4.4.1 对数函数的概念-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学对数函数概念这一核心知识点，通过类比指数函数构建学习支架，系统梳理对数函数的定义（y=logₐx，a>0且a≠1，定义域(0,+∞)）、与指数函数的互化关系、定义域求解原则及实际应用建模，形成从概念理解到问题解决的完整脉络。 该资料采用“逐点理清式”教学设计，通过“多维理解+微点助解+微点练明”模块，如概念辨析题培养抽象能力（数学眼光），定义域不等式组求解强化推理意识（数学思维），销售利润奖励方案建模发展模型观念（数学语言）。课中助力概念深化，课后课时检测可帮助学生查漏补缺。

4.4　对数函数 4.4.1　对数函数的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 类比指数函数来学习对数函数,会求与对数函数有关的定义域问题,并能解决简单的实际问题. 逐点清(一)　对数函数的概念 [多维理解] 一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞). |微|点|助|解| (1)同指数函数一样,对数函数仍然采用形式定义,即满足以下三个条件: ①底数a>0且a≠1;②真数是x;③对数式的系数是1. (2)由指数式与对数式的互化过程知道对数函数的自变量x恰是指数函数的函数值y,对数函数的函数值y恰是指数函数的自变量x,所以对数函数的定义域为(0,+∞),值域为R. [微点练明] 1.下列函数是对数函数的是 (　 ) A.y=lox B.y=log3(x+1) C.y=logx2 D.y=log3x+2 答案:A 2.设f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(2)=,则f= (　 ) A.2 B.-2 C.- D. 答案:C 3.函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a=　　　　　　　.  解析:a2-a+1=1,解得a=0或a=1. 又a+1>0,且a+1≠1,所以a=1. 答案:1 4.已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3),则f=　　　　　　.  解析:设对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1), ∵f(x)的图象过点P(8,3), ∴3=loga8,∴a3=8,即a=2. ∴f(x)=log2x. ∴f=log2=log22-5=-5. 答案:-5 逐点清(二)　与对数函数有关的定义域问题 [多维理解] 1.求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时,被开方数非负. (3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1. 2.求函数定义域的步骤 (1)列出使函数有意义的不等式(组); (2)化简并解出自变量的取值范围; (3)确定函数的定义域,写成集合或区间的形式. [微点练明] 1.函数f(x)=的定义域是 (　 ) A.(-∞,1) B.(0,+∞) C.(0,1) D.(-∞,0] 解析:选D　由得 解得x≤0,所以函数的定义域为(-∞,0]. 2.函数y= +的定义域为　　　　.  解析:由题意,可得故即<x<2.故函数y=+的定义域为. 答案: 3.求下列函数的定义域. (1)y=loga(3-x)+loga(3+x); (2)y=log2(16-4x); (3)y=loga[(x+3)(x-3)]. 解:(1)由 得-3<x<3. 故函数的定义域是{x|-3<x<3}. (2)由16-4x>0,得4x<16=42, 由指数函数的单调性得x<2. 故函数y=log2(16-4x)的定义域为{x|x<2}. (3)由(x+3)(x-3)>0, 解得x<-3或x>3. 故函数y=loga[(x+3)(x-3)]的定义域为{x|x<-3或x>3}. 逐点清(三)　对数函数的实际应用问题 　　实际问题中对数模型要建模准确,计算时充分利用对数运算性质,注意变量的实际意义. [典例]　某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过20万元时,按销售利润的10%进行奖励;当销售利润超过20万元时,若超出A万元,则超出部分按2log2(A+5)进行奖励,记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元). (1)写出奖金y关于销售利润x的关系式; (2)如果业务员老江获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元? 解:(1)根据题意可知,当销售利润0≤x≤20时,y=0.1x; 当x>20时,y=0.1×20+2log2(x-20+5)=2+2log2(x-15). 所以可得奖金y关于销售利润x的关系式为y= (2)易知当0≤x≤20时,奖金不可能为10万元, 所以令2+2log2(x-15)=10,即log2(x-15)=4,解得x=31. 即业务员老江的销售利润是31万元. |思|维|建|模| 利用指数、对数函数解决应用问题 (1)列出指数关系式x=ay,并根据实际问题确定变量的范围; (2)利用指、对互化转化为对数函数y=logax; (3)代入自变量的值后,利用对数的运算性质、换底公式计算. 　　[针对训练] 人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,其中0 dB是人们能听到的等级最低的声音.一般地,如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB,则有f(x)=alg(a为常数).已知人正常说话时声音约为60 dB,嘈杂的马路声音等级约为90 dB,而90 dB的声音强度是60 dB的声音强度的1 000倍. (1)求函数f(x)的解析式; (2)喷气式飞机起飞时,声音约为140 dB,计算喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍? 解:(1)设90 dB的声音强度是x1,60 dB的声音强度是x2,则=1 000, 所以所以30=alg, 所以30=3a,所以a=10, 所以f(x)=10lg(x∈(0,+∞)). (2)设喷气式飞机起飞时的声音强度为x3, 所以所以8=lg, 所以=108, 故喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的108倍. [课时检测] 1.下列函数是对数函数的是 (　 ) A.y=3log3x B.y=loga(2a)(a>0,且a≠1) C.y=logax2(a>0,且a≠1) D.y=ln x 解析:选D　判断一个函数是否为对数函数,其关键是看其是否具有“y=logax”的形式,A、B、C错误,D正确. 2.某种动物的数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的函数关系式为y=alog2(x+1),若这种动物第1年有100只,则第7年它们的数量为 (　 ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 解析:选A　由题意,知100=alog2(1+1),得a=100.则当x=7时,y=100log2(7+1)=100×3=300. 3.下列函数相等的是 (　 ) A.y=log3x2与y=2log3x B.y=lg 10x与y=10lg x C.y=log3x2与y=2log3|x| D.y=lg x与y=ln x 解析:选C　由函数的三要素可知,只有C成立. 4.已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(-a)等于 (　 ) A.b B.-b C. D.- 解析:选B　∵f(a)=lg=b,∴f(-a)=lg=-b. 5.函数y=+lg(5-3x)的定义域是 (　 ) A. B. C. D. 解析:选B　由题设,得解得1≤x<.所以函数的定义域为. 6.(多选)已知函数f(x)=若f(x)=2,则x= (　 ) A.0 B.2 C.4 D.6 解析:选AC　由f(x)=2,得或解得x=0或x=4. 7.函数f(x)=的定义域为(0,10],则实数a的值为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析: 选A　由已知,得a-lg x≥0的解集为(0,10],由a-lg x≥0,得lg x≤a,又当0<x≤10时,lg x≤1,所以a=1. 8.(多选)函数y=log(a-2)[(5-a)(x2+1)]中,实数a的取值可能是 (　 ) A. B.3 C.4 D.5 解析:选AC　因为x2+1>0,所以根据对数函数的定义得即所以2<a<3或3<a<5,故选AC. 9.(多选)下列各组函数中,是相同函数的是 (　 ) A.f(x)= 与g(x)=x B.f(x)=2ln x与g(x)=ln x2 C.f(x)=22x与g(x)=4x D.f(x)=lg与g(x)=lg x-lg(x-1) 解析:选AC　对于A,f(x)==x与g(x)=x的定义域都为R,对应关系相同,二者是相同函数;对于B,函数f(x)=2ln x定义域是(0,+∞),函数g(x)=ln x2的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,不是相同函数;对于C,f(x)=22x=4x与g(x)=4x的定义域都为R,对应关系相同,二者是相同函数;对于D,函数f(x)=lg的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞),函数g(x)=lg x-lg(x-1)的定义域为(1,+∞),定义域不同,不是相同函数. 10.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式:L=5+lg V.已知五分记录法的评判范围为[4.0,5.2],设lg a=1.4,则五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的倍数为 (　 ) A. B. C. D. 解析:选C　设五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为V1,最小值对应的小数记录法数据为V2,则,两式相减得1.2=lg V1-lg V2=lg,则=101.2.由lg a=1.4,可得a=101.4,所以=(102.4=(10×101.4=,故C正确,检验可知其余选项均不符合. 11.(5分)若函数f(x)=(a2+a-5)logax是对数函数,则a=　　　　.  解析:由a2+a-5=1得a=-3或a=2. 因为a>0且a≠1,所以a=2. 答案:2 12.(5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=　　　　　.  解析:由f(3)=1得log2(32+a)=1,所以9+a=2.解得a=-7. 答案:-7　 13.(5分)“每天进步一点点”可以用数学来诠释,假如你今天的数学水平是1,以后每天比前一天增加千分之五,则经过y天之后,你的数学水平x与y之间的函数关系式是　　　　　.  解析:由题意得x=(1+5‰)y=1.005y,化为对数函数得y=log1.005x. 答案:y=log1.005x 14.(10分)求下列函数的定义域: (1)y=log(3x-1)5;(5分) (2)y=.(5分) 解:(1)要使函数式有意义,需 解得x>,且x≠.所以函数y=log(3x-1)5的定义域是. (2)要使函数式有意义,需解得x<4,且x≠3.所以函数y=的定义域是{x|x<4,且x≠3}. 15.(10分)已知f(x)=log2(x2-2ax+a+2). (1)若f(1)=2,求a的值;(5分) (2)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围.(5分) 解:(1)f(1)=log2(3-a)=2,∴3-a=22=4,解得a=-1. (2)∵f(x)的定义域为R, ∴x2-2ax+a+2>0对∀x∈R恒成立, ∴Δ=(-2a)2-4(a+2)<0,即a2-a-2<0,解得-1<a<2,故a的取值范围为(-1,2). 学科网（北京）股份有限公司 $