4.1.2 指数幂及其运算性质-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦指数幂及其运算性质核心知识点，从分数指数幂的意义切入，衔接根式与分数指数幂的互化，通过“微点助解”明确易错点，再扩展到有理数指数幂运算性质，进而引入无理数指数幂，构建实数指数幂运算的梯度学习支架。 资料采用梯度进阶式教学，“微点助解”剖析概念本质（如分数指数幂与根式的关系）培养抽象能力，“思维建模”总结运算技巧（如整体代入法）发展推理意识，课时检测综合应用（如条件求值）提升数学语言表达能力。课中助力分层教学，课后通过训练与检测帮助学生查漏补缺。

第2课时　指数幂及其运算性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能正确运用根式运算性质化简求值.　 2.掌握并运用有理数指数幂的运算性质. 3.能结合教材探究了解无理数指数幂.　 4.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算. 1.分数指数幂的意义 正分数 指数幂 规定:=(a>0,m,n∈N*,n>1) 负分数 指数幂 规定:==(a>0,m,n∈N*,n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义 |微|点|助|解| (1)分数指数幂是指数概念的又一推广,分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种新的写法.在这样的规定下,根式与分数指数幂是表示相同意义的量,只是形式不同而已. (2)指数的概念扩充到有理数指数后,当a≤0时,有时有意义,有时无意义.如==-1,但就不是实数了.为了保证在取任何有理数时,都有意义,所以规定a>0. (3)注意幂指数不能随意约分.如===2,而=在实数范围内无意义. (4)负分数指数幂在有意义的情况下,总表示正数,而不是负数. 2.有理数指数幂的运算性质与无理数指数幂 (1)有理数指数幂的运算性质 ①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). |微|点|助|解| (1)有理数指数幂除上述运算性质外,还有如下性质: ①ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈Q);②=(a>0,b>0,r∈Q). (2)有理数指数幂的几个常见结论:①当a>0时,ab>0;②当a≠0时,a0=1,而当a=0时,a0无意义;③若ar=as(a>0,且a≠1),则r=s;④乘法公式仍适用于分数指数幂,如:=-=a-b(a>0,b>0). (3)有理数指数幂的运算性质均在有意义的条件下才能成立,否则,不一定成立.如不一定等于()8,因为当m<0时,没有意义. (2)无理数指数幂 一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 基础落实训练 1.下列运算结果中,正确的是 (　 ) A.a2·a3=a5 B.(-a2)3=(-a3)2 C.(-1)0=1 D.(-a2)3=a6 解析:选A　a2·a3=a2+3=a5,故A正确;(-a2)3=-a6,(-a3)2=a6,故B、D错误;当a=1时无意义,故C错误. 2.计算的结果是 (　 ) A.π B. C.-π D. 答案:D 3.下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是　　　　(填序号).  ①-=(-x(x>0);② =(y<0); ③=(x>0);④=-(x≠0);⑤=(a>0). 答案:③⑤ 4.若10x=3,10y=4,则1=　　　　.  解析:∵10x=3,∴102x=9.∴102x-y==. 答案: 题型(一)　根式与分数指数幂的互化 [例1]　将下列根式化成分数指数幂的形式. (1)·;(2); (3) ·; (4)()2·. 解:(1)·=·=. (2)原式=··=. (3)原式=·=. (4)原式=()2··=. 　　|思|维|建|模|　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子. (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质运算. (3)当所求根式含有多重根号时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简. 　　[针对训练] 1.把根式化为分数指数幂,把分数指数幂化为根式(式中字母均为正实数). (1);(2);(3)(a+b;(4). 解:(1)=. (2)=2. (3)(a+b=. (4)=(x3+y. 题型(二)　利用指数幂的运算性质化简求值 [例2]　化简求值: (1)-++-3-1; (2)(a-2b-3)(-4a-1b)÷(12a-4b-2c); (3)2÷4×3. 解:(1)原式=(0.33+(44+-=-+43+2-=. (2)原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c) =-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1 =-ac-1=-. (3)原式=2÷()(3) =·3 =. |思|维|建|模| 1.指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,以便于运用指数幂的运算性质. 2.化简指数幂常用技巧 (1)=(ab≠0); (2)a=,=(式子有意义); (3)1的代换,如1=a-1a,1=等. 　　[针对训练] 2.化简(a,b为正数)的结果是 (　 ) A. B.ab C. D.a2b 解析:选C　原式==·=,故选C. 3.求下列各式的值: (1);(2)2××; (3);(4)(a>0). 解:(1)原式= ===3. (2)原式=2×××(3×22=×=2×3=6. (3)原式==-=-=-5. (4)原式====(a>0). 题型(三)　指数幂运算中的条件求值 [例3]　已知+=3,求下列各式的值: (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3). 解:(1)将+=3两边平方, 得a+a-1+2=9,即a+a-1=7. (2)将a+a-1=7两边平方,可得a2+a-2+2=49, ∴a2+a-2=47. (3)∵+=()3+()3 =(+)(a-·+a-1) =3(a+a-1-1) =3(7-1)=18, 而a2+a-2=47, ∴原式===3. 　　|思|维|建|模| (1)对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出,这时可将所求代数式进行适当变形,构造出能用已知条件表示的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值. (2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a>0,b>0): ①a±2+b=(±)2; ②(+)(-)=a-b; ③+=(+)(a-+b); ④-=(-)(a++b). 　　[针对训练] 4.已知10m=2,10n=4,则1的值为 (　 ) A.2　　　　　　　　　　 　 B. C. D.2 解析:选B　1====. 5.已知a2x=+1,则= (　 ) A.2-1　　　　　　　　　 B.2-2 C.2+1 D.+1 解析:选A　令ax=t,则t2=+1,所以===t2+t-2-1=+1+-1=+1+-1-1=2-1. [课时检测] 1.把根式a化成分数指数幂是 (　 ) A.(-a B.-(-a C.- D. 解析:选D　由题意可知a≥0,排除A、B、C选项,故选D. 2.·= (　 ) A. B.5 C. D.25 解析:选C　·==[()2=. 3.设a>0,则下列运算正确的是 (　 ) A.=a B.=0 C.a÷= D.=a 解析:选A　易知A正确;对于选项B,=a0=1,B错误;对于选项C,a÷=,C错误;对于选项D,==,D错误. 4.化成分数指数幂为 (　 ) A. B. C. D. 解析:选B　原式===(=. 5.若0<a<1,b>0,且ab+a-b=2,则ab-a-b等于 (　 ) A. B.2或-2 C.-2 D.2 解析:选C　由ab+a-b=2,得(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8.因此a2b+a-2b=6,所以(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4.由题意得0<ab<1,a-b>1,故ab-a-b<0,所以ab-a-b=-2.故选C. 6.设2a=5b=m,且+=2,则m= (　 ) A. B.10 C.20 D.100 解析:选A　∵2a=m,5b=m,∴2=,5=. ∴2×5=·=.又+=2,∴m2=10.∴m=或m=-(舍去). 7.,,这三个数的大小关系为　 (　 ) A.<< B.<< C.<< D.<< 解析:选B　===,===,=.因为<<,所以<<. 8.(多选)已知10a=2,102b=5,则下列结论正确的是 (　 ) A.a+2b=1 B.ab< C.10a+b>4 D.a>b 解析:选ABC　因为10a·102b=10a+2b=10,所以a+2b=1,故A正确;易知a>0,b>0,由基本不等式得a+2b≥2,所以ab≤,当且仅当a=2b=时取等号,又因为10a≠102b,即a≠2b,所以等号不成立,所以ab<,故B正确;10a+b=10a·10b=2×=2>4,故C正确;由(10a)2=102a=4<5=102b,得a<b,故D错误.故选ABC. 9.(5分)设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β=　　　,(2α)β=　　　.  解析:利用一元二次方程根与系数的关系,得α+β=-2,αβ=.则2α·2β==2-2=,(2α)β=2αβ=. 答案:　 10.(5分)计算·(-3a-1b)÷=　　　　.  解析:原式==-b2. 答案:-b2 11.(5分)如果在某种细菌培养过程中,细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个),那么经过1小时,一个这种细菌可以分裂成　　　　个.  解析:经过1小时可分裂6次,可分裂成26=64个. 答案:64 12.(5分)已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0,且a≠1),则a4m+n的值为　　　　.  解析:因为所以①×②得a3m=26.所以am=22.将am=22代入②得22·a-n=28,所以an=2-6.所以a4m+n=·an=(am)4·an=(22)4·2-6=22=4. 答案:4 13.(10分)计算下列各式的值: (1);(2分) (2)(a>0);(2分) (3);(3分) (4)+0.1-2+-3π0+.(3分) 解:(1)原式==29×32=4 608. (2)原式==a0=1. (3)原式===π. (4)原式=++-3+ =+100+-3+=100. 14.(10分)已知a=3,求+++的值. 解:+++ =++ =++ =+ =+ = =-1. 15.(10分)若a,b,c为正实数,ax=by=cz,++=0,求abc. 解:设ax=by=cz=k, 则k>0,a=,b=,c=, 因此abc===k0=1. 学科网（北京）股份有限公司 $