4.2.2.1 指数函数的图象和性质-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦指数函数的图象和性质核心知识点，通过表格系统对比0<a<1与a>1时的定义域、值域、过定点、单调性等关键性质，搭建从基础概念到定义域值域应用的学习支架，衔接函数基本概念与后续复合函数学习。 该资料采用梯度进阶式设计，含基础落实训练、题型分类（图象识别、应用及定义域值域）及课时检测。通过“思维建模”提炼解题策略，如例1用数形结合比较底数大小培养数学眼光，例5换元法求值域发展数学思维，课中助力分层教学，课后检测帮助学生查漏补缺。

4.2.2　指数函数的图象和性质 第1课时　指数函数的图象和性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标]　掌握指数函数的图象和性质,学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题. 指数函数的图象与性质 项目 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点 (0,1),即x=0时,y=1 函数值 的变化 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 当x<0时,0<y<1; 当x>0时,y>1 单调性 减函数 增函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称 |微|点|助|解| (1)当底数a大小不确定时,必须分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的图象和性质. (2)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在x轴上方. (3)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a),,只要确定了这三个点的坐标,即可快速地画出指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的大致图象. (4)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称,根据这种对称性,就可以利用一个函数的图象,画出另一个函数的图象. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)将函数y=3x的图象向右平移2个单位长度得到y=3x-2的图象. (　 ) (2)函数y=ax(a>0,且a≠1)的最小值为0. (　 ) (3)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上单调递增. (　 ) (4)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)不具备奇偶性. (　 ) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.函数y=3-x的图象是 (　 ) 答案:B 3.若函数y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数,则a的取值范围是　　　　.  解析:结合指数函数的性质可知,若y=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数,则a>1. 答案:(1,+∞) 4.已知函数y=2+ax-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点,则定点的坐标为　　　　.  答案:(2,3) 5.函数f(x)=2x+3的值域为　　　　.  解析:因为2x>0,所以2x+3>3,即函数f(x)=2x+3的值域为(3,+∞). 答案:(3,+∞) 题型(一)　指数函数的图象 [例1]　如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是 (　 ) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 解析:选B　作直线x=1,由下到上分别与指数函数②,①,④,③相交(图略),所以b<a<1<d<c. [例2]　若b<-1,则函数y=ax+b(a>1)的图象必定不经过 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选B　y=ax+b的图象是由指数函数y=ax(a>1)向下平移|b|个单位长度得到,且b<-1.如图,故选B. 　　|思|维|建|模|　处理函数图象问题的策略 抓住特殊点 指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点 巧用图象变换 函数图象的平移变换(左右平移、上下平移) 利用函数的性质 利用函数奇偶性与单调性的图象特点判断 　　[针对训练] 1.函数y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是 (　 ) 解析:选D　由题意知a>0且a≠1,则函数y=x+a单调递增.当0<a<1时,y=ax单调递减,直线y=x+a在y轴上的截距大于0且小于1;当a>1时,y=ax单调递增,直线y=x+a在y轴上的截距大于1.只有D符合. 2.(多选)函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象可能是 (　 ) 解析:选CD　当a>1时,∈(0,1),因此x=0时,0<y=1-<1,且y=ax-在R上单调递增,故C符合,A、B不符合;当0<a<1时,>1,因此x=0时,y<0,且y=ax-在R上单调递减,故D符合.故选CD. 题型(二)　指数函数图象的应用 [例3]　若函数f(x)=2ax+m-n(a>0,且a≠1)的图象恒过点(-1,4),则m+n等于 (　 ) A.3 B.1 C.-1 D.-2 解析:选C　由已知,得m-1=0,2·am-1-n=4,解得m=1,n=-2.所以m+n=-1. [例4]　要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为 (　 ) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1) C.(-∞,-3] D.[-3,+∞) 解析:选C　由已知,得3+t≤0,解得t≤-3. |思|维|建|模| 与指数函数相关的图象问题的解题策略 　　根据函数图象特征,确定指数型函数y=ax+b+c(a>0,且a≠1)中的参数,可借助图象的升、降确定a的范围,利用函数图象与y轴的交点,确定c的范围,也可利用图象的平移变化确定c的范围. 　　[针对训练] 3.已知函数f(x)=+b,且函数图象不经过第一象限,则b的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(-∞,-2] D.(-∞,-2) 解析:选C　由已知,得f(0)=2+b≤0,解得b≤-2.故选C. 4.已知直线y=2a与函数y=|2x-2|的图象有两个公共点,求实数a的取值范围. 解:画出函数y=|2x-2|的图象如图所示.要使直线y=2a与该图象有两个公共点,则有0<2a<2,即0<a<1,故实数a的取值范围为(0,1). 题型(三)　指数型函数的定义域、值域 [例5]　求下列函数的定义域和值域: (1)y=;(2)y=;(3)y=. 解:(1)由已知得x应满足x-1≠0, ∴x≠1.∴定义域为(-∞,1)∪(1,+∞). ∵≠0,∴≠1. ∴y=的值域为(0,1)∪(1,+∞). (2)定义域为R. ∵|x|≥0,∴y==≥=1. ∴此函数的值域为[1,+∞). (3)由题意知1-≥0,∴≤1=. ∴x≥0.故定义域为[0,+∞). ∵x≥0,∴≤1. ∵>0,∴0<≤1. ∴0≤1-<1.∴0≤y<1. ∴此函数的值域为[0,1). 　　|思|维|建|模| 函数y=af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域的求法: 函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)值域的求法: ①换元,令t=f(x); ②求t=f(x)的定义域x∈D; ③求t=f(x)的值域t∈M; ④利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域. [提醒]　求定义域时注意使函数式有意义的条件,而求值域时注意整体性. 　　[针对训练] 5.函数y=的值域为　　　　.  解析:函数的定义域为R,x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴≤=2, 又∵>0,∴函数的值域为(0,2]. 答案:(0,2] 6.求函数y=的定义域、值域. 解:函数的定义域为R. ∵y===1-, 又∵3x>0,∴1+3x>1,∴0<<1, ∴-1<-<0,∴0<1-<1, ∴函数的值域为(0,1). [课时检测] 1.函数y=1-3x(y≥0)的定义域是 (　 ) A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.[1,+∞) D.(-∞,+∞) 解析:选B　因为1-3x≥0,即3x≤1,所以x≤0,即x∈(-∞,0]. 2.函数y=的图象是 (　 ) 解析:选A　当x=0时,y=2,且函数单调递增,故选A. 3.若函数y=2x在区间[2,a]上的最大值比最小值大4,则a= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C　∵y=2x在R上是增函数,∴y=2x在[2,a]上单调递增.∴y=2x的最小值为4,最大值为2a.故2a-4=4,即a=3. 4.函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于 (　 ) A.原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y=-x对称 解析:选C　设点(x,y)为函数f(x)=πx的图象上任意一点,则点(-x,y)为g(x)=π-x=的图象上的点.因为点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称,所以函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于y轴对称. 5.函数f(x)=(a>0,且a≠1)的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 (　 ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 解析:选D　由于f(x)的图象单调递减,所以0<a<1.又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0.即-b>0,b<0.故选D. 6.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是 (　 ) 解析:选A　由函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象可知0<a<1,b<-1,所以函数g(x)=ax+b是减函数,排除选项C、D;又因为函数g(x)的图象过点(0,1+b)(1+b<0),故选A. 7.设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 (　 ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,1) D.(0,1) 解析:选C　函数f(x)=的图象如图, 显然函数f(x)在R上单调递减,∵f(x+1)<f(2x),∴x+1>2x,解得x<1. 8.(5分)函数y=的定义域为　　　　.  解析:由x2-1≠0,得x≠±1.即函数y=的定义域为{x|x≠±1}. 答案:{x|x≠±1} 9.(5分)函数f(x)=2·ax-1+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点　　　　.  解析:令x-1=0,得x=1.又f(1)=2×1+1=3,所以f(x)的图象恒过定点(1,3). 答案:(1,3) 10.(5分)若0<a<1,b<-1,则函数f(x)=ax+b的图象一定不经过第　　　象限.  解析:函数y=ax的图象过点(0,1),向下平移|b|个单位长度,因为b<-1,所以函数f(x)=ax+b的图象一定不经过第一象限. 答案:一 11.(5分)已知实数a,b满足等式=,给出下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中,不可能成立的有　　　　个.  解析:作y=与y=的图象(图略).当a=b=0时,==1;当a<b<0时,可以使=;当a>b>0时,也可以使=.故①②⑤都可能成立,不可能成立的关系式是③④. 答案:2 12.(10分)画出函数y=|2x-1|的函数图象,根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值. 解:函数的图象如图所示, 由图象可知,函数的定义域为R;值域为[0,+∞);在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;有最小值为0,无最大值. 13.(10分)求下列函数的定义域和值域: (1)y=;(3分) (2)y=;(3分) (3)y=.(4分) 解:(1)要使函数式有意义, 则1-3x≥0,即3x≤1=30. 因为函数y=3x在R上是增函数, 所以x≤0. 故函数y=的定义域为(-∞,0]. 因为x≤0,所以0<3x≤1. 所以0≤1-3x<1. 所以∈[0,1). 即函数y=的值域为[0,1). (2)要使函数式有意义, 则-|x|≥0,解得x=0. 所以函数y=的定义域为{x|x=0}. 因为x=0,所以==1. 即函数y=的值域为{y|y=1}. (3)定义域为R. 因为x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4, 所以≤=16. 又>0, 所以函数y=的值域为(0,16]. 14.(10分)函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,求a的值. 解:①当0<a<1时,函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上单调递减, 所以最大值f(x)max=f(1)=a1=a,最小值f(x)min=f(2)=a2, 所以a-a2=,解得a=或a=0(舍去); ②当a>1时,函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上单调递增, 所以最大值f(x)max=f(2)=a2,最小值f(x)min=f(1)=a1=a, 所以a2-a=,解得a=或a=0(舍去). 综上所述,a=或a=. 15.(10分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1). (1)若f(x)的图象如图所示,求a,b的值;(4分) (2)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数根,求m的取值范围.(6分) 解:(1)由题图知f(x)的图象过点(2,0),(0,-2), 所以又a>0,且a≠1, 所以a=,b=-3. (2)由(1)知f(x)=()x-3, 则画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示, 要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根,则m=0或m≥3. 故m的取值范围为[3,+∞)∪{0}. 学科网（北京）股份有限公司 $