4.4.2.1 对数函数的图象和性质-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦对数函数的图象和性质这一核心知识点，通过类比指数函数的研究方法，系统梳理定义域、值域、过定点、单调性等性质，同时衔接反函数的概念与图象对称特点，构建完整的知识学习支架。 资料采用梯度进阶式教学设计，通过“微点助解”细化图象特点与底数影响，题型示例与思维建模培养数学思维的推理能力和数学眼光的几何直观，基础训练与课时检测结合，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

　4.4.2　对数函数的图象和性质 第1课时　对数函数的图象和性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.初步掌握对数函数的图象和性质.　　　　2.会类比指数函数研究对数函数的性质. 3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用. 4.了解反函数的概念与图象特点. 1.对数函数的图象和性质 项目 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0,+∞) 值域 R 过定点 (1,0),即x=1时,y=0 函数值 的变化 当0<x<1时,y>0,当x>1时,y<0 当0<x<1时,y<0,当x>1时,y>0 单调性 减函数 增函数 |微|点|助|解| (1)注意点:讨论对数函数的性质时,若底数a的大小不确定,必须分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. (2)图象的特点:函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象无限靠近y轴,但永远不会与y轴相交;在同一坐标系内,y=logax(a>0,且a≠1)的图象与y=lox(a>0,且a≠1)的图象关于x轴(即直线y=0)对称. (3)底数对图象的影响:比较图象与y=1的交点,此时y=1与对数函数图象交点的坐标为(a,1).交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大,即沿着直线y=1由左向右看,底数a增大(如图). 2.反函数 (1)定义 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换. (2)性质 ①互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同. ②互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0). (　 ) (2)函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上具有单调性. (　 ) (3)由函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度可得y=log2x+1的图象. (　 ) 答案:(1)√　(2)√　(3)× 2.已知函数f(x)=logax的图象如图所示,则a的取值可能是 (　 ) A.10 　　　　B. C. 　　　　D. 解析:选A　由函数图象的变化趋势可知,底数a>1,故选A. 3.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f的值为 (　 ) A.-log23 B.-log32 C. D. 解析:选B　由已知,得y=f(x)=log3x,所以f=log3=-log32. 4.若函数f(x)=log(a+1)x在(0,+∞)上单调递减,则a的取值范围为　　　　　　.  解析:因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以0<a+1<1,即-1<a<0. 答案:(-1,0) 题型(一)　对数函数的图象及应用 [例1]　函数y=|lg(x+1)|的图象是 (　 ) 解析:选A　由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lg x的图象左移一个单位长度而得到,函数y=lg x的图象与x轴的交点是(1,0),故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0),即函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的公共点是(0,0),显然四个选项只有A选项满足. [例2]　已知函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3,5),则lg m+lg n的值是　　　　.  解析:因为函数f(x)=loga(x-m)+n的图象恒过定点(3,5),故3-m=1,且n=5,则m=2,n=5.所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1. 答案:1 　　[变式拓展] 若本例1中的函数y=|lg(x+1)|变为y=f(x)=|log3x|,若f(a)>f(2),则a的取值范围为　　　　　　　.  解析:作出函数f(x)的图象,如图所示.由于f(2)=f,故结合图象可知,当f(a)>f(2)时,a的取值范围为∪(2,+∞). 答案:∪(2,+∞) 　　|思|维|建|模| (1)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,0),即当x=1时,y=0,令其真数等于1,可得图象过定点的坐标. (2)对数型函数图象的变换方法 ①作y=f(|x|)的图象时,保留y=f(x)(x>0)的图象不变,当x<0时,y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称. ②作y=|f(x)|的图象时,保留y=f(x)的x轴及上方图象不变,把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可. ③有关对数函数平移也符合“左加右减,上加下减”的规律. ④y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称,y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称. 　　[针对训练] 1.设a与b均为实数,a>0且a≠1,已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则a+2b的值为 (　 ) A.6 B.8 C.10 D.12 解析:选C　令f(x)=y=loga(x+b),由题图可知,f(0)=logab=2,f(-3)=loga(-3+b)=0,即解得故a+2b=2+4×2=10,故选C. 2.函数f(x)=loga|x|+1(a>1)的图象大致为 (　 ) 解析:选C　∵函数f(x)=loga|x|+1(a>1)是偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称,当x>0时,f(x)=logax+1单调递增;当x<0时,f(x)=loga(-x)+1单调递减,又∵图象过(1,1),(-1,1)两点,结合选项可知选C. 3.若函数y=loga(x+b)+c(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b=　　　,c=　　　.  解析:∵函数的图象恒过定点(3,2),∴将(3,2)代入y=loga(x+b)+c,得2=loga(3+b)+c.又当a>0,且a≠1时,loga1=0恒成立,∴c=2,3+b=1.∴b=-2,c=2. 答案:-2　2 题型(二)　比较大小问题 [例3]　比较下列各组数的大小. (1)lo与lo; (2)lo3与lo3; (3)loga2与loga3. 解:(1)y=lox在(0,+∞)上单调递减, 因为<,所以lo>lo. (2)法一　lo3-lo3 =-=. 因为y=lg x是增函数, 所以lg<lg<0<lg 3. 所以lo3-lo3<0.所以lo3<lo3. 法二　因为在x∈(1,+∞)上,y=lox的图象在y=lox图象的上方, 所以lo3<lo3. (3)当a>1时,y=logax为增函数,所以loga2<loga3; 当0<a<1时,y=logax为减函数, 所以loga2>loga3. |思|维|建|模| 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性. (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同,找中间量. [提醒]　比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小. 　　[针对训练] 4.已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析:选D　lo=log23>log2e,则c>a.因为b=ln 2=<1<log2e=a,所以a>b.因此c>a>b,D正确. 5.已知lom<lon<0,则 (　 ) A.n<m<1 B.m<n<1 C.1<m<n D.1<n<m 解析:选D　因为0<<1,lom<lon<0,所以m>n>1.故选D. 题型(三)　反函数 [例4]　若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,函数f(x)=,则f(2)+g(4)= (　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选D　法一　∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,f(x)==2x,∴g(x)=log2x,∴f(2)+g(4)=22+log24=6. 法二　∵f(x)=,∴f(2)=4,故函数f(x)的图象经过点(2,4).∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,∴函数g(x)的图象经过点(4,2).∴g(4)=2,∴f(2)+g(4)=4+2=6. |思|维|建|模| 互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数. (2)互为反函数的定义域与值域互换. (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 　　[针对训练] 6.函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(,a),则a的值为 (　 ) A.2 B. C.2或 D.3 解析:选B　法一　函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数为y=logax(a>0,且a≠1),故y=logax的图象过点(,a),则a=loga=. 法二　∵函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(,a),∴函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(a,),∴aa==,即a=. 7.函数y=log3x的反函数的定义域为 (　 ) A.(0,+∞) B. C.(1,4) D.[-1,4] 解析:选D　由y=log3x,可知y∈[-1,4].所以反函数的定义域为x∈[-1,4]. [课时检测] 1.若函数f(x)=2x的反函数是g(x),则g(2)的值为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选A　易知g(x)=log2x,因此g(2)=log22=1. 2.已知a=log20.3,b=log3π,c=log73,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a<c<b B.a<b<c C.c>a>b D.b>a>c 解析:选A　∵a=log20.3<log21=0,∴a<0.∵b=log3π>log33=1,∴b>1.∵0=log71<log73<log77=1,∴0<c<1.故a<c<b. 3.函数f(x)=loga(x+2)(0<a<1)的图象必不过 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选A　因为f(x)=loga(x+2)(0<a<1),所以其图象如图所示,故选A. 4.已知log2a+log2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=logb的图象可能是 (　 ) 解析:选B　由log2a+log2b=0,即为log2ab=0,即有ab=1;当a>1时,0<b<1,函数f(x)=ax在R上为增函数,g(x)=logb在(0,+∞)上为增函数,选项B满足;当0<a<1时,b>1,函数f(x)=ax在R上为减函数,g(x)=logb在(0,+∞)上为减函数,四个图象均不满足,在同一坐标系中的图象只能是B. 5.(多选)已知a=log32,b=ln 2,c=lo2,d=,则 (　 ) A.a<b B.b<c C.a<d D.b>d 解析:选AD　易知0<a<b<1,A正确;由于c=lo2<0,知B错误;利用函数单调性,得a=log32>log3==d,则C错误;又b=ln 2>ln==d,知D正确. 6.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是 (　 ) A.x2<x3<x1 B.x1<x3<x2 C.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1 解析:选A　分别作出三个函数的大致图象,如图所示.由图可知,x2<x3<x1. 7.已知函数f(x)的图象与函数y=2x的图象关于直线y=x对称,函数h(x)是奇函数,且当x>0时,h(x)=f(x)-x,则h(-8)= (　 ) A.-4 B.4 C.-5 D.5 解析:选D　由于函数f(x)的图象与函数y=2x的图象关于直线y=x对称,则f(x)=log2x.所以当x>0时,h(x)=log2x-x.因为h(8)=log28-8=-5,又h(x)为奇函数,所以h(-8)=-h(8)=5. 8.(5分)函数f(x)=ax-2+loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象必经过点　　　　　.  解析:当x=2时,f(2)=a0+loga1+1=2,所以图象必经过点(2,2). 答案:(2,2) 9.(5分)已知函数y=log2(x+2)+m的图象不过第四象限,则实数m的取值范围为　　　　.  解析:由题意,得log22+m≥0,所以m≥-1. 答案:[-1,+∞) 10.(5分)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图象经过点,则a=　　　　　.  解析:由题意得f(x)=logax(a>0,且a≠1,x>0), 因为f(x)的图象过点,所以loga=.所以=.所以a2=2.所以a=(负值舍去). 答案: 11.(5分)设函数f(x)满足:①对∀x,y∈(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y);②∀x,y∈(0,+∞),且x≠y,都有>0,则该函数的解析式可以是　　　　　　　　.  解析:因为函数f(x)满足对∀x,y∈(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),所以考虑函数f(x)=logax(a>0且a≠1).因为函数f(x)满足∀x,y∈(0,+∞),且x≠y,都有>0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=logax(a>1)符合题意. 答案:f(x)=logax(a>1)(答案不唯一) 12.(10分)比较下列各组数的大小. (1)log0.13与log0.1π;(2分) (2)log45与log65;(2分) (3)3log45与2log23;(3分) (4)loga(a+2)与loga(a+3)(a>0,且a≠1).(3分) 解:(1)∵函数y=log0.1x是减函数,π>3, ∴log0.13>log0.1π. (2)法一　∵函数y=log4x和y=log6x都是增函数, ∴log45>log44=1,log65<log66=1. ∴log45>log65. 法二　画出y=log4x和y=log6x在同一坐标系中的图象,如图所示, 由图可知log45>log65. (3)∵3log45=log453=log4125==log2125=log2, 2log23=log232=log29, 又函数y=log2x是增函数,>9, ∴log2>log29,即3log45>2log23. (4)∵a+2<a+3, 故①当a>1时,loga(a+2)<loga(a+3); ②当0<a<1时,loga(a+2)>loga(a+3). 13.(10分)已知函数f(x)=log3(ax+b)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式与定义域;(4分) (2)函数f(x)的图象怎样由函数y=log3(2x)的图象得到?(3分) (3)求函数f(x)在[1,4]上的最大值和最小值.(3分) 解:(1)将点A(2,1),B(5,2)的坐标代入f(x), 得得 解得a=2,b=-1, 则f(x)=log3(2x-1),定义域为. (2)f(x)=log3(2x-1)=log32, ∴f(x)的图象由y=log3(2x)的图象向右平移个单位长度得到. (3)易知f(x)在[1,4]上单调递增, ∴f(x)max=f(4)=log37,f(x)min=f(1)=log31=0. 14.(10分)已知f(x)=|lg x|,且>a>b>1,试借助图象比较f(a),f(b),f(c)的大小. 解:先作出函数y=lg x的图象,再将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,于是得到f(x)=|lg x|的图象(如图).由图象可知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 由>a>b>1,得f>f(a)>f(b). 因为f==|-lg c|=|lg c|=f(c). 所以f(c)>f(a)>f(b). 15.(10分)已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上. (1)写出函数g(x)的解析式;(5分) (2)当x∈[0,1)时总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围.(5分) 解:(1)设P(x,y)为g(x)图象上的任意一点, 则Q(-x,-y)是点P关于原点的对称点. ∵Q(-x,-y)在f(x)的图象上,∴-y=loga(-x+1),即y=g(x)=-loga(1-x). (2)∵f(x)+g(x)≥m,即loga≥m. 设F(x)=loga=loga,x∈[0,1),由题意知,只要F(x)min≥m即可. ∵F(x)在[0,1)上是增函数,∴F(x)min=F(0)=0. 故m的取值范围为(-∞,0]. 学科网（北京）股份有限公司 $