20.1 认识二次根式 讲义 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

本讲义聚焦二次根式的核心知识点，系统梳理概念（形如√a的式子，含根号且被开方数非负）、有无意义条件及性质（双重非负性、(√a)²=a(a≥0)、√a²=|a|及两者区别），构建从基础概念到性质应用的学习支架。 资料通过6类题型（识别、有意义条件、求值等）及实例（如电流计算应用题），培养抽象能力与推理意识，答案解析详尽，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识理解与应用。

第20章20.1认识二次根式 【新教材华东师大版】 知识点1 二次根式的概念 1.定义：一般地，我们把形如（）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数． 2.拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）． 知识点2 二次根式有无意义的条件 例如：因为，所以二次根式恒有意义． 知识点3 二次根式的性质 1.二次根式具有双重非负性： 2.，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如． 3.即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如． 拓展：和的区别 运算结果 a的取值 任意实数 作用 ①用来去根号，化简二次根式； ②可用将任意一个非负实数写成一个数的平方的形式 ①用来去根号，化简二次根式； ②将根号外的非负因式平方后移到根号内. 例如：若,则= 【题型1 二次根式的识别】 1．下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列式子，1，，，，，一定是二次根式的共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．在式子，，，，中，是二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在式子，，，(),和 中，是二次根式的有 个 6．下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【题型2 二次根式有意义的条件】 1．函数有意义，则自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．代数式有意义，那么x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．若式子有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．要使分式的值为，则的值是______________． 5．写出一个使二次根式在实数范围内有意义的的值：____________． 6．若代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【题型3 求二次根式的值】 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 5．电流通过导线时会产生热量．电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：．已知导线的电阻，1s的时间导线产生30J的热量，则电流为______A．（结果用二次根式表示） 【题型4 二次根式的性质】 1．计算：（     ） A． B．3 C． D．9 2．实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 3．下面计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 5．点在第四象限，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．已知、、在数轴上的位置如图所示．化简__________． 7．如果，那么满足的条件是__________． 8．若，则______． 9．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简___________． 10.（25-26八年级下·甘肃定西·期中）已知，则_____． 11.已知，均为实数，，则的值为________． 【题型5 求二次根式中的参数】 1．若二次根式有意义，则正整数的值是（   ） A．1 B．0 C．2 D．3 2．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 3．已知是整数，则正整数的最小值为____________． 4．已知是整数，正整数的值可以是______． 5．已知x是正整数，且是整数，则x的最小值是_________ 【题型6 二次根式的化简】 1．若，则化简为（  ） A． B． C． D． 2．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 3．对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 4．当时，化简二次根式的正确结果是_____________． 5．已知，则的值为________． 6．化简：___________． 7．综合与实践 【项目主题】 九年级同学在学习《二次根式》时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 第20章20.1认识二次根式答案与详细解析 【题型1 二次根式的识别】 1．C 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 2．D 【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确． 故选：D． 3．C 【详解】解：二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2，被开方数为非负数两个条件 选项A中，当时，无意义，不一定是二次根式，不符合要求； 选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，不符合要求； 选项C中，根指数为2，被开方数，满足二次根式的所有条件，一定是二次根式，符合要求； 选项D中，根指数为3，是三次根式，不是二次根式，不符合要求 4．C 【详解】解：是二次根式的有，，，共3个. 故选C. 5．4 【详解】结合二次根式概念，形如 (a 0)的式子叫做二次根式 可知是二次根式的有 ，，，共4个 6． 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． 【题型2 二次根式有意义的条件】 1．C 【详解】解：∵函数有意义， ∴，解得． 2．B 【详解】解：要使有意义， ∵被开方数非负且分母不为0， ∴， 解得. 3．D 【详解】解：∵分式有意义，需同时满足二次根式有意义和分母不为的条件， ∴且， 解得． 4． 【详解】解：∵分式的值为， ∴，，， 由解得， 满足，且， ∴的值为． 5．2（答案不唯一） 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴一个使二次根式在实数范围内有意义的的值为2． 6． 【详解】解：由代数式有意义可得 且 解不等式得， 由解得， ∴不等式组的解集为． 【题型3 求二次根式的值】 1．C 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 2．C 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 3．C 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4． 0 1 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 5． 【详解】解：电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足：， 将，，代入，得， 解得：或（负值，舍去） 故答案为：． 【题型4 二次根式的性质】 1．B 【详解】解：． 2．A 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴ . 3．C 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：由，可得，故C正确； D：，错误． 4．D 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算错误； D、，计算正确． 5．B 【详解】解：∵点在第四象限 ∴， 解得 ∵ ∴， ∴原式． 6．/ 【详解】解：由数轴可得 ， 因此：，． 根据二次根式性质 ，对原式化简： ． 7． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 8．2027 【详解】由 有意义，得， ， . ， 可化简为， ，即． 9． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ． 10. / 【详解】解：∵， 解得， ∴， ∴． 11.8 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：8 【题型5 求二次根式中的参数】 1．A 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，解得， ∵为正整数， ∴． 2．B 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 3．4 【详解】解：是正整数，是整数， 是完全平方数， ∵大于的最小完全平方数是， ∴， 解得． 4．2（答案不唯一） 【详解】解：是整数，为正整数， 是完全平方数， 取， 解得． 5．2 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 【题型6 二次根式的化简】 1．D 【详解】解：∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．A 【详解】解： 有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 3．C 【详解】解：由题意可得：，∴ ∴ 故选：C 4． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 5． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 6． 【详解】解：原式． 故答案为：． 7．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 答案第1页（共2页） 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $