第二章一元二次方程同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习以一元二次方程为核心，通过基础巩固、情境应用到综合探究的三层设计，实现从概念理解到创新应用的知识进阶，培养抽象能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|方程解法、根的判别式、根与系数关系|直接考查概念（如填空题13求两根和），夯实运算能力| |发展层|实际问题建模、新运算定义|结合停车场（题1）、仓库面积（题5）等情境，培养几何直观与应用意识| |提升层|综合探究、跨知识整合|通过“倍根方程”（题17）、赵爽弦图（题18）等设计，发展推理能力与创新意识|

第二章一元二次方程同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题（本大题共10小题） 1．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米.设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 2．方程的根是(　　) A． B． C． D． 3．某书城预计2026年6月启用，预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同，设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断方程的实数根的情况 5．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，若设栅栏的长为，则下列各方程中，符合题意的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 7．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 8．形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 9．关于x的一元二次方程的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（     ） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 10．关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题） 11．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是______． 12．已知方程的两根之积是两根之和的2倍，则 ． 13．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x1+x2＝_____． 14．对于实数，定义新运算：.例如：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________. 15．若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______． 16．菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为______． 三、解答题（本大题共5小题） 17．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“________倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； （3）直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 18．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程，所以．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】（2）小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（_________）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（请仿照图1在下列方框中画出示意图，标明各边长．） 第三步：根据大正方形的面积等于四个矩形与中间小正方形的面积和，可得新的方程为__________，解得原方程的一个根为_________； 【拓展应用】（3）一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数_______，_______，求得方程的一个正根为________． 19．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（、为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 如果只把当成数，则将符合一切实数运算规则，但要根据式变通来简便运算．（它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题：； ； 例题：， ， 同样我们也可以化简， 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：____________；____________ （2）计算： （3）在复数范围内解方程： 20．阅读材料：若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）求“快乐方程”的“快乐数”的值； （2）若关于的一元二次方程是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于的一元二次方程与（m、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 21．阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C C A A C D C D 11．且 12．1 13．4 14． 15． 16．24 17．（1）四 （2） （3） 18．理解应用：②；类比迁移：第一步：，第二步：见详解；第三步：，；拓展应用：． 19．（1）， （2） （3）， 20．（1）-4 （2）3， （3）或3 21．（1）①②或3 （2）该方程的“关爱码”为或 （3）2 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $