4.4.3 不同函数增长的差异-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦不同函数增长的差异，核心知识点为指数、一次、对数函数的定义、图象及增长速度差异。课前通过表格对比和基础训练自主落实，课堂结合例题与针对训练迁移应用，构建从基础到应用的学习支架，衔接函数性质与实际问题分析。 其亮点在于以数学眼光观察函数增长特征，通过数据表格、图象分析等培养数学思维，结合利润模型选择等实例强化数学语言表达。如例3通过奖励方案设计体现模型意识，帮助学生发展理性思维与应用能力，教师可借助分层训练提升教学效率。

4.4.3 不同函数增长的差异 课时目标 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长速度的差异. 2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的比较. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 三种常见函数模型的增长差异 项目 y=ax(a>1) y=kx(k>0) y=logax(a>1) 在(0，+∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x增大逐渐与y轴平行 增长速度固定 随x增大逐渐与x轴平行 增长速度 ①y=ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y=kx(k>0)的增长速度，y=logax(a>1)的增长速度越来越慢； ②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax |微|点|助|解| (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型； (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型； (3)一次函数增长速度不变，平稳变化； (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (　 ) (2)对任意的x>0，kx>logax. (　 ) (3)对任意的x>0，ax>logax. (　 ) (4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型. (　 ) 基础落实训练 √ × × √ 2.下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是 (　 ) A.y=ex B.y=ln x C.y=3x D.y=e-x √ 3.某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用 (　 ) A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 √ 4.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式 为_________________.  y=-x+50(0<x<200) 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　几个函数模型增长差异的比较 [例1]　已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化数据如下表： 则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是 (　 ) A.y1=4x，y2=2x，y3=log2x B.y1=2x，y2=4x，y3=log2x C.y1=log2x，y2=4x，y3=2x D.y1=2x，y2=log2x，y3=4x √ x 1 2 4 6 8 … y1 2 4 16 64 256 … y2 4 8 16 24 32 … y3 0 1 2 2.585 3 … 解析：从题表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化，故选B. |思|维|建|模|　常见的函数模型及增长特点 常见函数模型 增长特点 一次函数模型 一次函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变 指数函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸” 对数函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓 针对训练 1.“红豆生南国，春来发几枝”.如图给出了红豆 生长时间t(月)与枝数y的关系图，那么最适合拟合 红豆的枝数与生长时间t的关系的函数是 (　 ) A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2 √ 解析：根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A. 2.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i=1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1，f2(x)=x2，f3(x)=x，f4(x)=log2(x+1).有以下结论： ①当x>1时，甲走在最前面； ②当x>1时，乙走在最前面； ③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲. 其中，正确结论的序号为________.  ③④⑤ 解析：四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确. 题型(二)　指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 [例2]　函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； 解： C1对应的函数为g(x)=x3，C2对应的函数为f(x)=2x. (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 024)，g(2 024)的大小. 解：因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2，2 024>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6).当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 024)>g(2 024).又g(2 024)>g(6)，所以f(2 024)>g(2 024)>g(6)>f(6). |思|维|建|模|　比较函数增长情况的方法 解析法 直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数，其中当x较大时，指数型函数增长速度最快，一次函数增长速度其次，对数型函数增长速度最慢 表格法 通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异 图象法 在同一直角坐标系中画出各函数的图象，观察图象并借助计算器，便能直观地得出这三个函数增长速度的差异 针对训练 3.函数f(x)=lg x，g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数； 解：由函数图象特征及变化趋势， 知直线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1， 曲线C2对应的函数为f(x)=lg x. (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较). 解：当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)； 当x∈(x2，+∞)时，g(x)>f(x). g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的， f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢. 题型(三)　函数模型的选择 [例3]　某公司为了实现60万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到 5万元时，按利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y=0.2x，y=log5x，y=1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求? 解：作出函数y=3，y=0.2x，y=log5x，y=1.02x的图象(如图所示).观察图象可知，在区间[5，60]上，y=0.2x，y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方，只有y=log5x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方，这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合公司的要求. |思|维|建|模| 开放型的探究题，函数模型不是确定的，需要我们去探索，去尝试，找到最合适的模型，解题过程为 (1)用待定系数法求出函数的解析式； (2)检验：将(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证，得出最适合的函数模型； (3)利用所求出的函数模型解决问题. 针对训练 4.某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表： 为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y=ax+b或y=ax+b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系. 请问：用以上哪个模拟函数较好?请说明理由. 月份 1 2 3 产量(千件) 50 52 53.9 解：将(1，50)，(2，52)分别代入两个解析式得 或(a>0)， 解得(两方程组的解相同). 所以两个函数分别为y=2x+48或y=2x+48. 当x=3时，对于y=2x+48有y=54； 当x=3时，对于y=2x+48有y=56. 由于56与53.9的误差较大，所以选y=ax+b较好. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型 (　 ) A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 √ 解析：自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型.故选A. x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.(多选)当a>1时，下列结论正确的有 (　 ) A.指数函数y=ax，当a越大时，其函数值增长越快 B.指数函数y=ax，当a越小时，其函数值增长越快 C.对数函数y=logax，当a越大时，其函数值增长越快 D.对数函数y=logax，当a越小时，其函数值增长越快 √ √ 解析：结合指数函数及对数函数的图象可知A、D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是 (　 ) A.y=0.2x B.y=(x2+2x) C.y= D.y=0.2+log16x √ 解析：将x=1，2，3，y=0.2，0.4，0.76分别代入验算. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.下列函数图象中，估计有可能用函数y=a+blg x(b>0)来模拟的是 (　 ) 解析：由于函数y=lg x在定义域内单调递增，且是上凸的，又b>0，所以当x>0时，y=a+blg x(b>0)的图象是单调递增且上凸的. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是 (　 ) A.y=mx+n(m>0) B.y=m+n(m>0) C.y=max+n(m>0，a>1) D.y=mlogax+n(m>0，a>1) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析： A选项，由散点图知身高y随年龄x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与题图不符合，故C错误；D选项，对数函数模型在x=0时没有意义，故D错误；B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x=0时有意义，故B正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.y1=2x，y2=x2，y3=log2x，当2<x<4时，有 (　 ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1 √ 解析：由题意可知，三个函数在区间(2，4)上都是单调递增的，所以4<y1<16，4<y2<16，1<y3<2.所以y3最小.由函数y1，y2的图象可知，在区间(2，4)上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2>y1>y3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.C0表示生物体内碳14的初始质量，经过t年后碳14剩余质量C(t)=C0(t>0，h为碳14的半衰期).现测得一古墓内某生物体内碳14含量为0.4C0，据此推算该生物距今约(参考数据：lg 2≈0.301)(　 ) A.1.36h年 B.1.34h年 C.1.32h年 D.1.30h年 √ 解析：由题意可知，C0=0.4C0.所以lg=lg 0.4，即lg=lg 0.4.所以==.所以t=·h≈1.32h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表： 注：地震强度是指地震时释放的能量. 强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a，b为 常数).利用散点图可知a的值等于______.(取lg 2≈0.3进行计算)  解析：由模拟函数及散点图得 两式相减得a(lg 3.2-lg 1.6)=0.2，即alg 2=0.2，所以a≈. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0，+∞)上增长速度较快的一个是________.  y=x3 解析：∵=，∴比较y=x3与y=x2ln x的增长速度只需比较y=x与y=ln x增长速度即可.由图象可知y=x的增长速度快于y=ln x的增长速度，∴函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0，+∞)上增长速度较快的是y=x3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)若已知16<x<20，利用图象可判断出和log2x的大小关系为__________.  >log2x 解析：作出f(x)=和g(x)=log2x的图象，如图所示. 由图象可知，在(0，4)内，>log2x；当x=4或x=16时，=log2x；在(4，16)内，<log2x；在(16，20)内，>log2x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)函数f(x)=1.1x，g(x)=ln x+1，h(x)=的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得，曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)=，曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1. 由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)； 当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h=mt+b与h=loga(t+1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合?并预测第8年的松树高度. t(年) 1 2 3 4 5 6 h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：在平面直角坐标系中标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示. 由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理. 不妨将(2，1)代入h=loga(t+1)中，得1=loga3，解得a=3. 故可用函数h=log3(t+1)来拟合这个实际问题. 当t=8时，求得h=log3(8+1)=2，故可预测第8年松树的高度为2米. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)某公司每个仓库的收费标准如下表(x表示储存天数，y(万元)表示每个仓库收取的总费用). (1)给出两个函数y1=px-1+q(p>0且p≠1)，y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)，要从这两个函数中选出一个来模拟表中x，y之间的关系，问：选择哪一个函数较好?请说明理由.(10分) x 1 3 7 14 y 1 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：若选择函数y1=px-1+q(p>0且p≠1)，将(1，1)，(3，2)代入函数得解得∴y1=()x-1=. 当x=7时，y1=23=8；当x=14时，y1==64，可知当x=7或14时，与实际数据差距较大.若选择函数y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)，将(1，1)，(3，2)代入函数得解得∴y2=log2(x+1). 当x=7时，y2=log28=3；当x=14时，y2=log215，可知当x=7或14时，与实际数据比较接近.综上所述，选择y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)较好. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)该公司旗下有10个这样的仓库，每个仓库储存货物时，每天需要2 000元的运营成本，不存货物时仅需500元的成本.一批货物需要存放7天，设该批货物存放在m个仓库内，其余仓库空闲.要使该公司这7天的仓库收益不少于43 000元，则m的最小值是多少?(5分) 注：收益=收入-成本. 解：设该公司这7天的仓库收益为f(m)元，由表格数据可知若货物存放7天，则每个仓库收费30 000元，∴f(m)=30 000m-[2 000m+500× (10-m)]×7=19 500m-35 000.由f(m)≥43 000，得m≥4.∴m的最小值为4. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $