专题1.1 空间向量及其线性运算（7类必考点）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，系统梳理空间向量的概念（定义、表示、特殊向量）、线性运算（加减、数乘及运算律）、共线与共面向量定理，构建从概念到运算再到定理的递进学习支架。 资料以分考点设计为特色，结合正方体、三棱锥等几何体实例，通过概念辨析、运算推理、参数求解等题型，培养学生的抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和应用意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化空间向量的理解与应用。

专题1.1 空间向量及其线性运算 【考点导航】 【知识梳理】 1、空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母，，，…表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为||或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 － 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量，都有∥ 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 ＋b＝＋ ＝ 减法 －b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λ＝λ＝； 当λ<0时，λ＝λ＝； 当λ＝0时，λ＝0 运算律 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): 交换律:； 结合律:； 分配律:. 3、共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量，(≠)，∥的充要条件是存在实数λ，使＝λ. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量，我们把与向量平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有//. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 4、共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【考点1：空间向量的有关概念】 1．（26-27高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【分析】根据向量运算、单位向量、零向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 2．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 3．（26-27高二下·云南保山·开学考试）（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【分析】根据相等向量的有关概念判断． 【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 4．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）（多选）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的相关概念逐项判断即得. 【详解】当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，A错误； 模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，B错误； 由相等向量的传递性，知若，则，C正确； 在正方体中，四边形是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即，D正确， 故选：CD 5．（26-27高二·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量与的长度相等 B．在空间四边形ABCD中，与是相反向量 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】AD 【分析】利用空间向量的相关概念逐一判断即得解. 【详解】解：向量与是相反向量，长度相等，故选项A正确； 空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反，故选项B错误： 空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，故选项C错误； 由空间向量的有关概念与性质易知选项D正确． 故选：AD． 【考点2：空间向量的线性运算】 1．（26-27高二上·河南郑州·开学考试）如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 2．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 3．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 . 【详解】由已知， . 故选：A 4．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算可得. 【详解】 由图和题意可知 ， 又， 故， 故选：C 5．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 【考点3：由空间向量线性运算求参数】 1．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 【答案】 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 2．（25-26高二·全国·单元测试）已知点M,N分别是空间四面体OABC的边OA和BC的中点,P为线段MN的中点,若=λ+μ+γ,则实数λ+μ+γ=_____. 【答案】 【分析】画出图形，将向量用基底进行分解，然后根据空间向量基本定理可得的值，于是可得所求结果． 【详解】如图,连接ON, 在△OMN中，点P是MN中点，由平行四边形法则得 , 又=λ+μ+γ， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查空间向量基本定理的应用，考查空间向量在同一组基底下的分解式唯一的性质，解题时用到了“算两次”的方法，通过比较系数后可得所求． 3．（25-26高二上·天津和平·期中）如图，在空间四边形ABCD中，，，棱AC，BD，BC的中点分别为E，F，G，若，则_____． 【答案】5 【分析】根据空间向量的线性运算，用、表示，从而求出的值． 【详解】在空间四边形ABCD中，棱AC，BD，BC的中点分别为E，F，G， 所以，； 所以， 又因为，所以. 故答案为： 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）如图所示，在四面体中，点是的中点，记，，，令，则______． 【答案】0 【解析】根据化简可得出，即可求出，得出答案. 【详解】解析： 又， ，，， ． 故答案为：0． 5．（25-26高二下·上海·期中）如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设平面与直线的交点为，由题意可得点在线段的延长线上，进而根据面面平行、线面平行的性质得到，，可得四边形为平行四边形，进而结合空间向量的线性运算可得，进而求解即可. 【详解】设平面与直线的交点为， 由于平面截所得截面是一个五边形， 则点在线段的延长线上， 在平行六面体中，平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，平面平面，则，同理可得， 所以四边形为平行四边形， 则， ， 由于点在线段的延长线上，则，即， 又点F在棱上，则，且时，点F与点重合，此时截面为四边形，不满足题意， 因此，则的取值范围是. 【考点4：空间向量的共线定理】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 2．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 3．（26-27高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 【答案】/ 【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【详解】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】 因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【详解】略 5．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)； (2). 【答案】(1) ， 所以. (2) . 【分析】（1）根据空间向量的线性运算得到，进而得到向量平行. （2）根据空间向量的线性运算即可. 【考点5：由空间向量的共线定理求参数】 1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 2．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 3．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 4．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 5．（26-27高二上·吉林·开学考试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【答案】0 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 【考点6：空间向量的共面定理】 1．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 3．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义、共线向量的定义，结合共面定理逐一判断即可. 【详解】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 4．（专题01空间向量的运算及坐标表示10大重点题型（举一反三期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】 取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 【分析】取，，，由向量的线性运算得与，共面可得答案. 【详解】略 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 【答案】 证明：如图，取的中点，连接，， 则， 在正方体中，，， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面． 【分析】如图，取的中点，连接，，由题可得四边形是平行四边形，进而可得，据此可完成证明. 【详解】略 【考点7：由空间向量的共面定理求参数】 1．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 3．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为平面外一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 4．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 【答案】/0.6 【分析】连接交于点，将转换成，结合共面，即可求解. 【详解】 连接交于点，因为底面ABCD是平行四边形， 所以为的中点， 由平行四边形法则可得：， 故， 又，， 得，， 又Q为PA的中点，， 所以， 由题意共面， 所以， 解得. 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 空间向量及其线性运算 【考点导航】 【知识梳理】 1、空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母，，，…表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为||或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 － 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量，都有∥ 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 ＋b＝＋ ＝ 减法 －b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λ＝λ＝； 当λ<0时，λ＝λ＝； 当λ＝0时，λ＝0 运算律 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中): 交换律:； 结合律:； 分配律:. 3、共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量，(≠)，∥的充要条件是存在实数λ，使＝λ. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量，我们把与向量平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有//. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 4、共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【考点1：空间向量的有关概念】 1．（26-27高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 2．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 3．（26-27高二下·云南保山·开学考试）（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 4．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）（多选）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 5．（26-27高二·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量与的长度相等 B．在空间四边形ABCD中，与是相反向量 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【考点2：空间向量的线性运算】 1．（26-27高二上·河南郑州·开学考试）如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点是的中点，记．则（   ） A． B． C． D． 【考点3：由空间向量线性运算求参数】 1．（25-26高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 2．（25-26高二·全国·单元测试）已知点M,N分别是空间四面体OABC的边OA和BC的中点,P为线段MN的中点,若=λ+μ+γ,则实数λ+μ+γ=_____. 3．（25-26高二上·天津和平·期中）如图，在空间四边形ABCD中，，，棱AC，BD，BC的中点分别为E，F，G，若，则_____． 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）如图所示，在四面体中，点是的中点，记，，，令，则______． 5．（25-26高二下·上海·期中）如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 【考点4：空间向量的共线定理】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 2．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 5．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)； (2). 【考点5：由空间向量的共线定理求参数】 1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 3．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 4．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 5．（26-27高二上·吉林·开学考试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【考点6：空间向量的共面定理】 1．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 4．（专题01空间向量的运算及坐标表示10大重点题型（举一反三期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面 【考点7：由空间向量的共面定理求参数】 1．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 3．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $