4.3.2 对数的运算-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦对数的运算性质与换底公式，通过课前自主预习落实基础（含运算性质、常用结论及换底公式），课堂以梯度进阶式题型（基础应用、换底转化、综合运算、实际问题）构建学习支架，衔接前后知识逻辑。 其亮点在于融合数学思维与数学语言，通过思维建模总结方法（如对数化简“收拆”技巧、换底公式化异为同），并结合生物丰富度指数等实际问题，培养学生运算推理与应用意识，助力教师高效教学，提升学生解题能力。

4.3.2 对数的运算 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解对数的运算性质，能熟练运用对数的运算性质化简求值. 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.对数的运算性质 (1)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么， ①loga(MN)=_____________； ②loga=_____________； ③logaMn=_________ (n∈R). logaM+logaN logaM-logaN nlogaM |微|点|助|解| (1)对数运算性质的语言表达：“积的对数=对数的和”，“商的对数=对数的差”. (2)对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算. (2)对数运算中的常用结论 已知a>0，且a≠1. ①loga=logaM-1=-logaM(M>0)； ②loga=loga=logaM(M>0，n，p∈N*，p，n>1)； ③推广：logaN1+logaN2+…+logaNk=loga(N1·N2·…·Nk)(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0). 2.换底公式 (1)对数换底公式 logab=＿＿＿＿＿(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). (2)推论 ①logab·logba=1(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). ②logab·logbc·logca=1(a>0，b>0，c>0，且a，b，c≠1). ③恒等式：loMn=logaM(n∈R，m≠0). 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)loga[(-2)×(-3)]=loga(-2)+loga(-3). (　 ) (2)logaM·logaN=loga(M+N). (　 ) (3)loga(M+N)=logaM+logaN. (　 ) (4)loga=. (　 ) 基础落实训练 × × × × 2.已知lg 3=a，lg 7=b，则lg 的值为(　 ) A.a-b2 B.a-2b C. D. √ 解析：∵lg 3=a，lg 7=b，∴lg =lg 3-lg 49=lg 3-2lg 7=a-2b. 3.计算log92×log43= (　 ) A.4 B.2 C. D. √ 解析：log92×log43=×=×=. 4.若lg 3=a，lg 2=b，用a，b表示log43=_________.  解析：log43===. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　对数运算性质的应用 [例1]　计算下列各式的值： (1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2； 解：原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2 =(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2=(lg 5+lg 2)·lg 5+lg 2 =lg 5+lg 2=1. (2)； 解：原式===. (3)log535-2log5+log57-log51.8. 解：原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+ 2log53+log57-2log53+log55=2log55=2. |思|维|建|模| 对数式化简或求值的常用方法 (1)对于同底数的对数式，化简的常用方法是： ①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式； ②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差). (2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5+lg 2=1”来解题. (3)对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简. (4)当真数是形如“±”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”. 针对训练 1.计算： (1)2(lg )2+lg ×lg 5+； 解：原式=lg ×(2lg +lg 5)+=lg ×(lg 2+lg 5)+(1-lg )=lg +1-lg =1. (2)log535+2lo-log5-log514. 解：原式=log5+2lo=log553-1=3-1=2. (3)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2. 解：法一　原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3. 法二　原式=2lg 5+2lg 2+(1-lg 2)(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+1-(lg 2)2+(lg 2)2=2+1=3. 题型(二)　对数换底公式的应用 [例2]　已知log37=a，2b=3，试用a，b表示log1456. 解：因为2b=3，所以b=log23，即log32=. 所以log1456=====. [变式拓展] 1.本例条件不变，试用a，b表示log2898. 解：log2898=====. 2.若把本例中条件“2b=3”换为3b=2，其他条件不变，则结论又如何呢? 解：因为3b=2，所以b=log32. 又a=log37，所以log1456===. |思|维|建|模| 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 针对训练 2.已知log37=a，log74=b，用a，b表示log427. 解：由log37=a，log74=b，可得ab=log37×log74=log34=2log32. 则log427====. 3.求值： (1)log23×log35×log516； 解：原式=××===4. (2)(log32+log92)(log43+log83). 解：原式===×=. 题型(三)　对数运算性质的综合应用 [例3]　(1)设3a=4b=36，求+的值； 解：法一　由3a=4b=36，得a=log336，b=log436，由换底公式得=log363，=log364，∴+=2log363+log364=log3636=1. 法二　由3a=4b=36，两边取以6为底数的对数，得alog63=blog64=log636 =2，∴=log63，=log64=log62，∴+=log63+log62=log66=1. (2)已知2x=3y=5z，且++=1，求x，y，z. 解：令2x=3y=5z=k(k>0)， ∴x=log2k，y=log3k，z=log5k， ∴=logk2，=logk3，=logk5，由++=1， 得logk2+logk3+logk5=logk30=1，∴k=30， ∴x=log230=1+log215，y=log330=1+log310，z=log530=1+log56. |思|维|建|模| 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化. (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解. 针对训练 4.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-，则a=_______.  64 解析：根据题意有-=-，即3loga2-=-.设t=loga2(a>1)，则t>0，故3t-=-，解得t=(舍负)，所以loga2=，所以=2，解得a=64. 5.已知a>b>1，且logab+logba=，ab=ba，求a的值. 解：∵a>b>1，且logab+logba=，即+logba=， ∴设logba=t，则t>1. ∴t+=，解得t=2或t=(舍去)，即logba=2.∴a=b2. ∵ab=ba，∴(b2)b=b2b=， ∴2b=b2，解得b=2或b=0(舍去)，∴a=4. 题型(四)　实际问题中的对数运算 [例4]　(2024·北京高考)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　 ) A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.= D.= √ 解析：由题意，得=2.1，=3.15.若S不变，则2.1ln N1=3.15ln N2，即2ln N1=3ln N2，所以=. |思|维|建|模| 关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算. (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算. 6.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev=(e为自然对数的底数，ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度. 针对训练 解：因为v=ln=2 000ln，且M=2m，所以v=2 000×ln 3 ≈2 000×1.099=2 198(m/s). 故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度约为2 198 m/s. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式： =nlogax；=logaxn；③logax=-loga；④ = logax；⑤=loga.其中正确的有(　 ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 √ 解析：根据对数的运算性质logaMn=nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知③与⑤正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.计算lg 2-lg-eln 2等于(　 ) A.-1 B. C.3 D.-5 √ 解析：原式=lg-2=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.化简得log832的值为 (　 ) A. B.2 C.4 D. √ 解析：log832===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知10x=3，10y=5，则用x，y表示lg为(　 ) A. B. C.2x+y-1 D.2x-y+1 √ 解析：因为10x=3⇔x=lg 3，10y=5⇔y=lg 5，所以lg=lg 9-lg 2=2lg 3-(1-lg 5)=2lg 3+lg 5-1=2x+y-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　 ) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 √ 解析：由已知得，lg=lg M-lg N=361×lg 3-80×lg 10≈361×0.48-80=93.28=lg 1093.28.故与最接近的是1093. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.17世纪初，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e为底数的自然对数，其中e=2.718 28…，对数是简化运算的有效工具，依据下表数据，计算ln的结果约为(　 ) A.1.334 B.1.244 C.2.747 D.3.733 √ 解析：ln=ln(31.9×1.312)=[ln(31.9)+ln(1.312)]=(ln 3.19+ln 2+ln 5+2ln 1.31)=4.002 5÷3≈1.334. x 1.310 2 3.190 3.797 4.715 5 7.397 … ln x 0.270 0 0.693 1 1.160 0 1.334 2 1.550 7 1.609 4 2.001 0 … 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(多选)若实数a，b满足2a=5b=10，则下列关系正确的有 (　 ) A.+=1 B.+=lg 20 C.+=2 D.+= √ √ 解析：由已知，得a=log210，b=log510，+=+=lg 2+lg 5=1，故A正确；+=+=lg 4+lg 5=lg 20，故B正确；+=+=lg 2+lg 25=lg 50，故C、D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知2lg(x-2y)=lg x+lg y，则的值为(　 ) A.1 B.4 C.1或4 D.或4 √ 解析：由对数的运算性质可得，lg(x-2y)2=lg(xy)，所以(x-2y)2=xy.即x2-5xy+4y2=0，所以(x-y)(x-4y)=0.所以=1或=4.又x-2y>0，x>0，y>0，所以>2.所以=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)若lg a，lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根，则ab的值等于_______.  100 解析：∵lg a，lg b是方程2x2-4x+1=0的两个实根， ∴lg a+lg b=-=2.∴ab=100. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知m>0，且10x=lg(10m)+lg，则x=______.  0 解析：lg(10m)+lg=lg 10+lg m+lg=1， 所以10x=1=100，所以x=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数，直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab=N⇔b=logaN，现在已知 a=log48，b=log24，则4a=_____，a+b=________.(用最简结果作答)  8　 解析：已知a=log48，b=log24，所以4a==8，a+b=+2=+2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)计算：(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258)=______.  13 解析：法一　原式= =· =log25·(3log52)=13log25·=13. 法二　原式= ==·=13. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)计算下列各式的值： (1)log3+lg 25+lg 4+；(5分) 解：原式=log3+lg(25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=. (2)2log32-log3+log38-.(5分) 解：原式=2log32-(log325-log39)+3log32-=2log32-5log32+2log33+ 3log32-9=2-9=-7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)设xa=yb=zc，且+=，求证：z=xy. 证明：设xa=yb=zc=k，k>0，且k≠1， 则a=logxk，b=logyk，c=logzk. 因为+=，所以+=， 即logkx+logky=logkz. 所以logk(xy)=logkz，即z=xy. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知集合A={log52，log425，2}，集合B=.记集合A中最小元素为a，集合B中最大元素为b. (1)求A∩B及a，b的值；(5分) 解：因为log425=log25，所以A={log52，log25，2}，B={log25，-2}， 即A∩B={log25}.因为log52<log525=2=log24<log25， 所以a=log52，b=log25. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)证明：函数f(x)=x+在[2，+∞)上单调递增；并用上述结论比较a+b与的大小.(10分) 解：证明：设x1，x2为[2，+∞)上任意两个实数，且2≤x1<x2，则x1-x2<0，x1x2>1，f(x1)-f(x2)=-=x1-x2+-=(x1-x2)× <0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在[2，+∞)上单调递增. 所以f(x)>f(2)=.所以log52+log25=+log25=f(log25)>. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $