第二章一元二次方程同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第二章一元二次方程同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、单选题（本大题共10小题）

1．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米.设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（  ）

A.  B.

C.  D.

2．方程的根是(　　)

A． B．

C． D．

3．某书城预计2026年6月启用，预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同，设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程为（     ）

A． B．

C． D．

4．一元二次方程的根的情况是（   ）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法判断方程的实数根的情况

5．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，若设栅栏的长为，则下列各方程中，符合题意的是（    ）

A． B．

C．  D．

6．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    )

A． B． C．或 D．或

7．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边

是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ）

A．且 B． C．且 D．

8．形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（   ）

A． B． C． D．

9．关于x的一元二次方程的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（     ）

A．1 B．3 C．1或2 D．2或3

10．关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共6小题）

11．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是______．

12．已知方程的两根之积是两根之和的2倍，则             ．

13．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x1+x2＝_____．

14．对于实数，定义新运算：.例如：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________.

15．若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______．

16．菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______．

 

 

三、解答题（本大题共5小题）

17．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一

个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．

（1）根据上述定义，是“________倍根方程”；

（2）若关于的方程是“三倍根方程”，求的值；

（3）直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围．

18．阅读材料，并解决问题．

【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：

首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程，所以．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．

【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择）

【类比迁移】（2）小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：

第一步：将原方程变形为，即（_________）；

第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（请仿照图1在下列方框中画出示意图，标明各边长．）