29.1.1　圆的有关概念 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦圆的有关概念，涵盖圆的两种定义、弦、弧等相关概念及点与圆的位置关系。通过现实生活中车辆轮子形状的问题导入，联系生活实际引发思考，搭建从具体现象到抽象概念的学习支架。 特色在于注重概念辨析与实际应用结合，例1辨析直径与弦、等弧等易混概念培养抽象能力，例3结合矩形计算距离判断位置发展几何直观。融入生活实例如射击投掷，体现数学眼光观察现实世界，帮助学生理解数学与生活联系，为教师提供清晰的探究式教学思路。

29.1.1　圆的有关概念 教学目标 1.理解圆的两种定义，掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念，并能够在图形中识别出来. 2.体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系. 3.理解点与圆的三种位置关系及对应的数量关系. 4.通过探索圆的概念的过程，学会用猜想归纳的方法解决问题. 5.通过本节知识的学习，体验点和圆的位置关系与生活中射击、投掷等活动紧密相连，感知数学就在身边，从而更加热爱生活，激发学生学习数学的兴趣. 重点难点 重点：理解并掌握与圆有关的概念及点和圆的三种位置关系. 难点：理解“直径与弦”“半圆与弧”“等弧与长度相等的弧”等概念，能用不同方法判断点和圆的位置关系. 教学过程 情景导入 现实生活中，路上行驶的各种车辆的轮子都是圆形的，为什么要把轮子做成圆形的？为什么不能做成三角形、四边形或椭圆形呢？你能说出道理来吗？ 探究新知 探究点一　圆的有关概念 【例1】有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④长度相等的弧是等弧.其中说法错误的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】根据圆、直径、弦等概念来判断.半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；等弧包括两方面的内容：长度和大小.所以①③④的说法是错误的. 【答案】C 【方法总结】（1）确定圆的条件：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；（2）直径是弦，但弦不一定是直径；（3）劣弧只需用弧端点的两个字母表示；（4）优弧必须用三个字母表示，其中表示端点的两个字母写在两端；（5）等弧是全等的，而不仅仅是弧长相等；（6）等弧的弧长相等，但弧长相等的弧不一定是等弧. 探究点二　利用圆的定义证几个点在同一个圆上 【例2】如图，在△ABC中，BD，CE是两条高.求证：B，C，D，E四个点在同一个圆上. 【解析】要证四个点在同一个圆上，由圆的定义只需证这四个点到某一点的距离相等即可，而条件只有共斜边的两个直角三角形，从而猜想圆心是斜边中点. 【解】如图，取BC的中点F，连接DF，EF. ∵BD，CE分别是AC，AB边上的高， ∴BF＝CF＝DF＝EF， ∴B，C，D，E四个点在以点F为圆心、BC的长为半径的圆上， 即B，C，D，E四个点在同一个圆上. 【方法总结】把要证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，若这两个三角形的顶点为直角，即可证出这四个点共圆. 探究点三　判断点和圆的位置关系 【例3】如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm，连接AC. （1）以点A为圆心、3cm为半径作☉A，则点B，C，D与☉A有怎样的位置关系？ （2）以点A为圆心、4cm为半径作☉A，则点B，C，D与☉A有怎样的位置关系？ （3）以点A为圆心、5cm为半径作☉A，则点B，C，D与☉A有怎样的位置关系？ 【解析】由r和AB，CA，DA的大小关系即可判断各点与☉A的位置关系. 【解】∵AB＝3cm，AD＝4cm，∴AC＝5cm. （1）∵半径为3cm， ∴点B在圆上，点C在圆外，点D在圆外. （2）∵半径为4cm， ∴点B在圆内，点C在圆外，点D在圆上. （3）∵半径为5cm， ∴点B在圆内，点C在圆上，点D在圆内. 【规律总结】判断点和圆的位置关系分以下几步：（1）连接该点和圆心；（2）计算该点与圆心之间的距离d；（3）依据圆的半径r与d的大小关系，得出结论. 课堂训练 1.如图，图中的弦共有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2.已知☉O的半径为5，点A为线段OP的中点.当OP＝12时，点A与☉O的位置关系是（　　） A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不能确定 3.☉O所在平面上的一点P到☉O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求☉O的半径.若平面内点P到圆的最大距离是a，最小距离是b，则圆的半径是多少？ 板书设计 29.1.1　圆的有关概念 1.定义. 描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫作圆. 集合性定义：圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合. 2.圆的表示： 以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”. 3.相关概念： （1）弦、直径的定义及关系； （2）弧、半圆、优弧、劣弧的定义及表示方法； （3）等圆、等弧的定义. 4.点和圆的位置关系. （1）点与圆的三种位置关系：点在圆上、点在圆外、点在圆内； （2）点到圆心的距离d与半径r之间的数量关系有三种：d＞r，d＝r，d＜r； （3）d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内. 课堂小结 本节课我们学习了圆的两种定义，知道了弧、弦、直径、优弧、劣弧、半圆等基本概念，并会在图形中识别出来.同时学习了点和圆的三种位置关系及对应的数量关系. 教学反思 　　通过本节课的学习，让学生知道圆是一种常见的几何图形，它的应用非常广泛，许多实际问题往往可以归结为圆的问题并加以研究.在教学中要重视学生对圆的概念的形成和构建，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到解决图形问题的过程，同时要注意强调：（1）圆是封闭图形，有内部和外部之分；（2）对于等弧定义的理解；（3）弧的分类有三种，不要忽略半圆. 同时通过本节课的学习，让学生知道在探索点和圆的位置关系时，可利用画图来分析，得出点和圆的位置关系共有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.同时让学生明白了只需比较点到圆心的距离d与半径的大小r即可得出点和圆的位置关系，并且知道怎样去结合具体几何图形或在平面直角坐标系中求解.教师也需在具体背景下灵活利用几何图形的性质，让学生真正理解如何由图形关系得出数量关系，以及从数量关系联想到图形间的位置关系. 答案 课堂训练 1.B　2.C 3.解：设☉O的半径是r. 当点P在☉O外时，r＝＝4；当点P在☉O内时，r＝＝6，∴圆的半径是4或6. 点P到圆的最大距离是a，最小距离是b，则圆的半径是或. 学科网（北京）股份有限公司 $