4.2.2.2 指数函数性质的应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦指数函数性质的应用，通过习题讲评式教学，从比较大小、解不等式、单调性分析到综合应用，搭建从基础性质到实际解题的学习支架，衔接前期指数函数图象与性质的核心知识。 其亮点在于设置“思维建模”环节总结方法，如比较大小的三类处理方式，解不等式的分类讨论策略，培养学生数学思维与推理能力。例题结合具体实例，如复合函数单调性分析，强化数学语言表达，助力学生系统掌握解题策略，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

指数函数性质的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.会判断指数型函数的单调性、最值问题. 2.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　比较大小 题型(二)　简单指数不等式的解法 题型(三)　指数型函数的单调性问题 4 题型(四)　指数函数性质的综合 ５ 课时检测 题型(一)　比较大小 01 [例1]　比较下列各题中两个值的大小： (1)； 解：因为0<<1，所以函数y=在其定义域R上单调递减. 又-1.8>-2.5，所以<. (2)1.70.3，0.93.1； 解：因为1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1，所以1.70.3>0.93.1. (3)； 解：因为y=在R上是减函数，y=在R上为增函数，且-<0， 所以>1，<1，所以>. (4)0.20.3，0.30.2. 解：因为0<0.2<0.3<1， 所以指数函数y=0.2x与y=0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，+∞)上函数y=0.2x的图象在函数y=0.3x的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2. 又根据指数函数y=0.2x在R上是减函数，可得0.20.3<0.20.2， 所以0.20.3<0.30.2. |思|维|建|模| 比较指数式大小的3种类型及处理方法 (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断. (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断. (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较. 针对训练 1.下列大小关系正确的是 (　 ) A.0.43<30.4<π0 B.0.43<π0<30.4 C.30.4<0.43<π0 D.π0<30.4<0.43 √ 解析：0.43<0.40=1=π0=30<30.4. √ 2.设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是 (　 ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 解析：∵1.50.6>1.50=1，0.60.6<0.60=1，故1.50.6>0.60.6，又函数y=0.6x在R上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5< 0.60.6<1.50.6. 题型(二)　简单指数不等式 的解法 02 [例2]　(1)解不等式≤2； 解：∵2=， ∴原不等式可以转化为≤. ∵y=在R上是减函数，∴3x-1≥-1.∴x≥0. 故原不等式的解集是{x|x≥0}. (2)已知<(a>0，且a≠1)，求x的取值范围. 解：①当0<a<1时，函数f(x)=ax在R上是减函数， ∴x2-3x+1>x+6. ∴x2-4x-5>0. 解得x<-1或x>5； ②当a>1时，函数f(x)=ax在R上是增函数， ∴x2-3x+1<x+6. ∴x2-4x-5<0.解得-1<x<5. 综上所述，当0<a<1时，x的取值范围是{x|x<-1或x>5}； 当a>1时，x的取值范围是{x|-1<x<5}. |思|维|建|模| (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式. (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需要进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1). 针对训练 3.求满足下列条件的x的取值范围： (1)3x-1>9x； 解：∵3x-1>9x，∴3x-1>32x. 又y=3x在定义域R上是增函数， ∴x-1>2x，∴x<-1. 即x的取值范围是(-∞，-1). (2)0.2x<25； 解：∵0<0.2<1，∴指数函数f(x)=0.2x在R上是减函数. 又25=0.2-2，∴0.2x<25. 即0.2x<0.2-2， ∴x>-2. 即x的取值范围是(-2，+∞). (3)a-5x>ax+7(a>0，且a≠1). 解：当a>1时，∵a-5x>ax+7，∴-5x>x+7，解得x<-； 当0<a<1时，∵a-5x>ax+7，∴-5x<x+7，解得x>-. 综上所述，当a>1时，x的取值范围是；当0<a<1时，x的取值范围为. 题型(三)　指数型函数的 单调性问题 03 [例3]　判断f(x)=的单调性，并求其值域. 解：令u=x2-2x，则原函数变为y=. ∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增， 又y=在(-∞，+∞)上单调递减， ∴f(x)=在(-∞，1]上单调递增，在[1，+∞)上单调递减. ∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，∴y=，u∈[-1，+∞). ∴0<≤=3.∴原函数的值域为(0，3]. [变式拓展] 1.将本例的函数改为“f(x)=”，求其单调区间. 解：设t=-x2-x，则原函数变为y=3t.当x∈时，t=-x2-x单调递增，y=3t单调递增，因此f(x)=在上单调递增； 当x∈时，t=-x2-x单调递减，y=3t单调递增，因此f(x)= 在上单调递减.因此函数f(x)=的单调递增区间为，单调递减区间为. 2.若本例变为函数f(x)=在区间(-1，1)上单调递减，求实数m的取值范围. 解：由复合函数的同增异减性质可得，y=2x2+mx-3在(-1，1)上严格单调递增， 即-≤-1，解得m≥4. 所以m的取值范围是[4，+∞). |思|维|建|模| (1)指数型函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定：一是底数；二是f(x)的单调性，它由两个函数y=au，u=f(x)的复合而成的. (2)求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y=f(u)，u=φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性求出y=f(φ(x))的单调性. 针对训练 4.已知函数f(x)=.记a=f，b=f，c=f，则(　 ) A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b √ 解析：函数f(x)=是由函数y=2u和u=-(x-1)2复合而成的复合函数，y=2u为R上的增函数，u=-(x-1)2在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x=1对称，所以c=f=f，又<2-<<1，所以f<f<f，所以b>c>a，故选A. 5.已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，+∞)上单调递增，则m的取值范围是_________.  (-∞，4] 解析：令t=|2x-m|，则t=|2x-m|在区间上单调递增，在区间上单调递减.而y=2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2，+∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(-∞，4]. 题型(四)　指数函数性质的综合 04 [例4]　已知函数f(x)=x3. (1)求f(x)的定义域； 解：由题意得2x-1≠0，即x≠0， ∴f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞). (2)讨论f(x)的奇偶性； 解：由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称. 令g(x)=+=，φ(x)=x3，则f(x)=g(x)·φ(x). ∵g(-x)===-g(x)，φ(-x)=(-x)3=-x3=-φ(x)， ∴f(-x)=g(-x)·φ(-x)=[-g(x)]·[-φ(x)]=g(x)·φ(x)=f(x). ∴f(x)=x3为偶函数. (3)证明：f(x)>0. 解：证明：当x>0时，2x>1，∴2x-1>0， ∴+>0.∵x3>0，∴f(x)>0. 由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立. 故对于x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，恒有f(x)>0. |思|维|建|模| 解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧. (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行. (3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论. 6.设a>0，函数f(x)=+是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； 针对训练 解：由f(x)=f(-x)，得+=+. 即4x+=0，所以=0. 根据题意，可得-a=0，又a>0，所以a=1. (2)求f(x)在[1，3]上的值域. 解：由(1)可知f(x)=4x+， 设任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=+-=(). 因为0<x1<x2，所以<.所以-<0. 又x1+x2>0，所以>1.所以1->0. 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增. 所以函数f(x)在[1，3]上的最大值为f(3)=43+=； 最小值为f(1)=4+=. 故f(x)在[1，3]上的值域为. 课时检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.设a=，b=，c= ，则a，b，c的大小关系是(　 ) A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a √ 解析：因为函数y=是减函数，所以c>b；又函数y=在(0，+∞)上单调递增，故a>c.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.函数y=的单调递增区间为(　 ) A.(-∞，+∞) B.(0，+∞) C.(1，+∞) D.(0，1) √ 解析：定义域为R.设u=1-x，y=.因为u=1-x在(-∞，+∞)上为减函数，y=在(-∞，+∞)上为减函数，所以y=在(-∞，+∞)上是增函数，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞，-2] B.[-2，0) C.(0，2] D.[2，+∞) √ 解析：由题意得y=x(x-a)在区间(0，1)单调递减，所以x=≥1，解得a≥2.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.不等式>3-2x的解集是(　 ) A.{x|-2<x<4} B.{x|2<x<4} C.{x|x<4} D.{x|x>-2} √ 解析：由>3-2x，得>3-2x，∴8-x2>-2x.即x2-2x-8<0，解得-2<x<4.∴不等式>3-2x的解集是{x|-2<x<4}.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知x，y∈R，且2-x+3-y>2y+3x，则下列各式正确的是 (　 ) A.x-y>0 B.x+y<0 C.x-y<0 D.x+y>0 √ 解析：将不等式变形为2-x-3x>2y-3-y，令F(x)=2-x-3x，则F(x)为减函数.又F(x)>F(-y)，∴x<-y.∴x+y<0.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知函数f(x)=e-|x|，则使得f(2a)<f(a-1)成立的正实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C.(0，1) D. √ 解析：由题意可知f(x)的定义域为R，且f(-x)=e-|-x|=e-|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数.当x>0时，f(x)=，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(x)>0.所以不等式f(2a)<f(a-1)成立，需|2a|>|a-1|，解得a<-1或a>，又a>0，所以a>，即正实数a的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(多选)以下关于数的大小的结论正确的是 (　 ) A.1.72.5<1.73 B.0.8-0.1<0.8-0.2 C.1.70.3<0.93.1 D.> √ √ 解析：y=1.7x单调递增，2.5<3，∴1.72.5<1.73，A正确； y=0.8x单调递减，-0.1>-0.2，∴0.8-0.1<0.8-0.2，B正确； 又1.70.3>1.70=1，0.93.1<0.90=1，∴1.70.3>0.93.1，C错误；====，∵<，∴<，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)函数y=的定义域是_________.  [4，+∞) 解析：由题意得-8≥0，即≥8=23， ∴x-1≥3.解得x≥4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数，则a=_______.  1 解析：设g(x)=a·2x-2-x. 因为f(x)为偶函数，所以g(x)是奇函数， 所以g(0)=0，解得a=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知函数f(x)=，则f(x)的单调递增区间是__________.  (-∞，1] 解析：法一　由指数函数的性质可知y=在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y=|x-1|的单调递减区间.又y=|x-1|的单调递减区间为(-∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(-∞，1]. 法二　f(x)==可画出f(x)的图象(图略)，得其单调递增区间为(-∞，1]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)若函数f(x)=在(1，3)上单调递增，则关于x的不等式ax-1>1的解集为_________.  {x|x>1} 解析：因为y=2x2-3x+1图象的对称轴是x=，开口向上，所以函数在 (1，3)上单调递增.而f(x)在(1，3)上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，得a>1，则ax-1>1=a0，故x-1>0，解得x>1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)设函数f(x)=，a是不为零的常数. (1)若f(3)=，求使f(x)≥4的x的取值范围；(4分) 解：由f(3)=得a=3.则不等式f(x)≥4可化为23x-10≥22，解得x≥4.故x的取值范围是[4，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当x∈[-1，2]时，f(x)的最大值是16，求a的值.(6分) 解：当a>0时，f(x)=2ax-10是增函数，则22a-10=16，所以a=7. 当a<0时，f(x)=2ax-10是减函数，则2-a-10=16，所以a=-14. 综上，a=-14或a=7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知函数f(x)=4x-2·-6中x∈[0，3]. (1)求函数f(x)的最大值和最小值；(6分) 解：由已知，得f(x)=(2x)2-4·2x-6(0≤x≤3). 令t=2x，因为0≤x≤3，所以1≤t≤8. 令h(t)=t2-4t-6=(t-2)2-10(1≤t≤8). 当t∈[1，2]时，h(t)单调递减；当t∈(2，8]时，h(t)单调递增. 所以f(x)min=h(2)=-10，f(x)max=h(8)=26. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若实数a满足f(x)-a≥0恒成立，求a的取值范围.(4分) 解：因为f(x)-a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立， 所以a≤f(x)min恒成立. 由(1)知f(x)min=-10，所以a≤-10. 故a的取值范围为(-∞，-10]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知函数f(x)=2-x. (1)求f(0)-××2-2的值；(3分) 解：由题意知f(0)-××2-2=20-××2-2=1-=1-20=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若函数h(x)=f(x)+g(x)，且h(x)，g(x)满足下列条件： ①h(x)为偶函数；②h(x)≥2且∃x∈R使得h(x)=2；③g(x)>0且g(x)恒过定点(0，1). 写出一个符合题意的函数g(x)，并说明理由.(7分) 解：满足题意的函数g(x)=2x.证明如下： ①因为h(x)=2x+2-x，所以h(-x)=2-x+2-(-x)=2-x+2x=h(x)，所以h(x)=2x+2-x为偶函数. ②h(x)=2x+2-x≥2=2=2=2，当且仅当2x=2-x，即x=0时等号成立. ③g(x)=2x>0，g(x)恒过定点(0，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知函数f(x)=为奇函数. (1)求a的值；(5分) 解：对任意的x∈R，3x+1>0，则函数f(x)的定义域为R， 则f(0)==0，解得a=-1， 此时，f(x)=，所以f(-x)====-f(x)， 所以当a=-1时，函数f(x)=为奇函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明；(5分) 解：由(1)知，f(x)===1-， 则函数f(x)在定义域R上单调递增，证明如下： 设任意的x1<x2，则f(x1)-f(x2)=1--1+=. 因为x1<x2，所以>>0，则-<0， 又+1>0，+1>0，所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在定义域R上单调递增. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立，求实数k的取值范围.(5分) 解：因为不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0对任意的t∈R恒成立， 所以f(2t2-k)>-f(t2-2t)=f(2t-t2)对任意的t∈R恒成立， 因为函数f(x)为R上的奇函数，且为增函数，则2t2-k>2t-t2， 则3t2-2t-k>0对任意的t∈R恒成立，所以Δ=4+12k<0，解得k<-. 因此，实数k的取值范围是. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $