4.5.2 用二分法求方程的近似解-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦“用二分法求方程的近似解”，课前通过自主学习落实二分法概念、条件及步骤，课堂以题型研究（概念理解、近似解求解、实际应用）实现迁移应用，构建从基础到进阶的学习支架。 其亮点是梯度进阶式教学，结合思维建模（如二分法条件、步骤总结）与实际案例（线路故障排查），培养数学思维（逐步逼近、程序化）和数学语言（规范步骤、表格表达），助力学生深化理解，教师可提升教学效率。

4.5.2 用二分法求方程的近似解 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 了解二分法的原理及其适用条件.掌握二分法的实施步骤.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.二分法的概念 条件 (1)函数y=f(x)的图象在区间[a，b]上___________. (2)在区间端点的函数值满足___________ 方法 不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间__________，使所得区间的两个端点逐步__________，进而得到零点近似值 连续不断 f(a)f(b)<0 一分为二 逼近零点 2.用二分法求函数零点近似值的步骤 |微|点|助|解| (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理. (2)二分法的基本思想：逼近思想和算法思想. (3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的零点为变号零点时适用，对函数的零点为不变号零点时不适用.如函数f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解. (4)二分法就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)二分法所求出的方程的解都是近似解. (　 ) (2)函数f(x)=|x|可以用二分法求零点. (　 ) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内. (　 ) (4)只有求函数的零点时才用到二分法. (　 ) 基础落实训练 × × × × 2.用二分法求函数f(x)=log2x-的零点时，初始区间可选为(　 ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) √ 3.下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 (　 ) √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　二分法概念的理解 [例1]　关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是 (　 ) A.“二分法”求方程的近似解一定能得到y=f(x)在[a，b]内的所有零点 B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f(x)在[a，b]内的零点 C.应用“二分法”求方程的近似解，y=f(x)在[a，b]内有可能无零点 D.“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)=0在[a，b]内的精确解 √ 解析：由二分法求解函数零点的过程可知， 选项D正确. √ [例2]　(多选)下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是 (　 ) A.y=+1 B.y= C.y=x2+4x+8 D.y=|x| √ 解析：对于选项C，y=x2+4x+8=(x+4)2≥0，故不能用二分法求零点的近似值.对于选项D，y=|x|≥0，故不能用二分法求零点的近似值.易知选项A、B有零点，且可用二分法求零点的近似值.故选CD. |思|维|建|模| 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)在该零点左右函数值异号. 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点. 针对训练 1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 (　 ) A.4，4　　　　　　　 B.3，4 C.5，4 D.4，3 √ 解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3. √ 2.用“二分法”求f(x)=x2-6的零点时，初始区间可取 (　 ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 解析：因为f(0)=02-6=-6，f(1)=12-6=-5，f(2)=22-6=-2，f(3)=32-6=3，f(4)=42-6=10，所以f(2)f(3)<0.故零点在区间(2，3)内. 题型(二)　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似解) [例3]　用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度为0.1). 解：令f(x)=2x3+3x-3， 经计算，f(0)=-3<0，f(1)=2>0，f(0)f(1)<0， 所以函数f(x)在(0，1)内存在零点. 即方程2x3+3x=3在(0，1)内有解. 取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0， 又f(1)>0，所以方程2x3+3x-3=0在(0.5，1)内有解. 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表： 由于|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解. (a，b) 中点c f(a) f(b) f (0，1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0 (0.5，1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0 (0.5，0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0 (0.625，0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0 (0.687 5，0.75) |0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1 [变式拓展] 1.若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”结论又如何? 解：在本例的基础上，取区间(0.687 5，0.75)的中点x=0.718 75， 因为f(0.718 75)<0，f(0.75)>0且|0.718 75-0.75|=0.031 25<0.05， 所以x=0.75可作为方程的一个近似解. 2.若本例中的方程“2x3+3x-3=0”换为“x2-2x=1”其结论又如何呢? 解：设f(x)=x2-2x-1. ∵f(2)=-1<0，f(3)=2>0. ∴在区间(2，3)内，方程x2-2x-1=0有一解， 记为x0.取2与3的平均数2.5， ∵f(2.5)=0.25>0，∴2<x0<2.5； 再取2与2.5的平均数2.25， ∵f(2.25)=-0.437 5<0，∴2.25<x0<2.5； 如此继续下去，有 f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375，2.5)； f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x0∈(2.375，2.437 5). ∵|2.375-2.437 5|=0.062 5<0.1， ∴方程x2-2x=1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5. |思|维|建|模| 利用二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，利用函数零点存在定理确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n+1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M. (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点. 题型(三)　二分法的实际应用 [例4]　在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路.请设计一个能迅速查出故障所在的方案，并回答维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内). 解：如图，工人师傅首先从AB段的中点C检测， 用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段； 再从BC段的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段； 再从CD段的中点E检测；…； 由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为 m，则有≤100，即2n≥100， 又因为26=64，27=128， 故最多只要检测7次就能找到故障地点所在区域. |思|维|建|模| 二分法的思想在生活中应用广泛，不仅可以用于线路、水管、煤气、管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资金分配等. 3.如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通是由于焊口脱落，要想检验出哪一处的焊口脱落，至多需要检测多少次. 解：第1次取中点把焊点数减半为=32，第2次取中点把焊点数减半为=16，第3次取中点把焊点数减半为=8，第4次取中点把焊点数减半为=4，第5次取中点把焊点数减半为=2，第6次取中点把焊点数减半为=1，所以至多需要检测的次数是6. 针对训练 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是 (　 ) A.[-2，1] B.[-1，0] C.[0，1] D.[1，2] √ 解析：∵f(-2)=-3<0，f(1)=6>0，f(-2)·f(1)<0，∴可以取区间[-2，1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是 (　 ) A.x1 B.x2 C.x3 D.x4 √ 解析：能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有 (　 ) A.f(x)=5x+2 B.f(x)=log5x C.f(x)=x2+2x+1 D.f(x)=3x-2 √ √ √ 解析：选项A，由f(-1)f(1)=-3×7<0，可得f(x)=5x+2在(-1，1)内存在零点；选项B，由ff(5)=-1×1<0，可得f(x)=log5x在内存在零点；选项C，f(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0，则其零点为-1，但不存在实数a，b满足f(a)f(b)<0，因而不能用二分法求此函数零点；选项D，由f(0)f(1)=-1 ×1<0，可得f(x)=3x-2在(0，1)内存在零点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.下列函数中，必须用二分法求其零点的是 (　 ) A.y=x+7 B.y=5x-1 C.y=log3x D.y=-x √ 解析：A、B、C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求其根，只能用二分法求其零点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为 (　 ) A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6 √ 解析：已知f(0.72)>0，f(0.68)<0，所以零点在区间[0.68，0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[a，b]，都有>0，且f(a)·f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，又f=0，则函数f(x)的零点为(　 ) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为对任意x1，x2∈[a，b]，都有>0，且f(a)·f(b)<0，所以f(x)在[a，b]上单调递增，且f(a)<0，f(b)>0.因为a+1>a恒成立，所以解得所以f(x)的零点为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a-b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0=与真实零点的误差的取值范围为(　 ) A. B. C.[0，ε) D.[0，2ε) √ 解析：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b-=-a=<，所以误差的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2，4)上的实数根时，取中点x1=3，则下一个有根区间是__________.  (2，3) 解析：设函数f(x)=x3-2x-5，∵f(2)=-1<0，f(3)=16>0，f(4)=51>0，∴下一个有根区间是(2，3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01，取端点值为近似解)的近似值，那么应将区间(0，0.1)等分的次数至少为_____.  4 解析：设等分的次数为n，由<0.01，得2n>10，所以n的最小值为4.即将区间(0，0.1)等分的次数至少为4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是_________.  a2=4b 解析：因为函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切，所以Δ=a2-4b=0，所以a2=4b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(10分)证明函数f(x)=2x+3x-6在区间(1，2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1). 解：由于f(1)=-1<0，f(2)=4>0， 又函数f(x)是连续的增函数， 所以函数f(x)在区间(1，2)内有唯一零点，不妨设为x0， 则x0∈(1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 下面用二分法求解： 因为f(1.187 5)f(1.25)<0，且|1.187 5-1.25|=0.062 5<0.1，所以函数f(x)=2x+3x-6精确度为0.1的零点可取为1.25. 区间 中点的值 中点函数近似值 (1，2) 1.5 1.328 (1，1.5) 1.25 0.128 (1，1.25) 1.125 -0.444 (1.125，1.25) 1.187 5 -0.160 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在?(精确到50 m) 解：如图所示， 可首先从中点C开始检查，若AC段正常，则故障在BC段；再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；再到BD段中点E检查，…，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半.经过8次查找，可将故障范围缩小到50 m之内，即可迅速找到故障所在. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知函数f(x)=x3-x2+1. (1)证明方程f(x)=0在区间(0，2)内有实数解；(3分) 解：证明：∵易知f(x)的图象是连续不断的， 且f(0)=1>0，f(2)=-<0，∴f(0)f(2)=-<0. 由函数零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0，2)内有实数解. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)=0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内.(7分) 解：取x1=(0+2)=1，得f(1)=>0，由此可得f(1)f(2)=-<0，下一个有解区间为(1，2).再取x2=(1+2)=，得f=-<0， ∴f(1)f=-<0，下一个有解区间为. 再取x3==，得f=>0，∴ff<0，下一个有解区间为.故f(x)=0的实数解x0在区间内. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知函数f(x)=3x+，方程f(x)=0在(-1，+∞)上是否有根?若有根，有几个?请你用二分法求出方程f(x)=0根的近似值.(精确度为0.01) 解：方程f(x)=0在(-1，+∞)上有根，f(x)=3x+=3x+1-， 当x∈(-1，+∞)时，函数f(x)单调递增， 所以若方程f(x)=0有根，则最多有一个根. 因为f(0)=-1<0，f(1)=>0，所以取(0，1)为初始区间. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 用二分法逐步计算，列出下表： 由于|0.273 437 5-0.281 25|<0.01.所以原方程的近似解可取为0.281 25.(实际上[0.273 437 5，0.281 25]上的任意一个值均可以) 区间 中点的值 中点函数近似值 (0，1) 0.5 0.732 (0，0.5) 0.25 -0.084 (0.25，0.5) 0.375 0.328 (0.25，0.375) 0.312 5 0.124 (0.25，0.312 5) 0.281 25 0.021 (0.25，0.281 25) 0.265 625 -0.032 (0.265 625，0.281 25) 0.273 437 5 -0.005 (0.273 437 5，0.281 25)     本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $