4.4.2.2 对数函数性质的应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦对数函数性质的应用，系统梳理解对数不等式、判断对数型函数单调性及求值域等核心知识点，搭建从对数函数基本概念与图象性质到综合应用的递进式学习支架。 该资料采用习题讲评式教学，通过分类例题、思维建模提炼方法、针对训练与课时检测强化巩固。培养学生分类讨论的逻辑推理能力（数学思维），引导用数学眼光分析函数结构，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

第2课时　对数函数性质的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标]　进一步掌握对数函数的图象和性质,会解简单的对数不等式.会求对数型函数的单调性、值域等问题. 题型(一)　解对数不等式 [例1]　解下列不等式: (1)lox>lo(4-x); (2)logx>1; (3)loga(2x-5)>loga(x-1). 解:(1)由题意可得解得0<x<2. 所以原不等式的解集为(0,2). (2)当x>1时,logx>1=logxx, 解得x<,此时不等式无解. 当0<x<1时,logx>1=logxx, 解得x>,所以<x<1. 综上所述,原不等式的解集为. (3)当a>1时,原不等式等价于 解得x>4. 当0<a<1时,原不等式等价于 解得<x<4. 综上所述,当a>1时,原不等式的解集为(4,+∞); 当0<a<1时,原不等式的解集为. 　　|思|维|建|模| 常见的对数不等式的3种类型 (1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论; (2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解; (3)形如logax>logbx的不等式,可利用图象求解. 　　[针对训练] 1.log3(x+2)>1的解集是 (　 ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(0,1)∪(1,+∞) 解析:选B　log3(x+2)>1⇒log3(x+2)>log33,又函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,所以x+2>3,解得x>1,故不等式的解集为(1,+∞). 2.不等式lo(2x+3)<lo(5x-6)3的解集是　　　　.  解析:易知lo(5x-6)3=lo(5x-6)3=lo(5x-6), 由lo(2x+3)<lo(5x-6)3, 可得lo(2x+3)<lo(5x-6). 又函数y=lox在(0,+∞)上单调递减, 所以可得 解得<x<3. 答案: 3.若实数x满足不等式log2(x2-2x)>log2(x+4),则实数x的取值范围是　　　　.  解析:∵log2(x2-2x)>log2(x+4), ∴ 解得x>4或-4<x<-1. 答案:(-4,-1)∪(4,+∞) 题型(二)　对数型函数的单调性问题 [例2]　求函数f(x)=lo(x2-2x-3)的单调区间. 解:由题意,函数f(x)=lo(x2-2x-3), 设t=x2-2x-3,令t>0,即x2-2x-3>0, 解得x>3或x<-1, 又由t=(x-1)2-4在区间(3,+∞)上单调递增,在区间(-∞,-1)上单调递减, 又由函数y=lot在定义域内单调递减, 结合复合函数单调性的判定方法, 可得函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),单调递减区间为(3,+∞). 　　[变式拓展] 1.若本例函数变为f(x)=loga(x2-2x-3),求f(x)的单调区间. 解:由(1)知t=x2-2x-3在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增, 若0<a<1,则y=logat单调递减, 所以f(x)=loga(x2-2x-3)在(-∞,-1)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减. 若a>1,则y=logat单调递增, 所以f(x)=loga(x2-2x-3)在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增. 2.若本例函数变为y=loga(2-ax),且在[0,1]上单调递减,求a的取值范围. 解:令y=logat,t=2-ax,当0<a<1时,y=logat为减函数,t=2-ax为减函数,不合题意; 当a>1时,y=logat为增函数,t=2-ax为减函数,符合题意,需要2-ax>0在[0,1]上恒成立,即(2-ax)min>0,所以2-a>0,解得a<2,从而1<a<2. 综上,a的取值范围为(1,2). 　　|思|维|建|模| 　　形如f(x)=logag(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域). (2)当底数a>1时,在g(x)>0这一前提下,g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递增区间;g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递减区间. (3)当底数0<a<1时,在g(x)>0这一前提下,g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递减区间,g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递增区间. 　　[针对训练] 4.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,0] 　　B.[-1,0] C.[-1,1] 　　D.[0,+∞) 解析:选B　若函数f(x)在R上单调递增,则需满足解得-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0].故选B. 5.(1)求函数y=lo(4x-x2)的单调区间; (2)已知函数f(x)=log2(x2+ax+3)-2在(1,+∞)上单调递增,求a的取值范围. 解:(1)由4x-x2>0,得函数的定义域是(0,4). 令t=4x-x2(0<x<4), 则y=lot. ∵t=4x-x2=-(x-2)2+4, ∴t=4x-x2(0<x<4)的单调递减区间是[2,4),单调递增区间是(0,2). 又y=lot在(0,+∞)上是减函数, ∴函数y=lo(4x-x2)的单调递减区间是(0,2),单调递增区间是[2,4). (2)因为函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,又函数y=log2x在定义域上单调递增, 所以u=x2+ax+3在(1,+∞)上单调递增,且u>0在(1,+∞)上恒成立, 所以-≤1且12+1×a+3≥0, 解得a≥-2, 即a的取值范围为[-2,+∞). 题型(三)　对数函数性质的综合 [例3]　已知函数f(x)=log2(x+1)-2. (1)若f(x)>0,求x的取值范围; (2)若x∈(-1,3],求f(x)的值域. 解:(1)∵x+1>0,∴x>-1.函数f(x)的定义域为(-1,+∞). ∵f(x)>0,即log2(x+1)-2>0, ∴log2(x+1)>2.∴x+1>4. ∴x>3.∴x的取值范围是(3,+∞). (2)∵x∈(-1,3],∴x+1∈(0,4]. ∴log2(x+1)∈(-∞,2]. ∴log2(x+1)-2∈(-∞,0]. ∴f(x)的值域为(-∞,0]. |思|维|建|模| (1)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围,然后利用对数函数的单调性求解; (2)判断函数的奇偶性,一定要先求函数的定义域,再研究f(x)与f(-x)的关系. 　　[针对训练] 6.已知函数f(x)=x-log2(4x+a)(a∈R且a≥0). (1)若函数f(x)为奇函数,求实数a的值; (2)对任意的x∈,不等式f(x)-f(-x)≤1恒成立,求实数a的取值范围. 解:(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0对定义域内每一个元素x恒成立. 即f(-x)+f(x)=-log2(4-x+a)-x-log2(4x+a)+x=-log2[(4x+a)(4-x+a)]=-log2[1+a(4x+4-x)+a2]=0, 则1+a(4x+4-x)+a2=1, 即a(4x+4-x+a)=0. 又因为a≥0,所以4x+4-x+a>0,故a=0. (2)因为f(x)=log2, 所以f(-x)=log2=log2. 由f(x)-f(-x)=log2≤1,得0<≤2, 又a≥0,故只需要1+a·4x≤2·4x+2a,即a(4x-2)≤2·4x-1对任意的x∈恒成立. 因为x∈,所以4x-2>0,故a≤=2+对任意的x∈恒成立. 因为y=2+在上单调递减, 所以=,故a≤. 综上所述,实数a的取值范围为. [课时检测] 1.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是 (　 ) A.(-∞,7] B.(2,7] C.[7,+∞) D.(2,+∞) 解析:选B　由lg(2x-4)≤1,得0<2x-4≤10,即2<x≤7,故选B. 2.(多选)若loga2<logb2<0,则下列结论正确的是 (　 ) A.0<b<1 B.0<a<1 C.a>b D.b>a>1 解析:选ABC　因为loga2<0,logb2<0,所以0<a<1,0<b<1.又loga2<logb2,所以a>b. 3.函数y=x+log2x(x≥1)的值域为 (　 ) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.[1,+∞) D.[-1,+∞) 解析:选C　由于y=x和y=log2x在[1,+∞)上均是增函数,所以函数y=x+log2x(x≥1)在[1,+∞)上是增函数,所以函数的值域为[1,+∞). 4.已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 (　 ) A.[5,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,2] D.(-∞,-1] 解析:选A　由于f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,而y=lg x在(0,+∞)上单调递增,函数y=x2-4x-5=(x-2)2-9在(2,+∞)上单调递增,所以所以a≥5,故a的取值范围是[5,+∞).故选A. 5.(多选)如果函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上单调递减,那么 (　 ) A.f(x)在(1,+∞)上单调递增且无最大值 B.f(x)在(1,+∞)上单调递减且无最小值 C.f(x)在定义域内是偶函数 D.f(x)的图象关于直线x=1对称 解析:选AD　由|x-1|>0,得函数y=loga|x-1|的定义域为{x|x≠1}.设g(x)=|x-1|=则g(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且g(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,D正确;因为f(x)=loga|x-1|在(0,1)上单调递减,所以a>1,所以f(x)=loga|x-1|在(1,+∞)上单调递增且无最大值,A正确,B错误;又f(-x)=loga|-x-1|=loga|x+1|≠f(x),所以C错误.故选AD. 6.(多选)关于函数y=log0.4(-x2+3x+4),下列说法正确的是 (　 ) A.定义域为(-1,4) B.最大值为2 C.最小值为-2 D.单调递增区间为 解析:选ACD　令-x2+3x+4>0,得-1<x<4,即函数y=log0.4(-x2+3x+4)的定义域为(-1,4),故A正确;∵-x2+3x+4=+,∴-x2+3x+4∈,∴y=log0.4(-x2+3x+4)∈[-2,+∞),故B错误,C正确;令t=-x2+3x+4,则其在上单调递增,在上单调递减,又y=log0.4t在(0,+∞)上单调递减,由复合函数的单调性得y=log0.4(-x2+3x+4)的单调递增区间为,故D正确. 7.(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a= (　 ) A.-1 B.0 C. D.1 解析:选B　法一　设g(x)=ln,易知g(x)的定义域为∪,且g(-x)=ln=ln=-ln=-g(x),所以g(x)为奇函数.若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则y=x+a也应为奇函数,所以a=0,故选B. 法二　因为f(x)=(x+a)ln为偶函数,f(-1)=(a-1)ln 3,f(1)=(a+1)ln=-(a+1)ln 3,所以(a-1)ln 3=-(a+1)ln 3,解得a=0,故选B. 8.(5分)函数f(x)=log2(1+2x)的单调递增区间是　　　　.  解析:易知函数f(x)的定义域为,因为函数y=log2x和y=1+2x都是增函数,所以f(x)的单调递增区间是. 答案: 9.(5分)若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为　　　　　.  解析:由题意得f(x)在[0,1]上单调递增或单调递减,∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得,即f(0)+f(1)=a,即1+a+loga2=a.∴loga2=-1.解得a=. 答案: 10.(5分)(2022·全国乙卷)若f(x)=ln+b是奇函数,则a=　　　　,b=　　　　.  解析:因为函数f(x)为奇函数,所以其定义域关于原点对称.由a+≠0可得,(1-x)(a+1-ax)≠0,所以x==-1,解得a=-,即函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),再由f(0)=0可得,b=ln 2.即f(x)=ln+ln 2=ln,在定义域内满足f(-x)=-f(x),符合题意. 答案:-　ln 2 11.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,f=0,则不等式f>0的解集为　　　　　　　　.  解析:∵f(x)是R上的偶函数,∴它的图象关于y轴对称.∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,0]上单调递减,由f=0,得f=0,函数的大致图象如图所示. ∴f>0⇒lox <-或lox>,解得x>2或0<x<,∴x∈∪(2,+∞). 答案:∪(2,+∞) 12.(10分)已知函数f(x)=loga(2-2x)+loga(x+5). (1)求函数f(x)的定义域;(3分) (2)若函数f(x)的最大值为2,求a的值.(7分) 解:(1)令解得-5<x<1, 所以函数f(x)的定义域为{x|-5<x<1}. (2)函数f(x)=loga(2-2x)+loga(x+5)=loga(-2x2-8x+10), 设t(x)=-2x2-8x+10=-2(x+2)2+18, 则t(x)在(-5,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减, 因为函数f(x)有最大值,根据复合函数的单调性性质,所以a>1, 所以函数f(x)也在(-5,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减, 故函数f(x)的最大值为f(-2)=loga18=2, 即a=3. 13.(10分)已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x). (1)求f(x)的定义域;(3分) (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3分) (3)求不等式f(x)>1的解集.(4分) 解:(1)要使函数f(x)有意义,则解得-2<x<2, 故所求函数f(x)的定义域为(-2,2). (2)f(x)为奇函数. 证明:由(1)知f(x)的定义域为(-2,2), 设∀x∈(-2,2),则-x∈(-2,2), 且f(-x)=lg(-x+2)-lg(x+2)=-f(x),故f(x)为奇函数. (3)因为f(x)>1,所以f(x)=lg>1, 即lg>lg 10,可得>10,解得x>, 又-2<x<2,所以<x<2, 所以不等式f(x)>1的解集是. 14.(10分)已知函数y=f(x)的图象与g(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称,且g(x)的图象过点(9,2). (1)求函数f(x)的解析式;(4分) (2)若f(3x-1)>f(-x+5)成立,求x的取值范围.(6分) 解:(1)因为g(9)=loga9=2,解得a=3,所以g(x)=log3x. 因为函数y=f(x)的图象与g(x)=log3x的图象关于x轴对称,所以f(x)=lox. (2)由函数f(x)=lox在(0,+∞)上是减函数,因为f(3x-1)>f(-x+5), 所以解得<x<, 即x的取值范围为. 15.(10分)已知函数f(x)=lo的图象关于原点对称,其中a为常数. (1)求a的值;(5分) (2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+lo(x-1)<m恒成立,求实数m的取值范围.(5分) 解:(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称, ∴函数f(x)的定义域关于原点对称. ∵>0,∴(x-1)(1-ax)>0. 令(x-1)(1-ax)=0,得x1=1,x2=, ∴=-1,即a=-1, 经验证,a=-1满足题意. (2)∵f(x)+lo(x-1)=lo+lo(x-1)=lo(1+x). ∴当x>1时,lo(1+x)<-1. 又当x∈(1,+∞)时,f(x)+lo(x-1)<m恒成立,∴m≥-1. 即实数m的取值范围是[-1,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $