4.1.2 指数幂及其运算性质-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦指数幂及其运算性质，通过课前自主落实基础，课堂梯度进阶式探究，搭建从根式到分数指数幂，再到实数指数幂的学习支架，衔接初中根式知识与高中指数概念扩展。 其亮点在于采用“课前-课堂-检测”三环节教学，结合题型示例培养数学抽象能力和运算推理意识，如根式与分数指数幂互化训练符号意识，条件求值题强化整体代入思维，帮助学生用数学语言表达运算规律，既提升学生解题能力，也为教师提供系统教学资源。

指数幂及其运算性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.能正确运用根式运算性质化简求值.　 2.掌握并运用有理数指数幂的运算性质. 3.能结合教材探究了解无理数指数幂.　 4.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.分数指数幂的意义 正分数 指数幂 规定：=_______(a>0，m，n∈N*，n>1) 负分数 指数幂 规定：==_______(a>0，m，n∈N*，n>1) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于_____， 0的负分数指数幂_______意义 |微|点|助|解| (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. (2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，有时有意义，有时无意义.如==-1，但就不是实数了.为了保证在取任何有理数时，都有意义，所以规定a>0. (3)注意幂指数不能随意约分.如===2，而=在实数范围内无意义. (4)负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正数，而不是负数. 2.有理数指数幂的运算性质与无理数指数幂 (1)有理数指数幂的运算性质 ①aras=_____(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s=_____(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r=_____(a>0，b>0，r∈Q). ar+s ars arbr |微|点|助|解| (1)有理数指数幂除上述运算性质外，还有如下性质： ①ar÷as=ar-s(a>0，r，s∈Q)；②=(a>0，b>0，r∈Q). (2)有理数指数幂的几个常见结论：①当a>0时，ab>0；②当a≠0时，a0=1，而当a=0时，a0无意义；③若ar=as(a>0，且a≠1)，则r=s；④乘法公式仍适用于分数指数幂，如：=-=a-b(a>0，b>0). (3)有理数指数幂的运算性质均在有意义的条件下才能成立，否则，不一定成立.如不一定等于()8，因为当m<0时，没有意义. (2)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的______.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 实数 1.下列运算结果中，正确的是 (　 ) A.a2·a3=a5 B.(-a2)3=(-a3)2 C.(-1)0=1 D.(-a2)3=a6 √ 基础落实训练 解析：a2·a3=a2+3=a5，故A正确；(-a2)3=-a6，(-a3)2=a6，故B、D错误；当a=1时无意义，故C错误. 2.计算的结果是(　 ) A.π B. C.-π D. √ 3.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是_______(填序号).  ①-=(-x(x>0)；② =(y<0)； ③=(x>0)；④=-(x≠0)；⑤=(a>0). ③⑤ 4.若10x=3，10y=4，则1=_______.  解析：∵10x=3，∴102x=9.∴102x-y==. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　根式与分数指数幂的互化 [例1]　将下列根式化成分数指数幂的形式. (1)·； (2)； 解：·=·=. 解：原式=··=. (3) ·； 解：原式=·=. (4)()2·. 解：原式=()2··=. |思|维|建|模|　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子. (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质运算. (3)当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简. 针对训练 1.把根式化为分数指数幂，把分数指数幂化为根式(式中字母均为正实数). (1)； 解：=. (2)； 解：=2. (3)(a+b； 解：(a+b=. (4). 解：=(x3+y. 题型(二)　利用指数幂的运算性质化简求值 [例2]　化简求值： (1)-++-3-1； 解：原式=(0.33+(44+-=-+43+2-=. (2)(a-2b-3)(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)； 解：原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)=-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1=-ac-1=-. (3)2÷4×3. 解：原式=2÷()(3)=·3=. |思|维|建|模| 1.指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，以便于运用指数幂的运算性质. 2.化简指数幂常用技巧 (1)=(ab≠0)； (2)a==(式子有意义)； (3)1的代换，如1=a-1a，1=等. 针对训练 2.化简(a，b为正数)的结果是(　 ) A. B.ab C. D.a2b √ 解析：原式==·=，故选C. 3.求下列各式的值： (1)； 解：原式====3. (2)2××； 解：原式=2×××(3×22=×=2×3=6. (3)； 解：原式==-=-=-5. (4)(a>0). 解：原式====(a>0). 题型(三)　指数幂运算中的条件求值 [例3]　已知+=3，求下列各式的值： (1)a+a-1； 解：将+=3两边平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7. (2)a2+a-2； 解：将a+a-1=7两边平方，可得a2+a-2+2=49，∴a2+a-2=47. (3). 解：∵+=()3+()3=(+)(a-·+a-1) =3(a+a-1-1)=3(7-1)=18， 而a2+a-2=47， ∴原式===3. |思|维|建|模| (1)对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式进行适当变形，构造出能用已知条件表示的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值. (2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a>0，b>0)： ①a±2+b=(±)2；②(+)(-)=a-b； ③+=(+)(a-+b)；④-=(-)(a++b). 针对训练 4.已知10m=2，10n=4，则1的值为(　 ) A.2　　　　　　　　　　 　 B. C. D.2 √ 解析：1====. √ 5.已知a2x=+1，则=(　 ) A.2-1　　　　　　　　　 B.2-2 C.2+1 D.+1 解析：令ax=t，则t2=+1，所以===t2+t-2 -1=+1+-1=+1+-1-1=2-1. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.把根式a化成分数指数幂是(　 ) A.(-a B.-(-a C.- D. √ 解析：由题意可知a≥0，排除A、B、C选项，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.·=(　 ) A. B.5 C. D.25 √ 解析：·==[()2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.设a>0，则下列运算正确的是 (　 ) A.=a B.=0 C.a÷= D.=a √ 解析：易知A正确；对于选项B，=a0=1，B错误；对于选项C，a÷=，C错误；对于选项D，==，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.化成分数指数幂为(　 ) A. B. C. D. √ 解析：原式===(=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若0<a<1，b>0，且ab+a-b=2，则ab-a-b等于(　 ) A. B.2或-2 C.-2 D.2 √ 解析：由ab+a-b=2，得(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8.因此a2b+a-2b=6，所以(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4.由题意得0<ab<1，a-b>1，故ab-a-b<0，所以ab-a-b =-2.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.设2a=5b=m，且+=2，则m=(　 ) A. B.10 C.20 D.100 √ 解析：∵2a=m，5b=m，∴2=，5=.∴2×5=·=. 又+=2，∴m2=10.∴m=或m=-(舍去). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.这三个数的大小关系为　(　 ) A.<< B.<< C.<< D.<< √ 解析：=======. 因为<<，所以<<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(多选)已知10a=2，102b=5，则下列结论正确的是 (　 ) A.a+2b=1 B.ab< C.10a+b>4 D.a>b √ √ √ 解析：因为10a·102b=10a+2b=10，所以a+2b=1，故A正确；易知a>0，b>0，由基本不等式得a+2b≥2，所以ab≤，当且仅当a=2b=时取等号，又因为10a≠102b，即a≠2b，所以等号不成立，所以ab<，故B正确；10a+b=10a·10b=2×=2>4，故C正确；由(10a)2=102a= 4<5=102b，得a<b，故D错误.故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)设α，β是方程5x2+10x+1=0的两个根，则2α·2β=_____，(2α)β= _______.  　 解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α+β=-2，αβ=. 则2α·2β==2-2=，(2α)β=2αβ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)计算·(-3a-1b)÷=________.  -b2 解析：原式==-b2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成______个.  64 解析：经过1小时可分裂6次，可分裂成26=64个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知a2m+n=2-2，am-n=28(a>0，且a≠1)，则a4m+n的值为_____.  4 解析：因为所以①×②得a3m=26. 所以am=22.将am=22代入②得22·a-n=28，所以an=2-6. 所以a4m+n=·an=(am)4·an=(22)4·2-6=22=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)计算下列各式的值： (1)；(2分) 解：原式==29×32=4 608. (2)(a>0)；(2分) 解：原式==a0=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)；(3分) 解：原式===π. (4)+0.1-2+-3π0+.(3分) 解：原式=++-3+=+100+-3+=100. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知a=3，求+++的值. 解：+++=++ =++=+ =+==-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)若a，b，c为正实数，ax=by=cz，++=0，求abc. 解：设ax=by=cz=k， 则k>0，a=，b=，c=， 因此abc===k0=1. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $