4.4.3 不同函数增长的差异-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦“不同函数增长的差异”核心知识点，系统梳理指数函数y=a^x(a>1)、一次函数y=kx(k>0)、对数函数y=log_a x(a>1)的定义、图象及性质，通过表格对比三者在(0,+∞)上的增减性、图象变化与增长速度，搭建从概念理解到实际应用的学习支架。 资料采用梯度进阶式教学设计，通过数据表格分析（如例1判断函数模型）、图象比较（如例2两函数交点分析）培养数学眼光与思维，结合实际问题（如例3奖励模型选择）强化数学语言表达。课中助力分层教学，课后练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

4.4.3　不同函数增长的差异 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长速度的差异. 2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的比较. 三种常见函数模型的增长差异 项目 y=ax(a>1) y=kx(k>0) y=logax (a>1) 在(0,+∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x增大逐渐与y轴平行 增长速度固定 随x增大逐渐与x轴平行 增长 速度 ①y=ax(a>1):随着x的增大,y增长速度越来越快,会远远大于y=kx(k>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增长速度越来越慢; ②存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax |微|点|助|解| (1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型; (2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长很大时,常常选用对数函数模型; (3)一次函数增长速度不变,平稳变化; (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢,数值大不一定增长速度快,增长速度体现在函数值的变化趋势上. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (　 ) (2)对任意的x>0,kx>logax. (　 ) (3)对任意的x>0,ax>logax. (　 ) (4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型. (　 ) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.下列函数中,随x的增大而增大且速度最快的是 (　 ) A.y=ex B.y=ln x C.y=3x D.y=e-x 答案:A 3.某公司为了适应市场需求,对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系,则可选用 (　 ) A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 答案:D 4.某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为　　　　　　.  答案:y=-x+50(0<x<200) 题型(一)　几个函数模型增长差异的比较 [例1]　已知三个变量y1,y2,y3随变量x变化数据如下表: x 1 2 4 6 8 … y1 2 4 16 64 256 … y2 4 8 16 24 32 … y3 0 1 2 2.585 3 … 则反映y1,y2,y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是 (　 ) A.y1=4x,y2=2x,y3=log2x B.y1=2x,y2=4x,y3=log2x C.y1=log2x,y2=4x,y3=2x D.y1=2x,y2=log2x,y3=4x 解析:选B　从题表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,呈指数型函数变化,变量y3的增长速度最慢,呈对数型函数变化,故选B. 　　|思|维|建|模|　常见的函数模型及增长特点 常见函数模型 增长特点 一次 函数模型 一次函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变 指数 函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸” 对数 函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓 　　[针对训练] 1.“红豆生南国,春来发几枝”.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图,那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间t的关系的函数是 (　 ) A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2 解析:选A　根据已知所给的关系图,观察得到图象在第一象限,且从左到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,根据四个选项中函数的增长趋势可得,用指数函数拟合最好,故选A. 2.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).有以下结论: ①当x>1时,甲走在最前面; ②当x>1时,乙走在最前面; ③当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面; ④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面; ⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲. 其中,正确结论的序号为　　　　.  解析:四个函数的大致图象如图所示,根据图象易知,③④⑤正确. 答案:③④⑤ 题型(二)　指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 [例2]　函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数; (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 024),g(2 024)的大小. 解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x. (2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2 024>x2.从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 024)>g(2 024).又g(2 024)>g(6),所以f(2 024)>g(2 024)>g(6)>f(6). 　　|思|维|建|模|　比较函数增长情况的方法 解析法 直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数,其中当x较大时,指数型函数增长速度最快,一次函数增长速度其次,对数型函数增长速度最慢 表格法 通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异 图象法 在同一直角坐标系中画出各函数的图象,观察图象并借助计算器,便能直观地得出这三个函数增长速度的差异 　　[针对训练] 3.函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)指出图中C1,C2分别对应哪一个函数; (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较). 解:(1)由函数图象特征及变化趋势, 知直线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1, 曲线C2对应的函数为f(x)=lg x. (2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x); 当x∈(x1,x2)时,g(x)<f(x); 当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x). g(x)呈直线增长,函数值变化是均匀的, f(x)随着x的增大而逐渐增大,其函数值变化得越来越慢. 题型(三)　函数模型的选择 [例3]　某公司为了实现60万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到 5万元时,按利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该公司的要求? 解:作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(如图所示).观察图象可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合公司的要求. |思|维|建|模| 　　开放型的探究题,函数模型不是确定的,需要我们去探索,去尝试,找到最合适的模型,解题过程为 (1)用待定系数法求出函数的解析式; (2)检验:将(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证,得出最适合的函数模型; (3)利用所求出的函数模型解决问题. 　　[针对训练] 4.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表: 月份 1 2 3 产量(千件) 50 52 53.9 为估计以后每月对该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=ax+b或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系. 请问:用以上哪个模拟函数较好?请说明理由. 解:将(1,50),(2,52)分别代入两个解析式得 或(a>0), 解得(两方程组的解相同). 所以两个函数分别为y=2x+48或y=2x+48. 当x=3时,对于y=2x+48有y=54; 当x=3时,对于y=2x+48有y=56. 由于56与53.9的误差较大,所以选y=ax+b较好. [课时检测] 1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型 (　 ) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 解析:选A　自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.故选A. 2.(多选)当a>1时,下列结论正确的有 (　 ) A.指数函数y=ax,当a越大时,其函数值增长越快 B.指数函数y=ax,当a越小时,其函数值增长越快 C.对数函数y=logax,当a越大时,其函数值增长越快 D.对数函数y=logax,当a越小时,其函数值增长越快 解析:选AD　结合指数函数及对数函数的图象可知A、D正确. 3.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是 (　 ) A.y=0.2x B.y=(x2+2x) C.y= D.y=0.2+log16x 解析:选C　将x=1,2,3,y=0.2,0.4,0.76分别代入验算. 4.下列函数图象中,估计有可能用函数y=a+blg x(b>0)来模拟的是 (　 ) 解析:选C　由于函数y=lg x在定义域内单调递增,且是上凸的,又b>0,所以当x>0时,y=a+blg x(b>0)的图象是单调递增且上凸的. 5.如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高(长)的中位数散点图,下列可近似刻画身高y随年龄x变化规律的函数模型是 (　 ) A.y=mx+n(m>0) B.y=m+n(m>0) C.y=max+n(m>0,a>1) D.y=mlogax+n(m>0,a>1) 解析:选B　A选项,由散点图知身高y随年龄x变化不是线性增长,故A错误;C选项,指数函数模型中y随x增长越来越快,与题图不符合,故C错误;D选项,对数函数模型在x=0时没有意义,故D错误;B选项符合散点图中y随x增长越来越慢,且在x=0时有意义,故B正确. 6.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2<x<4时,有 (　 ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1 解析:选B　由题意可知,三个函数在区间(2,4)上都是单调递增的,所以4<y1<16,4<y2<16,1<y3<2.所以y3最小.由函数y1,y2的图象可知,在区间(2,4)上,函数y2的图象恒在函数y1的图象上方,所以y2>y1>y3. 7.C0表示生物体内碳14的初始质量,经过t年后碳14剩余质量C(t)=C0(t>0,h为碳14的半衰期).现测得一古墓内某生物体内碳14含量为0.4C0,据此推算该生物距今约(参考数据:lg 2≈0.301) (　 ) A.1.36h年 B.1.34h年 C.1.32h年 D.1.30h年 解析:选C　由题意可知,C0=0.4C0.所以lg=lg 0.4,即lg=lg 0.4.所以==.所以t=·h≈1.32h. 8.(5分)某地发生地震后,地震专家对该地区发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表: 强度(J) 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019 震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4 注:地震强度是指地震时释放的能量. 地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y=alg x+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于　　　　.(取lg 2≈0.3进行计算)  解析:由模拟函数及散点图得 两式相减得a(lg 3.2-lg 1.6)=0.2,即alg 2=0.2,所以a≈. 答案: 9.(5分)函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0,+∞)上增长速度较快的一个是　　　　　.  解析:∵=,∴比较y=x3与y=x2ln x的增长速度只需比较y=x与y=ln x增长速度即可.由图象可知y=x的增长速度快于y=ln x的增长速度,∴函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0,+∞)上增长速度较快的是y=x3. 答案:y=x3 10.(5分)若已知16<x<20,利用图象可判断出和log2x的大小关系为　　　　.  解析:作出f(x)=和g(x)=log2x的图象,如图所示. 由图象可知,在(0,4)内,>log2x;当x=4或x=16时,=log2x;在(4,16)内,<log2x;在(16,20)内,>log2x. 答案:>log2x 11.(10分)函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点). 解:由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得,曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1. 由题图知,当x<1时,f(x)>h(x)>g(x); 当1<x<e时,f(x)>g(x)>h(x);当e<x<a时,g(x)>f(x)>h(x);当a<x<b时,g(x)>h(x)>f(x);当b<x<c时,h(x)>g(x)>f(x);当c<x<d时,h(x)>f(x)>g(x);当x>d时,f(x)>h(x)>g(x). 12.(10分)某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来拟合h与t的关系,你认为哪个符合?并预测第8年的松树高度. t(年) 1 2 3 4 5 6 h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 解:在平面直角坐标系中标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示. 由图象可以看出增长的速度越来越慢,用一次函数模型拟合不合适,则选用对数函数模型比较合理. 不妨将(2,1)代入h=loga(t+1)中,得1=loga3, 解得a=3. 故可用函数h=log3(t+1)来拟合这个实际问题. 当t=8时,求得h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米. 13.(15分)某公司每个仓库的收费标准如下表(x表示储存天数,y(万元)表示每个仓库收取的总费用). x 1 3 7 14 y 1 2 3 4 (1)给出两个函数y1=px-1+q(p>0且p≠1),y2=loga(x+b)(a>0且a≠1),要从这两个函数中选出一个来模拟表中x,y之间的关系,问:选择哪一个函数较好?请说明理由.(10分) (2)该公司旗下有10个这样的仓库,每个仓库储存货物时,每天需要2 000元的运营成本,不存货物时仅需500元的成本.一批货物需要存放7天,设该批货物存放在m个仓库内,其余仓库空闲.要使该公司这7天的仓库收益不少于43 000元,则m的最小值是多少?(5分) 注:收益=收入-成本. 解:(1)若选择函数y1=px-1+q(p>0且p≠1), 将(1,1),(3,2)代入函数得 解得∴y1=()x-1=. 当x=7时,y1=23=8;当x=14时,y1==64,可知当x=7或14时,与实际数据差距较大. 若选择函数y2=loga(x+b)(a>0且a≠1),将(1,1),(3,2)代入函数得 解得∴y2=log2(x+1).当x=7时,y2=log28=3;当x=14时,y2=log215,可知当x=7或14时,与实际数据比较接近.综上所述,选择y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)较好. (2)设该公司这7天的仓库收益为f(m)元,由表格数据可知若货物存放7天,则每个仓库收费30 000元,∴f(m)=30 000m-[2 000m+500×(10-m)]×7=19 500m-35 000.由f(m)≥43 000,得m≥4.∴m的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $