解这些参数的意义，知道它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质． 思考 从解析式看，函数就是函数在时的特殊情形． (1)能否借助我们熟悉的函数的图象与性质研究参数对函数的影响？ (2)函数含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究？ 探究点1：参数对函数图象的影响 1．探索对图象的影响 为了更加直观地观察参数对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数学实验． 如图5.6-4，取，动点在单位圆上以单位角速度按逆时针方向运动． 如果动点以为起点(此时)，经过后运动到点，那么点的纵坐标就等于．以为坐标描点，可得正弦函数的图象． 探究 在单位圆上拖动起点，使点绕点旋转到，你发现图象有什么变化？ 如果使点绕点旋转，或者旋转一个任意角呢？ 当起点位于时，，可得函数的图象． 进一步，在单位圆上，设两个动点分别以，为起点同时开始运动．如果以为起点的动点到达圆周上点的时间为，那么以为起点的动点相继到达点的时间是．这个规律反映在图象上就是：如果是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的点，如图5.6-4所示．这说明，把正弦曲线上的所有点向左平移个单位长度，就得到的图象． 一般地，当动点的起点位置所对应的角为时，对应的函数是，把正弦曲线上的所有点向左(当时)或向右(当时)平移个单位长度，就得到函数的图象． 反思感悟　先平移后伸缩和先伸缩后平移，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对象是减少错误的关键． 探究点2：参数对函数图象的影响 2．探索对图象的影响 下面，仍然通过数学实验来探索．如图5.6-5，取圆的半径．为了研究方便，不妨令．当时，得到的图象． 探究 取，图象有什么变化？取呢？取，图象又有什么变化？当取任意正数呢？ 取时，得到函数的图象． 进一步，在单位圆上，设以为起点的动点，当时到达点的时间为，当时到达点的时间为．因为时动点的转速是时的2倍，所以．这样，设是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的相应点，如图5.6-5所示．这说明，把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，就得到的图象．的周期为，是的周期的倍． 同理，当时，动点的转速是时的倍，以为起点，到达点的时间是时的倍．这样，把图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，就得到的图象．的周期为，是周期的2倍． 一般地，函数的周期是，把图象上所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到的图象． 探究点3：参数对函数图象的影响 3．探索对图象的影响 下面通过数学实验探索对函数图象的影响．为了研究方便，不妨令， 当时，如图5.6-6，可得的图象． 探究 改变的取值，使取等，你发现图象有什么变化？当取任意正数呢？ 当时，得到函数的图象． 探究点4：综合变换：从到的图象变换 进一步，设射线与以为圆心、2为半径的圆交于．如果单位圆上以为起点的动点，以的转速经过s到达圆周上点，那么点的纵坐标是；相应地，点在以为圆心、2为半径的圆上运动到点，点的纵坐标是． 这样，设是函数图象上的一点，那么点就是函数图象上的相应点，如图5.6-6所示．这说明，把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，就得到的图象． 同理，把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，就得到的图象． 一般地，函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当时)或缩短(当时)到原来的倍(横坐标不变)而得到．从而，函数的值域是，最大值是，最小值是． 例1画出函数的简图． 解：先画出函数的图象，再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数的图象，如图5.6-7所示 下面用“五点法”画函数一个周期内的图象．令，则列表(表5．6-1)，描点画图(图5．6-8)． 表：5.6-1 【变式】函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】（1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式； （2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值； （3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求. 【详解】（1）由函数的部分图象可知， ，，，又， ，解得，由可得， ； （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 可得，； （3）因为关于的方程在上有两个不等实根， 即与的图象在有两个交点.    由图象可知符合题意的的取值范围为. 反思感悟　匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了参数A，频率或周期能确定ω，初始位置不同对φ有影响．还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系．    1.（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相位变换及解析式特征、辅助角公式 【分析】先将化为正弦型，然后由平移规律可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：A 2.（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 【答案】D 【知识点】相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征、振幅变换及解析式特征 【分析】由函数解析式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期即可. 【详解】函数， 振幅是2，初相是， 又的系数是，故函数的最小正周期是， 故选：D． 3.（2023·全国·模拟预测）为了得到函数的图象，可将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【知识点】诱导公式五、六、相位变换及解析式特征、三角恒等变换的化简问题 【分析】化简函数的解析式，再根据函数的平移变换法可得函数的变换情况. 【详解】由已知， 设将函数向左平移个单位，得， 所以，解得， 即将函数向左平移个单位长度可得， 故选：D. 4.（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（　　） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】B 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、相位变换及解析式特征 【分析】首先根据图象求函数的解析式，再根据平移规律，即可求解. 【详解】由图象可知，，，得， 由五点法作图可知当时，，得， 所以，， ， 所以可以将向右平移个单位长度，即可得到的图象. 故选：B 5.（23-24高一下·四川绵阳·期中）函数的振幅、周期、初相为（    ） A．、、 B．2、、0 C．2、、 D．2、、0 【答案】B 【知识点】相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征、振幅变换及解析式特征 【分析】求出振幅，周期，初相. 【详解】根据函数解析式知，振幅为，周期为，初相为. 故选：B. 6.（22-23高一下·云南迪庆·期末）已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相位变换及解析式特征 【分析】根据平移变换的性质即可求解. 【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到， 故， 故选：B 7.（22-23高一下·江西赣州·期中）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【知识点】相位变换及解析式特征 【分析】根据三角函数图象平移变换的知识可得答案. 【详解】函数，只需将函数的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象. 故选：A. 8.（22-23高一下·山东聊城·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈.则该质点到轴的距离关于时间的函数解析式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征 【分析】根据三角函数与单位圆的关系，结合周期以及初相的定义以及几何意义，根据“距离”，利用排除法，可得答案. 【详解】由题意可知，函数的周期，初相为，则， 因为表示距离，为非负数，所以BD选项错误； 点的初始位置为，即，此时距离轴的距离为1， 而在运动的过程中距离最大值为2，则， 所以C选项符合，A选项不符合. 故选：C. 9.（24-25高一下·上海·期中）函数的初始相位为 . 【答案】 【知识点】相位变换及解析式特征 【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】因为函数为，所以初始相位为. 故答案为：. 10.（多选题）（22-23高一上·陕西渭南·期末）要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 【答案】BC 【知识点】相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征 【分析】根据三角函数图象平移规律可得答案. 【详解】将图象上所有点向右平移个单位得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到的图象，故B正确，A错误； 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象，再将图象上所有点向右平移个单位得到的图象，故C正确，D错误； 故选：BC. 1.（2021·河北保定·一模）已知函数，为了得到函数的图象，只需（    ） A．先将函数图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位 B．先将函数图象上点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位 C．先将函数图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的 D．先将函数图象向右平移个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍 【答案】B 【知识点】相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征 【分析】直接利用三角函数图像变换可得. 【详解】对于A：先将函数图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到，故A错误； 对于B：先将函数图象上点的横坐标变为原来的，得到，再右移个单位，得到，即为，故B正确； 对于C: 先将函数图象向右平移个单位，得到，再将点的横坐标变为原来的，得到，故C错误； 对于D: 先将函数图象向右平移个单位，得到，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到，故D错误； 【点睛】： 关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a个单位长度那么相位就会改变ωa；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa，那么平移长度不等于a. 2.（2023高一上·江苏·专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】相位变换及解析式特征 【分析】根据三角函数平移规律，即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为． 故答案为： 3.（20-21高一下·河南郑州·期中）函数的周期､振幅､初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 【答案】C 【知识点】相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征、振幅变换及解析式特征 【分析】根据三角函数的特征即可得出选项. 【详解】由， 则，振幅为， 当时，，即初相为. 故选：C 4.（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的振幅、频率和初始相位. 【答案】振幅为，频率为，初始相位为 【知识点】相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征、振幅变换及解析式特征 【分析】利用三角函数振幅、频率和初始相位的定义即可得解. 【详解】对于， 其振幅为，周期， 则频率为，初始相位为. 1．知识清单： (1)平移变换． (2)伸缩变换． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：探究平移变换时，需要保证x的系数为1. 1. 教材第239页练习第1题. 2.选做题教材第240页习题5.6第1题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $