第二章有理数及其运算单元教案 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

该教案聚焦有理数的概念、五种运算及科学计数法，通过温度计、海拔等实际情境导入，衔接小学算术与负数知识，构建从具体到抽象的学习支架，梳理概念与运算的逻辑脉络。 资料特色在于情境化教学与核心素养融合，如温度变化问题引入加法法则培养数学建模，数轴与绝对值教学渗透几何直观，分层次练习提升运算能力。教学流程清晰，助力教师高效授课，学生扎实掌握知识与方法。

初中 年级 主备教师： 辅备老师： 单元 第二章 有理数及其运算 单元教材分析 本章是北师大版2024年新课标七年级上册第二章的核心内容，在小学算术和小学负数的基础上，系统学习有理数的概念及五种运算（加、减、乘、除、乘方），为后续学习整式、方程、不等式奠定运算基础。 第一节 认识有理数（3课时）：在有理数概念的基础上，学习相反数和绝对值（用数轴上的点表示互为相反数、用距离定义绝对值），学习数轴（三要素：原点、正方向、单位长度），建立数形结合思想。 第二节 有理数的加减运算（5课时）：从温度计、海拔等实际情境引入有理数加法，归纳加法法则（同号/异号/与0），学习加法交换律和结合律，引入减法法则（减去一个数等于加上它的相反数），学习加减混合运算及其实际应用。 第三节 有理数的乘除运算（3课时）：从温度变化、仓库入库等情境引入乘法，归纳乘法法则（同号得正、异号得负、绝对值相乘），学习多个有理数相乘的符号判定（奇负偶正），学习乘法运算律（交换律、结合律、分配律），学习除法法则（除以一个不等于零的数等于乘以它的倒数）和倒数概念。 第四节 有理数的乘方（2课时）：引入乘方概念（底数、指数、幂），学习乘方符号法则（负数偶次幂为正、奇次幂为负），区分(-a)ⁿ与-aⁿ，学习科学计数法表示大数和小数。 第五节 有理数的混合运算（1课时）：综合运用五种运算，掌握运算顺序（先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内），培养运算能力和符号意识。 本章体现了从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维方法，注重运算算理的理解与算法掌握的统一，强调运算律在简化计算中的作用，渗透数形结合、转化、分类讨论等数学思想方法。 单元教学目标 1. 理解有理数的概念，掌握有理数的两种分类方法（按定义分类和按正负性分类），能正确区分正整数、负整数、正分数、负分数、零。（数学抽象） 2. 理解相反数的概念和性质（互为相反数的两数和为0），理解绝对值的几何定义（数轴上点到原点的距离）和代数定义（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0），掌握|a|≥0。（几何直观、数学抽象） 3. 掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，理解数轴上的点与有理数的一一对应关系。（数形结合） 4. 掌握有理数加法法则（同号取相同符号并把绝对值相加，异号取绝对值较大的加数的符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值），理解加法交换律和结合律，能运用运算律简化计算。（运算能力、符号意识） 5. 掌握有理数减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数），能正确进行有理数的加减混合运算，解决实际问题。（运算能力、数学建模） 6. 掌握有理数乘法法则（同号得正、异号得负、绝对值相乘），理解多个有理数相乘的符号判定法则（奇负偶正），掌握乘法运算律（交换律、结合律、分配律），理解倒数概念。（运算能力、符号意识、推理能力） 7. 掌握有理数除法法则（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数），理解两数相除的符号法则。（运算能力、转化思想） 8. 理解乘方概念（底数、指数、幂），掌握乘方符号法则，能正确计算乘方，区分(-a)ⁿ与-aⁿ，掌握科学计数法表示大数和小数。（运算能力、符号意识、数学建模） 9. 掌握有理数混合运算的顺序（先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内），能正确进行混合运算，灵活运用运算律简化计算。（运算能力、推理能力） 单元教学重点 1. 有理数的分类；相反数与绝对值的概念及计算；数轴的画法与有理数的大小比较。 2. 有理数加法法则与减法法则的理解与运用；加减混合运算的步骤与技巧。 3. 有理数乘法法则与除法法则的理解与运用；多个有理数相乘的符号判定（奇负偶正）。 4. 乘法运算律（交换律、结合律、分配律）在有理数范围内的运用及简便计算。 5. 乘方的概念及符号法则；(-a)ⁿ与-aⁿ的区别；科学计数法的表示方法。 6. 有理数混合运算的顺序及正确计算。 单元课时安排 第一节 认识有理数（3课时）： 第1课时 有理数；第2课时 相反数和绝对值；第3课时 数轴 第二节 有理数的加减运算（5课时）：第4课时 有理数的加法；第5课时 有理数加法的运算律；第6课时 有理数的减法；第7课时 有理数的加减混合运算；第8课时 有理数加减混合运算的实际应用 第三节 有理数的乘除运算（3课时）：第9课时 有理数的乘法；第10课时 有理数乘法的运算律；第11课时 有理数的除法 第四节 有理数的乘方（2课时）：第12课时 有理数的乘方；第13课时 科学计数法 第五节 有理数的混合运算（1课时）：第14课时 有理数的混合运算 教学内容 1.1 有理数 课 型 新授课 总第 1 课时 教学目标 1. 理解有理数的概念，掌握正整数、负整数、正分数、负分数、零的分类。（数学抽象） 2. 掌握有理数的两种分类方法：按定义分类和按正负性分类。（数学抽象、推理能力） 3. 理解正数和负数可以表示具有相反意义的量，会用正负数表示实际问题中的数量。（数学建模、应用意识） 4. 经历有理数概念的建构过程，体会从具体到抽象的数学思维方法。（推理能力） 教学重点 1. 有理数的概念及分类方法。 2. 正数和负数表示相反意义的量。 教学难点 1. 理解有理数的分类标准，避免分类重复或遗漏。 2. 理解零的特殊性——零既不是正数也不是负数。 教学方法 情境探究法、类比归纳法、合作交流法、讲练结合法 教学准备 多媒体课件（含温度、海拔、收支等实际情境图）、课堂练习卡、有理数分类卡片 教 学 流 程 【环节一：情境导入】（5分钟） 【教师活动】出示问题：①某地冬季某天最低气温为零下5°C，最高气温为零上3°C，如何用数学方法简洁表示？②某仓库今天运进货物5吨，明天运出货物3吨，如何表示？③某次考试，小明得分比平均分高5分记作+5分，小红低3分记作多少？ 【学生活动】学生思考讨论，尝试用新数表示相反意义的量，发现小学学过的数不够用了，需要引入新数。 【设计意图】从学生熟悉的生活情境出发，让学生感受引入负数的必要性，激发学习兴趣。 【环节二：探究新知】（25分钟） 【教师活动】1. 回顾小学已学的数：正整数（1,2,3...）、零（0）、正分数（1/2,0.3...）。指出这些数不够用，引入负数。 2. 给出负数定义：在正数前面加上"-"号的数叫做负数，如-5、-3.5、-2/3。 3. 给出正数定义：以前学过的数（零除外）叫做正数，正数前面可以加"+"号，如+5、+3.5。 4. 强调零的特殊性：零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界点。 5. 引入有理数概念：正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 6. 介绍两种分类方法： （1）按定义分类：有理数→{正整数、零、负整数、正分数、负分数} （2）按正负性分类：有理数→{正有理数（正整数、正分数）、零、负有理数（负整数、负分数）} 7. 举例练习：将下列各数填入相应的集合中：-7, 1/2, 0, +3.5, -2/3, 8, -15, 0.6 【学生活动】1. 学生思考并尝试用正负数表示相反意义的量。 2. 学生理解有理数的概念，在教师引导下完成分类。 3. 学生分组讨论两种分类方法，填写分类图。 4. 学生练习分类，互相纠错。 【设计意图】通过具体实例，让学生经历有理数概念的建构过程，理解分类的数学思想，培养数学抽象能力。 【环节三：巩固练习】（10分钟） 【教师活动】出示练习题： (1) 把下列各数分别填入相应的集合中：-3.5, +7, 0, -2/5, 1/3, -8, 0.6, +15 正整数集合：{+7, +15} 负整数集合：{-8} 正分数集合：{1/3, +3.5, 0.6} 负分数集合：{-2/5, -3.5} (2) 判断：①0是正数（×）②-3是负整数（√）③-2.5是负分数（√）④有理数分为正数和负数（×，还有零） (3) 用正负数表示：①向东走5米记作+5米，向西走3米记作___（-3米）②收入200元记作+200元，支出80元记作___（-80元） 【学生活动】学生独立完成练习，板演分类结果，互相纠错。特别注意-3.5是负分数不是负整数，0既不是正数也不是负数。 【设计意图】通过多层次练习，巩固有理数的分类，强化对零的特殊性的理解，培养分类讨论思想。 【环节四：课堂小结】（5分钟） 【教师活动】引导学生总结：①有理数的概念；②两种分类方法（画分类图）；③零的特殊性；④正负数表示相反意义的量。 【学生活动】学生回顾本节课所学内容，画出有理数分类图。 【设计意图】帮助学生构建知识体系，强化分类思想。 （课后填写） 板书设计 一、正数与负数 正数：+5, +3.5, 1/2, 0.6（大于0的数） 负数：-5, -3.5, -2/3（在正数前加"-"号） 零：0（既不是正数也不是负数，是正负数的分界点） 二、有理数的概念 正整数、零、负整数、正分数、负分数 统称为有理数 三、有理数的分类 按定义分类： 有理数 → {正整数, 零, 负整数, 正分数, 负分数} 按正负性分类： 有理数 → {正有理数{正整数, 正分数}, 零, 负有理数{负整数, 负分数}} 四、典型例题 将下列各数分类：-7, 1/2, 0, +3.5, -2/3, 8, -15, 0.6 正整数：{+8, +15} 负整数：{-7, -15} 正分数：{1/2, +3.5, 0.6} 负分数：{-2/3, -3.5} 零：{0} 教后反思 教学内容 1.1 相反数和绝对值 课 型 新授课 总第 2 课时 教学目标 1. 理解相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。（数学抽象） 2. 理解相反数的几何意义：在数轴上，互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧。（几何直观、数形结合） 3. 理解绝对值的概念：数轴上一个数对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。（几何直观） 4. 掌握绝对值的代数求法：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。（运算能力、符号意识） 5. 理解|a|≥0，即绝对值的非负性。（推理能力） 教学重点 1. 相反数的概念及求法；绝对值的概念及求法。 2. 绝对值的几何意义和代数定义。 教学难点 1. 理解绝对值的几何意义（距离），理解|a|≥0。 2. 求负数的绝对值时，理解|-a|=a（a>0）的含义。 3. 区分相反数与绝对值的概念。 教学方法 情境探究法、数形结合法、类比归纳法、讲练结合法 教学准备 多媒体课件（含数轴动画）、课堂练习卡、数轴模型 教 学 流 程 【环节一：情境导入】（5分钟） 【教师活动】在数轴上标出+3和-3两个点，提问：①这两个点到原点的距离分别是多少？②这两个点的位置有什么特点？③如果我把+3改成-3，它到原点的距离变了吗？ 【学生活动】学生在数轴上观察，发现+3和-3到原点的距离都是3个单位长度，且分别位于原点两侧。 【设计意图】通过数轴直观展示，让学生初步感知"相反"和"距离"的概念，为引入相反数和绝对值做铺垫。 【环节二：探究新知】（25分钟） 【教师活动】1. 引入相反数概念：在数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。例如+3和-3互为相反数，+2.5和-2.5互为相反数。 2. 相反数的性质：①互为相反数的两数和为0，即若a与b互为相反数，则a+b=0。②0的相反数是0。③a的相反数是-a（注意：-a不一定是负数，当a<0时，-a>0）。 3. 举例：+5的相反数是-5；-7的相反数是+7；0的相反数是0；-a的相反数是a。 4. 引入绝对值概念：数轴上一个数对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。记作|a|。 5. 从几何角度理解：|+3|=3（+3到原点距离为3），|-3|=3（-3到原点距离为3），|0|=0。 6. 绝对值的代数定义：①正数的绝对值是它本身：若a>0，则|a|=a。②负数的绝对值是它的相反数：若a<0，则|a|=-a（注意：此时-a>0）。③零的绝对值是零：|0|=0。 7. 总结：|a|≥0（绝对值的非负性）。 8. 举例练习：求下列各数的绝对值：|+5|=5, |-7|=7, |+2/3|=2/3, |-4.5|=4.5, |0|=0 【学生活动】1. 学生在数轴上标出互为相反数的点，观察距离关系。 2. 学生理解相反数的概念和性质，练习求相反数。 3. 学生理解绝对值的几何意义，在数轴上找出绝对值等于3的点（+3和-3）。 4. 学生掌握绝对值的代数求法，完成练习。 5. 学生讨论：|a|=5，则a=？（a=±5） 【设计意图】通过数形结合，让学生从几何和代数两个角度理解相反数和绝对值，培养几何直观和数学抽象能力。 【环节三：巩固练习】（10分钟） 【教师活动】出示练习题： (1) 求下列各数的相反数和绝对值： +6的相反数是___，|+6|=___ （答案：-6, 6） -8的相反数是___，|-8|=___ （答案：+8, 8） -3/4的相反数是___，|-3/4|=___ （答案：+3/4, 3/4） 0的相反数是___，|0|=___ （答案：0, 0） (2) 已知|a|=5，求a的值。（a=+5或a=-5） (3) 比较大小：|-7|___|+3|（填>、<或=）（答案：>） (4) 若|x|=x，则x的取值范围是___（x≥0） 【学生活动】学生独立完成练习，板演计算过程，注意-(-5)=+5的含义。 【设计意图】通过多层次练习，巩固相反数和绝对值的概念及计算，培养运算能力。 【环节四：课堂小结】（5分钟） 【教师活动】引导学生总结：①相反数的定义和性质（和为0）；②绝对值的几何定义（距离）和代数定义（分段讨论）；③|a|≥0的非负性；④|-a|与|a|的关系。 【学生活动】学生回顾本节课所学内容，整理知识要点。 【设计意图】帮助学生构建相反数和绝对值的知识体系，强化数形结合思想。 （课后填写） 板书设计 一、相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数 +3和-3互为相反数 +2.5和-2.5互为相反数 2. 性质：互为相反数的两数和为0 若a与b互为相反数，则a+b=0 3. 求法：a的相反数是-a +5的相反数是-5 -7的相反数是+7 0的相反数是0 注意：-a不一定是负数，当a<0时，-a>0 二、绝对值 1. 几何定义：数轴上一个数对应的点到原点的距离 |+3|=3 |-3|=3 |0|=0 2. 代数定义： 正数：若a>0，则|a|=a （如|+5|=5） 负数：若a<0，则|a|=-a （如|-7|=7，此时-a=+7） 零：|0|=0 3. 非负性：|a|≥0 三、典型例题 |+6|=6 |-8|=8 |-3/4|=3/4 |0|=0 已知|a|=5，则a=+5或a=-5 若|x|=x，则x≥0 教后反思 教学内容 1.1 数轴 课 型 新授课 总第 3 课时 教学目标 1. 掌握数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。（几何直观、数形结合） 2. 能在数轴上表示有理数，理解数轴上的点与有理数的一一对应关系。（几何直观） 3. 掌握利用数轴比较有理数大小的方法：数轴上右边的数总比左边的数大。（数形结合） 4. 理解相反数在数轴上的对称性，理解绝对值的几何意义。（几何直观） 教学重点 1. 数轴的三要素及画法。 2. 利用数轴比较有理数的大小。 教学难点 1. 在数轴上正确表示有理数（特别是分数和负数）。 2. 理解数轴上点与有理数的一一对应关系。 教学方法 动手操作法、直观演示法、合作交流法、讲练结合法 教学准备 多媒体课件（含数轴动画）、直尺、课堂练习卡 教 学 流 程 【环节一：情境导入】（5分钟） 【教师活动】出示温度计图片，提问：①温度计上如何表示零上5°C和零下3°C？②温度计上的刻度有什么特点？③能否把温度计"放平"，画在纸上表示有理数？ 【学生活动】学生观察温度计，发现温度计有"0刻度"、"正方向（向上）"、"单位长度（每格1°C）"三个要素，类比思考如何在直线上表示有理数。 【设计意图】从温度计引入数轴概念，让学生体会数轴的实际来源，激发学习兴趣。 【环节二：探究新知】（25分钟） 【教师活动】1. 引入数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2. 讲解数轴三要素：①原点（表示0的点）；②正方向（通常向右为正）；③单位长度（选取适当的长度为单位长度）。 3. 示范画数轴：画一条水平直线→在直线上取一点为原点O→规定向右为正方向→选取适当长度为单位长度→标出刻度。 4. 在数轴上表示有理数：①正整数在原点右侧，距离原点几个单位就标几；②负整数在原点左侧；③分数在两个整数之间等分。 5. 举例：在数轴上表示-3, +2, -1/2, +3.5, 0, -4。 6. 利用数轴比较大小：数轴上右边的数总比左边的数大。即：若a在b的右边，则a>b。 7. 总结比较方法：①正数>0>负数；②两个负数，绝对值大的反而小（在数轴上更靠左）。 8. 相反数的几何特征：互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 9. 绝对值的几何意义：|a|等于数轴上表示a的点到原点的距离。 【学生活动】1. 学生动手画数轴，练习标出各点。 2. 学生在数轴上标出：-2, +3, -1/2, +2.5, 0, -4, +1/3。 3. 学生利用数轴比较大小：-3___+2, -5___-2, -1/2___-3/4。 4. 学生讨论：为什么两个负数比较大小，绝对值大的反而小？ 【设计意图】通过动手操作和直观演示，让学生掌握数轴的概念和用法，培养数形结合能力。 【环节三：巩固练习】（10分钟） 【教师活动】出示练习题： (1) 画出数轴，并在数轴上表示下列各数：-4, +1/2, 0, -2.5, +3, -1 (2) 利用数轴比较大小（用">"或"<"连接）： ①-3___+2 ②-5___-2 ③-1/2___-3/4 ④0___-7 (3) 在数轴上，到原点的距离等于3的点表示的数是___（±3） (4) 比较：-(-5)___-|+5| （答案：-(-5)=+5, -|+5|=-5, 所以+5>-5） (5) 数轴上A点表示-2，B点表示+3，则A、B两点间的距离是___（5个单位长度） 【学生活动】学生独立完成练习，板演数轴和比较结果，互相纠错。特别注意-1/2和-3/4的比较：在数轴上-1/2在-3/4的右边，所以-1/2>-3/4。 【设计意图】通过多层次练习，巩固数轴的概念和用法，培养数形结合能力。 【环节四：课堂小结】（5分钟） 【教师活动】引导学生总结：①数轴三要素；②在数轴上表示有理数的方法；③利用数轴比较大小的规则；④相反数的几何特征（关于原点对称）；⑤绝对值的几何意义（到原点的距离）。 【学生活动】学生回顾本节课所学内容，整理数轴的知识要点。 【设计意图】帮助学生构建数轴的知识体系，强化数形结合思想。 （课后填写） 板书设计 一、数轴 1. 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线 2. 三要素：①原点 ②正方向（向右） ③单位长度 二、在数轴上表示有理数 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ←---●---●---●---●---●---●---●---●→ -2.5 -1/2 +1/2 +2.5 三、利用数轴比较大小 数轴上右边的数总比左边的数大 正数>0>负数 两个负数：绝对值大的反而小 例：-5<-2, -1/2>-3/4 四、相反数与绝对值的几何意义 相反数：关于原点对称 绝对值：到原点的距离 |a|=a（a>0）, |a|=-a（a<0）, |0|=0 教后反思 教学内容 1.2 有理数的加法 课 型 新授课 总第 4 课时 教学目标 1. 理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；任何数同0相加，仍得这个数。（运算能力、符号意识） 2. 经历探索有理数加法法则的过程，体会分类讨论和从特殊到一般的归纳思想。（推理能力） 3. 能正确进行有理数的加法运算，解决实际问题。（运算能力、数学建模） 教学重点 1. 有理数加法法则的理解与运用。 2. 异号两数相加的符号确定和绝对值计算。 教学难点 1. 异号两数相加时，和的符号确定及绝对值的计算。 2. 互为相反数相加得0的理解。 教学方法 情境探究法、类比归纳法、讲练结合法、多媒体辅助法 教学准备 多媒体课件（含温度计动画、数轴演示）、课堂练习卡 教 学 流 程 【环节一：情境导入】（5分钟） 【教师活动】出示问题：①某地早晨气温为-3°C，中午上升了5°C，中午气温是多少？②早晨气温为3°C，中午下降了5°C，中午气温是多少？③早晨气温为-3°C，中午又下降了2°C，中午气温是多少？ 【学生活动】学生用数轴或温度计思考，尝试计算：(-3)+(+5)=+2, (+3)+(-5)=-2, (-3)+(-2)=-5。 【设计意图】从温度变化这一实际问题出发，让学生感受有理数加法的必要性，激发学习兴趣。 【环节二：探究新知】（25分钟） 【教师活动】1. 分类探究加法法则： （1）同号相加： (+3)+(+5)=+8（正+正=正，绝对值3+5=8） (-3)+(-5)=-8（负+负=负，绝对值3+5=8） 归纳：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）异号相加： (+3)+(-5)=-2（|+3|<|-5|，取负号，5-3=2，结果为-2） (-3)+(+5)=+2（|-3|<|+5|，取正号，5-3=2，结果为+2） (+7)+(-7)=0（互为相反数，和为0） 归纳：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 （3）与0相加： (+5)+0=+5, (-3)+0=-3 归纳：任何数同0相加，仍得这个数。 2. 总结加法法则（四条）。 3. 讲解计算步骤："先定符号，再算绝对值"。 4. 举例：(-7)+(-3)=-（7+3）=-10；(-15)+(+8)=-（15-8）=-7；(+6)+(-6)=0 【学生活动】1. 学生分组计算各种加法算式，填写法则表格。 2. 学生讨论归纳加法法则，用语言表述。 3. 学生练习计算，注意先定符号再算绝对值。 【设计意图】通过分类探究，让学生经历从特殊到一般的归纳过程，理解加法法则的合理性，培养运算能力和推理能力。 【环节三：巩固练习】（10分钟） 【教师活动】出示练习题： (1) 计算：①(-8)+(-3)=-11 ②(+6)+(+9)=+15 ③(-7)+(+3)=-4 ④(+5)+(-8)=-3 ⑤(-4)+(+4)=0 ⑥(-12)+0=-12 (2) 已知|a|=3, |b|=5, 且a>0, b<0, 求a+b的值。（a=3, b=-5, a+b=-2） (3) 应用题：某水库水位第一天上升3.5米，第二天下降2.8米，第三天又上升1.2米，问三天后水位相比最初变化了多少？（+3.5+(-2.8)+(+1.2)=+1.9米，上升1.9米） 【学生活动】学生独立完成练习，板演计算过程，注意符号处理。 【设计意图】通过多层次练习，巩固加法法则，培养运算能力。 【环节四：课堂小结】（5分钟） 【教师活动】引导学生总结：①加法法则四条；②计算步骤"先定符号，再算绝对值"；③互为相反数相加得0的特殊情况。 【学生活动】学生回顾本节课所学内容，整理加法法则。 【设计意图】帮助学生构建有理数加法运算的知识体系，强化运算步骤的规范性。 （课后填写） 板书设计 一、有理数加法法则 （1）同号相加：取相同符号，绝对值相加 (+3)+(+5)=+(3+5)=+8 (-3)+(-5)=-（3+5）=-8 （2）异号相加：取绝对值较大的符号，较大绝对值减较小绝对值 (+3)+(-5)=-（5-3）=-2 (-3)+(+5)=+（5-3）=+2 （3）互为相反数相加得0 (+7)+(-7)=0 （4）任何数同0相加，仍得这个数 (+5)+0=+5 二、计算步骤：先定符号，再算绝对值 三、典型例题 (-7)+(-3)=-（7+3）=-10 (-15)+(+8)=-（15-8）=-7 (+6)+(-6)=0 (-12)+0=-12 教后反思 教学内容 1.2 有理数加法的运算律 课 型 新授课 总第 5 课时 教学目标 1. 理解加法交换律和结合律在有理数范围内仍然成立，能运用运算律简化计算。（运算能力、符号意识） 2. 掌握运用运算律进行简便运算的技巧：凑整、凑零、同号结合等。（运算能力） 3. 经历探索运算律的过程，体会从特殊到一般的数学思想。（推理能力） 4. 培养计算的灵活性和优化意识。（运算能力） 教学重点 1. 加法交换律和结合律在有理数范围内的适用性。 2. 运用运算律简化有理数加法运算的技巧。 教学难点 1. 灵活运用交换律和结合律进行简便计算。 2. 在复杂运算中识别可以运用运算律的结构。 教学方法 对比探究法、合作交流法、讲练结合法、多媒体辅助法 教学准备 多媒体课件、课堂练习卡（含简便运算专项训练）、对比计算卡片 教 学 流 程 【环节一：情境导入】（5分钟） 【教师活动】出示计算题：(-5)+(+8) 和 (+8)+(-5)，让学生分别计算，发现结果相同。提问：这与我们小学学过的加法交换律是否一致？ 【学生活动】学生计算发现(-5)+(+8)=(+8)+(-5)=+3，猜测加法交换律在有理数范围内仍然成立。 【设计意图】通过具体计算验证，让学生体会运算律在有理数范围内的推广，培养类比推理能力。 【环节二：探究新知】（25分钟） 【教师活动】1. 验证加法交换律：举多组有理数例子验证a+b=b+a，如(-3)+(+5)=(+5)+(-3)=+2。 2. 验证加法结合律：[(-2)+(+3)]+(-4)=(-2)+[(+3)+(-4)]，左边=(-2)+(-4)=-6，右边=(-2)+(-1)=-3... 修正：[(-2)+(+3)]+(-4)=+1+(-4)=-3，(-2)+[(+3)+(-4)]=(-2)+(-1)=-3，所以(a+b)+c=a+(b+c)。 3. 总结运算律：在有理数范围内，加法交换律和结合律仍然成立。 4. 讲解简便运算策略： （1）互为相反数的数先加（凑0）； （2）能凑整的数先加； （3）同号的数先加； （4）正数与正数结合，负数与负数结合。 5. 举例：(-5)+(+7)+(-2)+(-3)=[(-5)+(-2)+(-3)]+(+7)=-10+(+7)=-3 【学生活动】1. 学生分组计算验证两个运算律，填写验证表格。 2. 学生讨论：为什么运算律可以从小学自然数、分数推广到有理数？ 3. 学生练习简便运算，体会运算律简化计算的作用。 【设计意图】通过自主验证，让学生理解运算律在有理数范围内的适用性，培养运算能力和优化意识。 【环节三：巩固练习】（10分钟） 【教师活动】出示练习题： (1) (-5)+(+7)+(-2)+(-3)，要求用运算律简便计算 =[(−5)+(−2)+(−3)]+(+7) =(−10)+(+7) =−3 (2) (+1/3)+(−2/5)+(−1/3)+(+2/5)，要求用运算律简便计算 =[(+1/3)+(−1/3)]+[(−2/5)+(+2/5)] =0+0=0 (3) (-12)+(+15)+(−3)+(−5) =[(−12)+(−3)+(−5)]+(+15) =(−20)+(+15) =−5 【学生活动】学生板演计算过程，体会运算律简化计算的作用。 【设计意图】通过简便运算练习，巩固运算律的运用，培养计算灵活性。 【环节四：课堂小结】（5分钟） 【教师活动】引导学生总结：①两个运算律的表达式；②简便运算的四种策略；③运用运算律的关键是观察数字特征。 【学生活动】学生回顾本节课所学，整理简便运算的常用技巧。 【设计意图】帮助学生归纳运算律的应用方法，形成系统的计算策略。 （课后填写） 板书设计 一、加法交换律 a+b=b+a 例：(−5)+(+8)=(+8)+(−5)=+3 二、加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 例：[(−2)+(+3)]+(−4)=(−2)+[(+3)+(−4)]=−3 三、简便运算策略 （1）互为相反数的数先加（凑0） （2）能凑整的数先加 （3）同号的数先加 （4）正数与正数结合，负数与负数结合 四、典型例题 (−5)+(+7)+(−2)+(−3) =[(−5)+(−2)+(−3)]+(+7) =(−10)+(+7)=−3 (+1/3)+(−2/5)+(−1/3)+(+2/5) =[(+1/3)+(−1/3)]+[(−2/5)+(+2/5)] =0+0=0 教后反思 教学内容 1.2 有理数的减法 课 型 新授课 总第 6 课时 教学目标 1. 掌握有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。（运算能力、转化思想） 2. 能正确进行有理数的减法运算，将减法转化为加法。（运算能力、转化思想） 3. 理解减法与加法的互逆关系，体会转化思想。（推理能力） 4. 能运用有理数减法解决实际问题。（数学建模） 教学重点 1. 有理数减法法则的理解与运用。 2. 将减法转化为加法的方法。 教学难点 1. 理解"减去一个数等于加上它的相反数"的算理。 2. 减去负数时符号的变化。 教学方法 情境探究法、类比推理法、讲练结合法、多媒体辅助法 教学准备 多媒体课件（含温度变化动画）、课堂练习卡 教 学 流 程 【环节一：情境导入】（5分钟） 【教师活动】出示问题：某地早晨气温为-2°C，中午气温比早晨上升了7°C，中午气温是多少？（用加法：(-2)+(+7)=+5）如果已知中午气温为5°C，早晨气温为-2°C，求温差是多少？（用减法：5-(-2)=？） 【学生活动】学生思考：5-(-2)等于多少？能否用加法来计算？因为(-2)+(+7)=+5，所以5-(-2)=+7。 【设计意图】从实际问题出发，让学生体会减法的必要性，并初步感受减法与加法的关系。 【环节二：探究新知】（25分钟） 【教师活动】1. 引导学生回顾小学减法与加法的互逆关系：减法是加法的逆运算。 2. 探究有理数减法法则： 通过具体例子归纳： (+5)-(+2)=(+5)+(-2)=+3 (+5)-(-3)=(+5)+(+3)=+8 (+5)-0=(+5)+0=+5 归纳：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 a-b=a+(-b) 3. 强调"两变一不变"：①减号变加号；②减数变相反数；③被减数不变。 4. 举例： (+5)-(+2)=(+5)+(-2)=+3 (+5)-(-3)=(+5)+(+3)=+8 (-5)-(-3)=(-5)+(+3)=-2 (-5)-0=-5 5. 讲解计算步骤：第一步"变"（减号变加号，减数变相反数），第二步"算"（转化为加法运算）。 【学生活动】1. 学生通过具体计算，归纳减法法则。 2. 学生练习"两变一不变"，将减法转化为加法。 3. 学生对比减法与加法的关系，体会转化思想。 【设计意图】通过类比推理，让学生自主探索减法法则，体会转化思想，培养运算能力。 【环节三：巩固练习】（10分钟） 【教师活动】出示练习题： (1) 计算：①(+5)-(+3)=(+5)+(-3)=+2 ②(+5)-(-3)=(+5)+(+3)=+8 ③(-5)-(+3)=(-5)+(-3)=-8 ④(-5)-(-3)=(-5)+(+3)=-2 ⑤0-(+7)=0+(-7)=-7 ⑥0-(-5)=0+(+5)=+5 (2) 温度计算：某地最高气温为8°C，最低气温为-3°C，温差是多少？ 8-(-3)=8+(+3)=11(°C) (3) 海拔计算：珠穆朗玛峰海拔约8848米，吐鲁番盆地海拔约-155米，两地海拔相差多少？ 8848-(-155)=8848+(+155)=9003(米) 【学生活动】学生独立完成练习，板演计算过程，注意"两变一不变"。 【设计意图】通过多层次练习，巩固减法法则，培养运算能力。 【环节四：课堂小结】（5分钟） 【教师活动】引导学生总结：①减法法则：减去一个数等于加上它的相反数；②"两变一不变"技巧；③减法转化为加法的过程。 【学生活动】学生回顾本节课所学内容，整理减法运算的步骤。 【设计意图】帮助学生构建减法运算的知识体系，强化转化思想。 （课后填写） 板书设计 一、减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即：a-b=a+(-b) 二、"两变一不变" 减号→加号，减数→相反数，被减数不变 三、典型例题 (+5)-(+2)=(+5)+(-3)=+2 (+5)-(-3)=(+5)+(+3)=+8 (-5)-(+3)=(-5)+(-3)=-8 (-5)-(-3)=(-5)+(+3)=-2 0-(+7)=0+(-7)=-7 0-(-5)=0+(+5)=+5 四、实际应用 温差：8-(-3)=8+(+3)=11(°C) 海拔差：8848-(-155)=8848+(+155)=9003(米) 教后反思 教学内容 1.2 有理数的加减混合运算 课 型 新授课 总第 7 课时 教学目标 1. 掌握有理数加减混合运算的方法：将减法统一为加法，然后运用加法运算律简化计算。（运算能力） 2. 能正确进行有理数的加减混合运算，注意符号的处理。（运算能力、符号意识） 3. 经历将加减混合运算统一为加法的过程，体会转化的数学思想。（转化思想、推理能力） 4. 能运用加减混合运算解决实际问题。（数学建模） 教学重点 1. 将加减混合运算统一为加法的方法。 2. 正确进行加减混合运算。 教学难点 1. 省略加号和括号的写法理解。 2. 混合运算中符号的正确处理。 教学方法 讲练结合法、合作交流法、多媒体辅助法 教学准备 多媒体课件、课堂练习卡 教 学 流 程 【环节一：情境导入】（5分钟） 【教师活动】出示问题：某地一天中气温变化如下：早晨-2°C，中午上升7°C，下午下降3°C，晚上又下降5°C。求晚上的气温。 【学生活动】学生列出算式：(-2)+(+7)+(-3)+(-5)，计算结果为-3°C。提问：如果算式中既有加法又有减法，该如何计算？ 【设计意图】从实际问题出发，让学生体会加减混合运算的必要性，引出运算方法。 【环节二：探究新知】（25分钟） 【教师活动】1. 讲解加减混合运算方法： 步骤一：将所有减法转化为加法（利用减法法则）。 步骤二：省略加号和括号，写成代数和的形式。 步骤三：运用加法运算律简化计算。 2. 举例： (+8)+(-10)+(-6)-(+5) =(+8)+(-10)+(-6)+(-5)（减法变加法） =8-10-6-5（省略加号和括号） =(8+(-10))+((-6)+(-5)) =(-2)+(-11) =-13 3. 讲解省略加号和括号的写法： (+8)+(-10)+(-6)-(+5) =8-10-6-5 读作：正8、负10、负6、负5的和 4. 强调：省略括号后，每个数前面的符号既是运算符号也是性质符号。 5. 简便运算策略：同号结合、凑整、互为相反数先加。 【学生活动】1. 学生理解混合运算步骤，跟随教师逐步计算。 2. 学生练习省略加号和括号的写法。 3. 学生讨论简便运算的策略。 【设计意图】通过典型例题的分步演示，让学生掌握加减混合运算的方法和技巧，培养运算能力。 【环节三：巩固练习】（10分钟） 【教师活动】出示练习题： (1) (-7)+(+5)+(-3)-(+4) =(-7)+(+5)+(-3)+(-4) =-7+5-3-4 =(-7-3-4)+5 =-14+5=-9 (2) (+3/4)+(-5/6)-(+1/4)-(-2/3) =(+3/4)+(-5/6)+(-1/4)+(+2/3) =3/4-5/6-1/4+2/3 =(3/4-1/4)+(-5/6+2/3) =1/2+(-1/6) =3/6-1/6=2/6=1/3 (3) 应用题：某水库水位第一天上升3.5米，第二天下降2.8米，第三天又上升1.2米，第四天下降0.6米，问四天后的水位相比最初变化了多少？ (+3.5)+(-2.8)+(+1.2)+(-0.6)=+1.3(米)，上升1.3米 【学生活动】学生独立完成练习，板演计算过程，注意符号处理和简便运算。 【设计意图】通过多层次练习，巩固加减混合运算的方法和技巧，培养运算能力。 【环节四：课堂小结】（5分钟） 【教师活动】引导学生总结：①加减混合运算三步法（统一→省略→计算）；②省略加号和括号的写法；③简便运算策略。 【学生活动】学生回顾本节课所学内容，整理混合运算的步骤和注意事项。 【设计意图】帮助学生构建加减混合运算的知识体系，强化运算步骤的规范性。 （课后填写） 板书设计 一、加减混合运算三步法 步骤一：将所有减法转化为加法 步骤二：省略加号和括号 步骤三：运用加法运算律简化计算 二、典型例题 (+8)+(-10)+(-6)-(+5) =(+8)+(-10)+(-6)+(-5) =8-10-6-5 =(8)+(-10)+(-6)+(-5) =-9 三、简便运算策略 同号结合、凑整、互为相反数先加 四、实际应用 (+3.5)+(-2.8)+(+1.2)+(-0.6)=+1.3(米) 教后反思 教学内容 1.2 有理数加减混合运算的实际应用 课 型 新授课 总第 8 课时 教学目标 1. 能将有理数加减混合运算应用于解决实际问题，如温度变化、海拔高度、收支计算、方向运动等。（数学建模、应用意识） 2. 掌握解决实际问题的步骤：审题→列式→计算→验证。（运算能力、数学建模） 3. 体会数学与实际生活的紧密联系，增强数学应用意识。（应用意识） 4. 培养分析问题、解决问题的能力。（推理能力） 教学重点 1. 有理数加减混合运算在实际问题中的应用。 2. 实际问题中正负数的意义判断。 教学难点 1. 从实际问题中抽象出有理数加减混合运算的数学模型。 2. 正确理解实际问题中正负数的含义。 教学方法 情境教学法、合作交流法、讲练结合法、多媒体辅助法 教学准备 多媒体课件（含实际生活情境图）、课堂练习卡 教 学 流 程 【环节一：情境导入】（5分钟） 【教师活动】出示问题：某出租车司机上午从停车场出发，沿东西方向行驶，记录如下（向东为正）：+5, -3, +7, -8, +4, -6, +2。问：①最后一名乘客送到目的地时，出租车在停车场的什么位置？②出租车一共行驶了多少千米？ 【学生活动】学生思考：①求位移（代数和）：(+5)+(-3)+(+7)+(-8)+(+4)+(-6)+(+2)=+1，在停车场东边1千米处。②求路程（绝对值之和）：5+3+7+8+4+6+2=35千米。 【设计意图】从出租车行驶这一实际问题出发，让学生体会有理数加减混合运算的实际意义，区分位移和路程的概念。 【环节二：探究新知】（25分钟） 【教师活动】1. 讲解实际应用题的解题步骤：审题→确定正方向→列式→计算→验证。 2. 例题1（温度变化）：某地一周气温变化如下（单位：°C）：周一+3，周二-2，周三+5，周四-4，周五+1，周六-3，周日+2。求：①周末气温相比周一变化了多少？②这一周的平均气温是多少？ 解：①(+3)+(-2)+(+5)+(-4)+(+1)+(-3)+(+2)=+2(°C)，上升2°C ②(+2)÷7=+2/7(°C) 3. 例题2（海拔高度）：A地海拔+8848米，B地海拔-155米，C地海拔+3000米。求：①A地与B地的海拔差；②A地与C地的海拔差；③B地与C地的海拔差。 解：①8848-(-155)=9003(米) ②8848-3000=5848(米) ③3000-(-155)=3155(米) 4. 例题3（收支问题）：小明的妈妈记录了一周的收支情况（收入为正）：+1500, -300, -200, +800, -150, -400, +500。求：①本周的净收入；②如果月初账户有5000元，本周结束时账户有多少元？ 解：①(+1500)+(-300)+(-200)+(+800)+(-150)+(-400)+(+500)=+2750(元) ②5000+2750=7750(元) 5. 例题4（方向运动）：一只蜗牛从井底向上爬，第一天爬了3米，第二天下降了1米，第三天爬了4米，第四天下降了2米，第五天爬了5米。井深10米，问蜗牛第五天结束时是否爬出了井？ 解：(+3)+(-1)+(+4)+(-2)+(+5)=+9(米)，9<10，没有爬出井。 6. 总结：实际问题中要注意区分"变化量"（代数和）和"总量"（绝对值之和）。 【学生活动】1. 学生理解解题步骤，跟随教师逐步计算。 2. 学生讨论：什么时候求代数和，什么时候求绝对值之和？ 3. 学生独立完成类似练习。 【设计意图】通过多种实际问题的分析，让学生掌握有理数加减混合运算的应用方法，培养数学建模能力和应用意识。 【环节三：巩固练习】（10分钟） 【教师活动】出示练习题： (1) 某粮库三天内进出库的吨数如下（进为正）：+25, -18, -15, +30, -20。问：①库内粮食总量增加了多少吨？②如果进出的运费是每吨1.5元，这三天共需支付运费多少元？ 解：①(+25)+(-18)+(-15)+(+30)+(-20)=+2(吨)，增加2吨 ②(|25|+|-18|+|-15|+|30|+|-20|)×1.5=108×1.5=162(元) (2) 某股票第一天上涨2.5元，第二天下跌1.8元，第三天上涨3.2元，第四天下跌0.5元。问：①四天后的股价相比最初变化了多少？②如果最初股价为50元，四天后的股价是多少？ 解：①(+2.5)+(-1.8)+(+3.2)+(-0.5)=+3.4(元) ②50+3.4=53.4(元) 【学生活动】学生独立完成练习，板演计算过程，注意区分变化量和总量。 【设计意图】通过实际问题的练习，巩固加减混合运算的应用，培养数学建模能力。 【环节四：课堂小结】（5分钟） 【教师活动】引导学生总结：①实际应用题的解题步骤；②区分"变化量"（代数和）和"总量"（绝对值之和）；③常见应用题型（温度、海拔、收支、方向运动）。 【学生活动】学生回顾本节课所学内容，整理应用题的解题方法。 【设计意图】帮助学生构建实际应用的知识体系，强化数学建模思想。 （课后填写） 板书设计 一、实际应用题解题步骤 审题→确定正方向→列式→计算→验证 二、典型题型 1. 温度变化：(+3)+(-2)+(+5)+(-4)+(+1)+(-3)+(+2)=+2(°C) 2. 海拔高度：8848-(-155)=9003(米) 3. 收支问题：(+1500)+(-300)+(-200)+(+800)+(-150)+(-400)+(+500)=+2750(元) 4. 方向运动：蜗牛(+3)+(-1)+(+4)+(-2)+(+5)=+9(米)<10米，未爬出 三、注意区分 变化量=代数和 总量=绝对值之和 四、实际应用 出租车：位移(+5)+(-3)+(+7)+(-8)+(+4)+(-6)+(+2)=+1(km) 路程5+3+7+8+4+6+2=35(km) 教后反思 教学内容 1.3 有理数的乘法 课 型 新授课 总第 9 课时 教学目标 1. 理解有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0。（运算能力、符号意识） 2. 掌握多个有理数相乘的符号判定法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。（推理能力） 3. 理解倒数的概念，掌握求一个非零有理数的倒数的方法。（数学抽象） 4. 经历探索有理数乘法法则的过程，体会从特殊到一般的归纳思想。（推理能力） 教学重点 1. 有理数乘法法则的理解与运用。 2. 多个有理数相乘的符号判定法则。 教学难点 1. 异号两数相乘时积的符号确定。 2. 多个有理数相乘时符号的快速判定。 教学方法 情境探究法、类比推理法、合作交流法、讲练结合法 教学准备 多媒体课件（含温度变化、数轴动画）、课堂练习卡、有理数卡片 教 学 流 程 【环节一：情境导入】（5分钟） 【教师活动】出示问题：某仓库每天入库5吨货物，3天后仓库增加了多少吨货物？如果每天出库5吨货物，3天前仓库有多少吨货物？引导学生用加法计算：(+5)+(+5)+(+5)=+15，(-5)+(-5)+(-5)=-15。 【学生活动】学生思考并用加法计算，发现重复加法可以简化为乘法：(+5)×3=+15，(-5)×3=-15。 【设计意图】从实际问题出发，让学生体会乘法是加法的简便运算，为引入有理数乘法法则做铺垫。 【环节二：探究新知】（25分钟） 【教师活动】1. 引导学生观察规律：从(+5)×3=+15到(+5)×2=+10到(+5)×1=+5，当第二个因数逐次递减1时，积逐次递减5。由此推出(+5)×0=0，(+5)×(-1)=-5，(+5)×(-2)=-10，(+5)×(-3)=-15。 2. 类比推出负数乘正数的规律：(-5)×3=-15，(-5)×2=-10，(-5)×1=-5，(-5)×0=0，(-5)×(-1)=+5，(-5)×(-2)=+10，(-5)×(-3)=+15。 3. 归纳乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数与0相乘，积仍为0。 4. 探究多个有理数相乘的符号法则：举例(-2)×(+3)×(-4)=+24（2个负因数→正），(-1)×(-2)×(-3)=-6（3个负因数→负）。 5. 引入倒数概念：乘积为1的两个数互为倒数。如2与1/2，-3与-1/3。0没有倒数。 【学生活动】1. 学生按规律填写表格，发现负数乘正数得负、负数乘负数得正的规律。 2. 学生分组讨论，归纳乘法法则，并用语言表述。 3. 学生举例验证多个有理数相乘的符号判定法则：奇负偶正。 4. 学生练习求倒数，注意0没有倒数。 【设计意图】通过规律探究，让学生经历从特殊到一般的归纳过程，理解乘法法则的合理性，培养推理能力。 【环节三：巩固练习】（10分钟） 【教师活动】出示练习题： (1)(-3)×(+4)=-12 (2)(-2)×(-5)=+10 (3)(-1/3)×(-6)=+2 (4)(-2)×(+3)×(-4)=+24 (5)(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120 (6)(-2/3)×(-9/4)=+(2/3×9/4)=+18/12=+3/2 【学生活动】学生独立完成练习，板演计算过程，互相纠错。 【设计意图】通过多层次练习，巩固乘法法则和符号判定，培养运算能力。 【环节四：课堂小结】（5分钟） 【教师活动】引导学生总结：（1）有理数乘法法则；（2）多个有理数相乘的符号判定（奇负偶正）；（3）倒数的概念。 【学生活动】学生回顾本节课所学内容，梳理知识脉络。 【设计意图】帮助学生构建知识体系，强化记忆。 （课后填写） 板书设计 一、有理数乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 (+3)×(+4)=+(3×4)=+12 (-3)×(+4)=-(3×4)=-12 (-3)×(-4)=+(3×4)=+12 （2）任何数与0相乘，积仍为0。(-7)×0=0 二、多个有理数相乘的符号判定 负因数有奇数个→积为负 负因数有偶数个→积为正 (-2)×(+3)×(-4)=+24（2个负因数，偶数→正） (-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120（5个负因数，奇数→负） 口诀：奇负偶正 三、倒数的概念 乘积为1的两个数互为倒数 2的倒数是1/2 -3的倒数是-1/3 0没有倒数 四、典型例题 (-2/3)×(-9/4)=+(2/3×9/4)=+18/12=+3/2 (-5)×(-7)×(-1)=-(5×7×1)=-35 教后反思 教学内容 1.3 有理数乘法的运算律 课 型 新授课 总第 10 课时 教学目标 1. 理解乘法交换律、结合律和分配律在有理数范围内仍然成立，能运用运算律简化计算。（运算能力、符号意识） 2. 掌握运用运算律进行简便运算的技巧：凑整、凑零、提取公因数等。（运算能力） 3. 经历探索运算律的过程，体会从特殊到一般的数学思想。（推理能力） 4. 培养计算的灵活性和优化意识。（运算能力） 教学重点 1. 乘法交换律、结合律和分配律在有理数范围内的适用性。 2. 运用运算律简化有理数乘法运算的技巧。 教学难点 1. 灵活运用分配律进行简便计算。 2. 在复杂运算中识别可以运用运算律的结构。 教学方法 对比探究法、合作交流法、讲练结合法、多媒体辅助法 教学准备 多媒体课件、课堂练习卡（含简便运算专项训练）、对比计算卡片 教 学 流 程 【环节一：情境导入】（5分钟） 【教师活动】出示计算题：(-5)×6=？6×(-5)=？让学生分别计算，发现结果相同。提问：这与我们小学学过的乘法交换律是否一致？ 【学生活动】学生计算发现(-5)×6=6×(-5)=-30，猜测乘法交换律在有理数范围内仍然成立。 【设计意图】通过具体计算验证，让学生体会运算律在有理数范围内的推广，培养类比推理能力。 【环节二：探究新知】（25分钟） 【教师活动】1. 验证乘法交换律：举多组有理数例子验证a×b=b×a，如(-3)×(+5)=(+5)×(-3)=-15。 2. 验证乘法结合律：[(-2)×(+3)]×(-4)=(-6)×(-4)=+24，(-2)×[(+3)×(-4)]=(-2)×(-12)=+24，所以[a×b]×c=a×[b×c]。 3. 验证乘法分配律：(-2)×[(+3)+(+4)]=(-2)×(+7)=-14，(-2)×(+3)+(-2)×(+4)=-6+(-8)=-14，所以a×(b+c)=a×b+a×c。 4. 总结运算律：在有理数范围内，乘法交换律、结合律和分配律仍然成立。 5. 讲解简便运算策略：（1）互为倒数的数先乘（凑1）；（2）能凑整的数先乘；（3）正数与正数结合，负数与负数结合；（4）逆用分配律提取公因数。 【学生活动】1. 学生分组计算验证三个运算律，填写验证表格。 2. 学生讨论：为什么运算律可以从小学自然数、分数推广到有理数？ 3. 学生练习简便运算，体会运算律简化计算的作用。 【设计意图】通过自主验证，让学生理解运算律在有理数范围内的适用性，培养运算能力和优化意识。 【环节三：巩固练习】（10分钟） 【教师活动】出示练习题： (1)(-5)×7×(-2)×(1/7)，要求用运算律简便计算 =[-5×(-2)]×[7×(1/7)] =(+10)×(+1)=+10 (2)(-1/2+2/3-1/4)×(-12)，要求用分配律 =(-1/2)×(-12)+(2/3)×(-12)+(-1/4)×(-12) =+6+(-8)+(+3)=+1 (3)(-3/7)×5×(-7/3) =(-3/7)×(-7/3)×5 =(+1)×5=+5 【学生活动】学生板演：体会运算律简化计算的作用。 【设计意图】通过简便运算练习，巩固运算律的运用，培养计算灵活性。 【环节四：课堂小结】（5分钟） 【教师活动】引导学生总结：（1）三个运算律的表达式；（2）简便运算的四种策略；（3）运用运算律的关键是观察数字特征。 【学生活动】学生回顾本节课所学，整理简便运算的常用技巧。 【设计意图】帮助学生归纳运算律的应用方法，形成系统的计算策略。 （课后填写） 板书设计 一、乘法交换律 a×b=b×a 例：(-3)×(+5)=(+5)×(-3)=-15 二、乘法结合律 (a×b)×c=a×(b×c) 例：[(-2)×(+3)]×(-4)=(-2)×[(+3)×(-4)]=+24 三、乘法分配律 a×(b+c)=a×b+a×c 例：(-2)×[(+3)+(+4)]=(-2)×(+3)+(-2)×(+4)=-14 四、简便运算策略 （1）互为倒数的数先乘（凑1） （2）能凑整的数先乘 （3）正数与正数结合，负数与负数结合 （4）逆用分配律提取公因数 五、典型例题 (-5)×7×(-2)×(1/7) =[(-5)×(-2)]×[7×(1/7)] =(+10)×(+1)=+10 (-1/2+2/3-1/4)×(-12) =(-1/2)×(-12)+(2/3)×(-12)+(-1/4)×(-12) =(+6)+(-8)+(+3)=+1 教后反思 教学内容 1.3 有理数的除法 课 型 新授课 总第 11 课时 教学目标 1. 理解有理数除法法则：除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数。（运算能力、转化思想） 2. 掌握两数相除的符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（运算能力） 3. 理解倒数的概念，能求一个非零有理数的倒数。（数学抽象） 4. 经历探索除法法则的过程，体会转化思想的数学思想方法。（转化思想、推理能力） 教学重点 1. 有理数除法法则的理解与运用。 2. 两数相除的符号法则和绝对值相除的计算方法。 教学难点 1. 理解除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数的算理。 2. 0除以任何非零数的结果为0的理解。 教学方法 情境探究法、类比推理法、讲练结合法、多媒体辅助法 教学准备 多媒体课件（含除法运算动画）、课堂练习卡 教 学 流 程 【环节一：情境导入】（5分钟） 【教师活动】出示问题：某地一天中最高气温为15°C，最低气温为-3°C，最高气温是最低气温的多少倍？引导学生思考：15÷(-3)=？如何用乘法来思考除法？ 【学生活动】学生尝试思考：因为(-3)×(-5)=+15，所以15÷(-3)=-5。体会除法是乘法的逆运算。 【设计意图】从实际问题出发，让学生体会除法与乘法的逆运算关系，为引入除法法则做铺垫。 【环节二：探究新知】（25分钟） 【教师活动】1. 引导学生回顾小学除法法则：除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)（b≠0）。 2. 探究有理数除法法则：通过具体例子归纳——同号得正，异号得负，并把绝对值相除。如(+15)÷(+3)=+(15÷3)=+5，(-15)÷(+3)=-(15÷3)=-5，(-15)÷(-3)=+(15÷3)=+5。 3. 强调0除以任何非零数都得0：0÷(-5)=0。0不能做除数。 4. 讲解求倒数的方法：求一个分数的倒数，只需将分子分母颠倒位置。如3/4的倒数是4/3，-2/5的倒数是-5/2。 5. 对比两种除法方法：（1）两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；（2）除以一个数等于乘以它的倒数。 【学生活动】1. 学生计算各种除法算式，归纳符号法则。 2. 学生练习求倒数，注意0没有倒数，负数的倒数也是负数。 3. 学生对比两种方法，体会化除为乘的转化思想。 【设计意图】通过类比乘法法则，让学生自主探索除法法则，体会转化思想，培养运算能力。 【环节三：巩固练习】（10分钟） 【教师活动】出示练习题： (1)(-36)÷(-9)=+4 (2)(-48)÷6=-8 (3)(-2/3)÷(-4/5)=(-2/3)×(-5/4)=+10/12=+5/6 (4)(-3/7)÷(9/14)=(-3/7)×(14/9)=-2/3 (5)(-1/2)÷(-1/4)=(-1/2)×(-4/1)=+2 【学生活动】学生独立完成练习，板演计算过程，注意先定符号再算绝对值。 【设计意图】通过多层次练习，巩固除法法则和倒数概念，培养运算能力。 【环节四：课堂小结】（5分钟） 【教师活动】引导学生总结：（1）除法法则：除以一个不等于零的数等于乘以它的倒数；（2）符号法则：同号得正，异号得负；（3）0除以任何非零数得0；（4）0不能做除数。 【学生活动】学生回顾本节课所学内容，梳理除法运算的步骤。 【设计意图】帮助学生构建除法运算的知识体系，强化化除为乘的转化思想。 （课后填写） 板书设计 一、除法法则 除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数。 即：a÷b=a×(1/b)（b≠0） 二、两数相除的符号法则 （1）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 (+15)÷(+3)=+(15÷3)=+5 (-15)÷(+3)=-(15÷3)=-5 (+15)÷(-3)=-(15÷3)=-5 (-15)÷(-3)=+(15÷3)=+5 （2）0除以任何非零数都得0。0÷(-5)=0 （3）0不能做除数。 三、典型例题 (-36)÷(-9)=(+36÷9)=+4 (-48)÷6=-(48÷6)=-8 (-2/3)÷(-4/5)=(-2/3)×(-5/4)=(+10/12)=+5/6 (-3/7)÷(9/14)=(-3/7)×(14/9)=-2/3 教后反思 教学内容 1.4 有理数的乘方 课 型 新授课 总第 12 课时 教学目标 1. 理解乘方的概念，知道底数、指数、幂的含义，能正确读写乘方表达式。（数学抽象） 2. 掌握乘方的符号法则：正数的任何次幂为正数；负数的偶次幂为正数，奇次幂为负数；0的任何正整数次幂为0。（运算能力、符号意识） 3. 掌握1和-1的乘方规律：1的任何次幂为1，-1的偶次幂为1，-1的奇次幂为-1。（推理能力） 4. 经历探索乘方运算的过程，体会从特殊到一般的归纳思想。（推理能力） 教学重点 1. 乘方的概念及底数、指数、幂的含义。 2. 乘方的符号法则及正确计算。 教学难点 1. 理解(-2)⁴与-2⁴的区别（底数不同）。 2. 负数乘方时符号的判定。 教学方法 情境探究法、类比归纳法、讲练结合法、多媒体辅助法 教学准备 多媒体课件（含乘方运算动画）、课堂练习卡 教 学 流 程 【环节一：情境导入】（5分钟） 【教师活动】出示问题：一张纸厚度约为0.1毫米，对折一次后厚度为0.2毫米，对折两次后厚度为0.4毫米，对折30次后厚度是多少？引导学生计算：0.1×2×2×...×2（30个2），引出乘方的概念。 【学生活动】学生尝试计算，发现重复乘法写起来很繁琐，体会引入新运算的必要性。 【设计意图】从趣味问题出发，激发学生学习兴趣，让学生体会乘方是求相同因数积的简便运算。 【环节二：探究新知】（25分钟） 【教师活动】1. 引入乘方概念：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作aⁿ，读作a的n次方或a的n次幂。其中a叫底数，n叫指数，乘方的结果叫幂。 2. 举例说明：2⁴=2×2×2×2=16（底数2，指数4，幂16）；(-3)³=(-3)×(-3)×(-3)=-27。 3. 探究乘方的符号法则：（1）正数的任何次幂为正数；（2）负数的偶次幂为正数，奇次幂为负数；（3）0的任何正整数次幂为0；（4）1的任何次幂为1；（5）(-1)的偶次幂为1，奇次幂为-1。 4. 重点区分(-2)⁴与-2⁴：(-2)⁴=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=+16（底数是-2），-2⁴=-(2×2×2×2)=-16（底数是2）。 5. 引导学生总结：底数带括号时，负号也参与运算；底数不带括号时，负号不参与运算。 【学生活动】1. 学生理解乘方各部分名称，练习读写乘方表达式。 2. 学生分组计算各种乘方，归纳符号法则，填写符号规律表。 3. 学生辨析(-2)⁴与-2⁴的区别，加深理解。 【设计意图】通过具体计算和归纳，让学生掌握乘方的符号法则，培养推理能力和符号意识。 【环节三：巩固练习】（10分钟） 【教师活动】出示练习题： (1)(-3)²=+9 (2)-3²=-9 (3)(-2)³=-8 (4)-2³=-8 (5)(-1)²⁰²⁶=+1 (6)(-1)²⁰²⁷=-1 (7)0⁵=0 (8)1¹⁰⁰=1 【学生活动】学生独立完成练习，板演计算过程，特别注意底数的区分。 【设计意图】通过对比练习，强化对乘方符号法则的理解，避免常见错误。 【环节四：课堂小结】（5分钟） 【教师活动】引导学生总结：（1）乘方的概念及各部分名称；（2）乘方的符号法则（奇负偶正）；（3）(-a)ⁿ与-aⁿ的区别。 【学生活动】学生回顾本节课所学内容，整理乘方运算的注意事项。 【设计意图】帮助学生构建乘方运算的知识体系，强化易错点的记忆。 （课后填写） 板书设计 一、乘方的概念 aⁿ=a×a×...×a（n个a相乘） 底数：a 指数：n 幂：aⁿ 读作：a的n次方或a的n次幂 例：2⁴=2×2×2×2=16（底数2，指数4） (-3)³=(-3)×(-3)×(-3)=-27（底数-3，指数3） 二、乘方的符号法则 （1）正数的任何次幂为正数 （2）负数的偶次幂为正数，奇次幂为负数 （3）0的任何正整数次幂为0 （4）1的任何次幂为1 （5）(-1)的偶次幂为1，奇次幂为-1 三、(-2)⁴ 与 -2⁴ 的区别 (-2)⁴=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=+16（底数是-2） -2⁴=-(2×2×2×2)=-16（底数是2） 四、典型例题 (-3)²=+9 -3²=-9 (-2)³=-8 -2³=-8 (-1)²⁰²⁶=+1 (-1)²⁰²⁷=-1 教后反思 教学内容 1.4 科学计数法 课 型 新授课 总第 13 课时 教学目标 1. 了解科学计数法的概念，掌握用a×10ⁿ的形式表示较大的数的方法。（数学建模） 2. 了解科学计数法在表示较小数时的应用，掌握用a×10⁻ⁿ的形式表示较小数的方法。（数学建模） 3. 理解科学计数法中a和n的含义，能正确将较大数和较小数转换为科学计数法。（运算能力） 4. 感受科学计数法在表示极大数和极小数时的便捷性，体会数学与实际生活的联系。（应用意识） 教学重点 1. 用科学计数法表示较大的数（a×10ⁿ，n为正整数）。 2. 用科学计数法表示较小的数（a×10⁻ⁿ，n为正整数）。 教学难点 1. 确定科学计数法中指数n的值。 2. 用科学计数法表示较小的数（如0.000034）时指数的确定。 教学方法 情境教学法、讲授法、讲练结合法、多媒体辅助法 教学准备 多媒体课件（含天文学、生物学中的大数和小数素材）、课堂练习卡 教 学 流 程 【环节一：情境导入】（5分钟） 【教师活动】出示数据：光的速度约为300,000,000米/秒，地球与太阳的平均距离约为150,000,000千米，一粒米的质量约为0.000025千克。提问：这些数太大或太小，读写和计算都不方便，有没有更简洁的表示方法？ 【学生活动】学生思考，尝试用10的幂来表示这些大数和小数。 【设计意图】从实际生活中的大数和小数出发，让学生感受科学计数法的必要性，激发学习兴趣。 【环节二：探究新知】（25分钟） 【教师活动】1. 引入科学计数法（较大数）：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（1≤|a|<10，n为正整数）。例如：149,600,000=1.496×10⁸，确定n的方法：整数位数m→n=m-1。 2. 举例练习：300,000,000=3×10⁸，5,600,000=5.6×10⁶，-2,300,000=-2.3×10⁶。 3. 引入科学计数法（较小数）：把一个小于1的正数表示成a×10⁻ⁿ的形式（1≤|a|<10，n为正整数）。例如：0.000035=3.5×10⁻⁵，确定n的方法：小数点后第一个非零数字前零的个数（包括小数点前面的零）。 4. 举例练习：-0.000078=-7.8×10⁻⁵，0.000000001=1×10⁻⁹。 5. 讲解还原为原数：2.5×10⁵=250,000，-3.7×10⁻⁴=-0.00037。 6. 应用举例：光速3×10⁸米/秒，日地距离1.5×10¹¹米，光从太阳到地球的时间=1.5×10¹¹÷(3×10⁸)=0.5×10³=500秒。 【学生活动】1. 学生学习科学计数法的表示方法，练习将大数转换为科学计数法。 2. 学生学习将小数转换为科学计数法，注意确定指数n的方法。 3. 学生练习还原为原数，巩固理解。 4. 学生解决实际问题，体会科学计数法的便捷性。 【设计意图】通过具体实例，让学生掌握科学计数法的表示方法，感受数学与生活的联系，培养数学建模能力。 【环节三：巩固练习】（10分钟） 【教师活动】出示练习题： (1)将5,600,000用科学计数法表示（5.6×10⁶） (2)将0.000035用科学计数法表示（3.5×10⁻⁵） (3)将2.5×10⁻⁴还原为原数（0.00025） (4)将-7.8×10⁵还原为原数（-780,000） 【学生活动】学生独立完成练习，板演转换过程。 【设计意图】通过多层次练习，巩固科学计数法的表示和还原方法。 【环节四：课堂小结】（5分钟） 【教师活动】引导学生总结：（1）较大数的科学计数法：a×10ⁿ（1≤|a|<10，n为正整数）；（2）较小数的科学计数法：a×10⁻ⁿ（1≤|a|<10，n为正整数）；（3）确定n的方法。 【学生活动】学生回顾本节课所学内容，整理科学计数法的要点。 【设计意图】帮助学生构建科学计数法的知识体系，强化确定指数n的方法。 （课后填写） 板书设计 一、科学计数法（较大数） a×10ⁿ（1≤|a|<10，n为正整数） 例：149,600,000=1.496×10⁸ 300,000,000=3×10⁸ 5,600,000=5.6×10⁶ 确定n：整数位数m→n=m-1 二、科学计数法（较小数） a×10⁻ⁿ（1≤|a|<10，n为正整数） 例：0.000035=3.5×10⁻⁵ -0.000078=-7.8×10⁻⁵ 0.000000001=1×10⁻⁹ 确定n：小数点后第一个非零数字前零的个数 三、还原为原数 2.5×10⁵=250,000 -3.7×10⁻⁴=-0.00037 四、典型应用 光速3×10⁸米/秒，日地距离1.5×10¹¹米 时间=1.5×10¹¹÷(3×10⁸)=0.5×10³=500秒 教后反思 教学内容 1.5 有理数的混合运算 课 型 新授课 总第 14 课时 教学目标 1. 掌握有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算。（运算能力） 2. 能正确进行有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算的综合运算。（运算能力、符号意识） 3. 能灵活运用运算律简化混合运算。（运算能力） 4. 经历探索混合运算顺序的过程，培养运算能力和严谨的数学思维。（推理能力） 教学重点 1. 有理数混合运算的顺序。 2. 正确进行有理数的混合运算。 教学难点 1. 混合运算中符号的正确处理。 2. 灵活运用运算律简化复杂运算。 教学方法 讲练结合法、合作交流法、多媒体辅助法 教学准备 多媒体课件、课堂练习卡 教 学 流 程 【环节一：情境导入】（5分钟） 【教师活动】出示问题：某地一天中气温变化如下：早晨-2°C，中午上升7°C，下午下降3°C，晚上又下降5°C。求晚上的气温。引导学生列出算式：-2+7+(-3)+(-5)，计算结果为-3°C。提问：如果算式中同时含有加减乘除和乘方，该如何计算？ 【学生活动】学生计算温度变化问题，回顾有理数加减运算，思考混合运算的顺序。 【设计意图】从实际问题出发，让学生体会混合运算的必要性，引出运算顺序的问题。 【环节二：探究新知】（25分钟） 【教师活动】1. 讲解有理数混合运算的顺序：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）同级运算从左到右依次进行；（3）有括号先算括号内的运算。 2. 例题1：(-2)²+(-3)×(+4)-(-5)，分步计算：=+4+(-12)-(-5)=+4+(-12)+(+5)=-3。 3. 例题2：(-1)³-(-2)³×(-1/2)+(-3)²，分步计算：=(-1)-(-8)×(-1/2)+(+9)=(-1)-(+4)+(+9)=-5+9=+4。 4. 例题3：(-2)³×(-3)²÷(-6)，分步计算：=(-8)×(+9)÷(-6)=(-72)÷(-6)=+12。 5. 例题4：(-1/2+2/3-1/4)×(-12)，用分配律简便计算：=(-1/2)×(-12)+(2/3)×(-12)+(-1/4)×(-12)=+6+(-8)+(+3)=+1。 6. 强调运算步骤：先判断运算类型→确定运算顺序→分步计算→检查符号。 【学生活动】1. 学生理解混合运算顺序，记忆运算顺序口诀。 2. 学生跟随教师逐步计算例题，注意每一步的符号处理。 3. 学生讨论：什么时候可以运用运算律简化计算？ 4. 学生独立完成类似练习，教师巡视指导。 【设计意图】通过典型例题的分步演示，让学生掌握混合运算的顺序和技巧，培养运算能力和严谨的数学思维。 【环节三：巩固练习】（10分钟） 【教师活动】出示练习题： (1)(-3)²-(-2)³÷4+(-1)²⁰²⁶ =+9-(-8)÷4+(+1) =+9-(-2)+1 =9+2+1=+12 (2)[-5-(-2)]×(-3)²÷(-1/2) =(-5+2)×9÷(-1/2) =(-3)×9÷(-1/2) =(-27)÷(-1/2) =(-27)×(-2)=+54 (3)(-2/3+1/2-1/6)×(-12) =(-2/3)×(-12)+(1/2)×(-12)+(-1/6)×(-12) =+8+(-6)+(+2)=+4 【学生活动】学生独立完成练习，板演计算过程，注意运算顺序和符号处理。 【设计意图】通过多层次练习，巩固混合运算的顺序和技巧，培养运算能力。 【环节四：课堂小结】（5分钟） 【教师活动】引导学生总结：（1）混合运算顺序：乘方→乘除→加减（有括号先算括号内）；（2）每一步都要注意符号；（3）能运用运算律的尽量运用，简化计算。 【学生活动】学生回顾本节课所学内容，梳理混合运算的步骤和注意事项。 【设计意图】帮助学生构建混合运算的知识体系，强化运算顺序和符号处理的意识。 （课后填写） 板书设计 一、运算顺序 （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减 （2）同级运算从左到右依次进行 （3）有括号先算括号内的 二、典型例题 (-2)²+(-3)×(+4)-(-5) =(+4)+(-12)-(-5) =+4+(-12)+(+5) =-3 (-1)³-(-2)³×(-1/2)+(-3)² =(-1)-(-8)×(-1/2)+(+9) =(-1)-(+4)+(+9) =-5+9=+4 (-2)³×(-3)²÷(-6) =(-8)×(+9)÷(-6) =(-72)÷(-6) =+12 (-1/2+2/3-1/4)×(-12) =(-1/2)×(-12)+(2/3)×(-12)+(-1/4)×(-12) =(+6)+(-8)+(+3) =+1 三、运算步骤总结 乘方→乘除→加减 （有括号先算括号内） 教后反思 学科网（北京）股份有限公司 $